第五章 流体动力学(控制体雷诺输运定理)-流体力学

1、5.1控制体和系统 5.2雷诺输运方程 v前面解决了流体运动的表示方法,但要在流体上应 用物理定律还有困难. v欧拉方法描述的对象是空间的点,而牛顿定律的研 究对象必须是质量不变的确定物体. v这需要一些转化方法,本节来解决这个问题. 5.1.1 体系 v什么是体系? v在力学和热学中，基本物理定律适用的对象是一 个选定的物质系统,具有以下特征: 该系统始终由一定量的物质组成； 系统的边界把自己同周围的外界物质分开； 系统边界既可以固定不动，也可以运动，而且系统的 形状和系统所占据的空间都可以随时间发生变化； 可以透过系统边界和外界有功和热量的交换,但绝无质 量的交换。 5.1.1体系 v按物

2、质系统的这些要求，当把上述基本物理 定律应用到运动流体时，势必要追踪一个选 定的流体系统的整个运动历程不可. v这样的物质系统称为体系,又称“闭口系统” 5.1.1体系 2 , . o o tt ttdt A 1 参看右图: 瞬间,选定的流体系统处 于A 标注的位置,在 瞬间 流体系统将占据标注的 位置 从流体系统的质量守恒定律 来看,该系统的质量始终等于 常数. x y z , o tt 1 A , o ttdt 2 A 5.1.1体系 , : m设系统的质量为质量守恒 定律的数学表达式即是 , s s d dmd md 如是系统的微体积元是 流体的密度,微体积的质量 则有 0, s dm

3、s dt 式中脚注 代表分析 的对象是一个流体体系. x z , o tt 1 A , o ttdt 2 A y 5.1.1体系 进一步把式中的参数用流动参数表达也来,则得到关于流 体封闭体系的质量守恒方程. 但是,由于运动中的流体系统将产生由移动、转动和变形 运动等组成的复杂运动，长时间难以追踪得到，甚至在 紊流流动状态由于流体的混沌，严格讲要辨认哪些流体 仍否属于原来的流体系统都成了问题. 这种分析方法就称为体系分析法 5.1.1体系 况且,在不少流体力学问题中,往往关心的是在流体 的物体上产生了多大的力,或多高的温度等,而并不关心 一个流体系统整个运动历 流经 程如何. 所以要找到适用于

4、一个针对于固定空间位置的研究方法 5.1.2控制体 v什么是控制体? v是由选定的、几何上封闭的界面（称为控制面） 所围的空间体，相对于坐标系固定不变。 v控制面可以是物体的壁面或者是假想的界面，与 外界不仅可以透过控制面的功和能量的交换，而 且允许有质量的交换（又称开口系统）。 v控制体的形状，大小可视问题的需要而变化，可 以是有限体积大小的控制体，也可以是微元控制 体。 ,如图 它是分析管流时可选择的一个控制体:管壁 两端面的 是控制 面控制面是的部分,而假想的. 流体可以通过两端的控制面流入流出控制体. 一旦选择好控制体,它就不再改变.把适用于一个流体体 系的各个物理定律,比如质量守恒定

5、律,用有关控制体的 流动参数表达也来,则得到关于控制体的质量守恒方程. 这种分析方法就称为 控制体分析法 5.1.2控制体 控制体与体系的区别 名称定义边界特性适用 体系物质的集 合 有力、能交换， 无质量交换 拉格朗 日法 控制体固定在空 间的一个 体积 有力、能、质 量交换 欧拉法 v如何将适用于体系的牛顿定律等应用于控制体? N m N 设 是分布在质量或体积上某个物理量,随流动输 运,称之为,比如可以代表质量 ,动量 P和能量E等.单位流体质量所具有的 值,用符号 代 随流物理量 表,有: dN dm 2 ,1; , 1 ,. 2 Nm NPv NEvu u 如 如 如为比内能 5.2

6、雷诺输运定理 按上图中所选的控制体来推导雷诺输运定理 tt t u u C 在t时刻,选取图中所示的,同一时刻, 取与图示控制体重合的流体作为选定 控制体(用CV表示) 体的系(表面用 S 表示) tt时刻体系因运动偏离原位置,而控制体留在原地. 5.2雷诺输运定理 CV CS : ss s NNdmd 体系的 值为 I II III 5.2雷诺输运定理 CVI CVIII CVII dNsNs(t+dt)-Ns(t)=NIII(t+dt)+NII(t+dt)-NI(t)+NII(t) ,:ttt从 到时刻 体系物理量的变化为 t =NII(t+dt)- NII(t)+NIII(t+dt)-N

7、I(t) I II III tt t 5.2雷诺输运定理 当dt0时，II区与原控制体体积相同，I区为CS1面流进 的物理量，III区为CS3面流出的物理量. CS1CS3 , n n dAv vddAA 如图所示的微元面上 流体法向速度为则流 流过面的体积通 体在单位 时间为量内 I II III n n 1 dA 3dA tt t u u 5.2雷诺输运定理 CVI CVIII CVII dAvn流出体系所在空间对应 体积的流量 考虑到面和 的方向,并认为 ,则单位时间流出微元面为正的N值为 () n v dAv dS I II III n n 1 dA 3dA tt t u u 5.2雷

8、诺输运定理 CVI CVIII CVII SCV的表面外法的方向按线方向计 1 11 , CVCS tt Ndv dSt N 因其为流入的 值 取为负号 11 NtCVN 1 用表示在时间内通过CS 面进入到体积中的 值 I II III n n 1 dA 3dA tt t u u 4.3.3雷诺输运定理 CVI CVIII CVII 3 33CVCS tt Ndv dSt 同理 I II III n n 1 dA 3dA tt t u u 5.2雷诺输运定理 CVI CVIII CVII 2312 0 ()() lim st t DNNNNN Dtt t+ t 于是: 2231 00 ()(

9、)() limlim t tt NNNN tt t+ ttt+ t ) I II III n n 1 dA 3dA tt t u u 5.2雷诺输运定理 CVI CVIII CVII 22 0 ()( lim t NN t t+ tt ) 第一项: 1 2 N t I II III n n 1 dA 3dA tt t u u 5.2雷诺输运定理 CVI CVIII CVII CV d t () CV d t = 2 N t CS v dS 31 0 lim CSCS t v dSv dSt t 0 lim CS t v dSt t 31 0 ()() lim t t NN t t+ t 第二项: I II III n n 1 dA 3dA tt t u u 5.2雷诺输运定理 CVI CVIII CVII () CCS s V DN dv dS Dtt 于是: I II III n n 1 dA 3dA tt t u u 5.2雷诺输运定理 CVI CVIII CV