第五章 刚体定轴转动(公式)

1、一一 刚体转动的角速度和角加速度刚体转动的角速度和角加速度 )(t 角坐标角坐标 d dt 角速度矢量角速度矢量 角加速度角加速度 d dt 运动学运动学 二二 角量与线量的关系角量与线量的关系 r v t 2 n ar ar r v 三三 转动惯量转动惯量mrJrmJ j j j d, 22 l O O 2 1 J 3 ml 2l 2l O O 2 1 J 12 ml O R 圆盘圆盘 2 1 2 JmR 一一 力矩力矩 z O k F r z F F z M krF sin z MrF 二二 定轴转动定律定轴转动定律 d , dt MJJ 合合外外 （有正负）（有正负） 动力学：力矩的瞬时

2、效果动力学：力矩的瞬时效果 :M 合合外外 各各外外和和力力矩矩的的代代个个数数 力矩的空间累积效应力矩的空间累积效应 力矩作功力矩作功 2 1 dAM 转动动能转动动能 2 1 2 K EJ 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理 21 A KK EE 合合外外 2 1 22 21 11 d 22 MJJ 合合外外 （刚体（刚体+地球）的重力势能：地球）的重力势能： Pc Emgh 机械能守恒定律：机械能守恒定律：只有保守力在作功只有保守力在作功 hc：刚体重心的高度：刚体重心的高度 力矩的时间累积效应力矩的时间累积效应 刚体对刚体对定轴的定轴的角动量：角动量：LJ 刚体定轴转动的

3、角动量定理刚体定轴转动的角动量定理 dd() dd LJ M tt 合合外外21 MdtLL 合合外外 2 2 1 1 t t t t 对于由质点和刚体组成的系统对于由质点和刚体组成的系统（例，子弹打击细杆），（例，子弹打击细杆）， 上面式子中上面式子中 iijjj ij LJrm v （注意：对同一根转轴而言）（注意：对同一根转轴而言） 角动量守恒定律角动量守恒定律 0M 合合外外 LJ ，则，则 若若 = =常量常量 iijjj ij LJrm v 则则守恒。守恒。 MM 外外内内 例如：在例如：在冲击冲击等问题中等问题中 L常量常量 对于单个刚体：对于单个刚体： 对于刚体和质点组成的系统

4、：对于刚体和质点组成的系统： 0M 合合外外 若若， 例例1 1、滑轮加质点。、滑轮加质点。一轻绳跨过两个质量均为一轻绳跨过两个质量均为m、 半径均为半径均为r的均匀圆盘状定滑轮，的均匀圆盘状定滑轮， 绳的两端分别绳的两端分别 挂着质量为挂着质量为m和和2m的重物，如图的重物，如图5-2a所示绳所示绳 与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑将由两个与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑将由两个 定滑轮以及质量为定滑轮以及质量为m和和2m的重物组成的系统从的重物组成的系统从 静止释放，求两滑轮之间绳内的静止释放，求两滑轮之间绳内的张力张力 m,r m 2m m,r m 2m T2 2 P 1 P T a T1

5、a 解：受力分析如图所示。解：受力分析如图所示。 2mgT12ma T2mgma 2 1 1 2 T rTrmr 2 2 1 2 T rT rmr T11mg / 8 ar 加速度正方向的假设。加速度正方向的假设。 例例2、细杆摆动。、细杆摆动。一长为一长为l，质量为，质量为m的细直杆，的细直杆， 可绕通过其一端的水平光滑轴在竖直平面内作可绕通过其一端的水平光滑轴在竖直平面内作 定轴转动。现将杆由水平位置无初转速地释放，定轴转动。现将杆由水平位置无初转速地释放， 求杆下摆求杆下摆角时的角速度角时的角速度和角加速度和角加速度; 解法解法1：重力矩重力矩 mg cos 2 l Mmg 由转动定律：

6、由转动定律：M=J，得，得 2 1 cos 2 , 1 3 cos 3 2 mgl M l l m g J dddd dtddtd 00 3 cos 2 g dd l 3 sing l 解法二：解法二：机械能守恒。机械能守恒。 2 1 sin 22 l mgJ 3 sing l 3 cos 2 dddd dtddt g ld mg 例例3 3、有一半径为有一半径为R，质量为质量为m的圆形平板平放在的圆形平板平放在 水平桌面上，平板与水平桌面的水平桌面上，平板与水平桌面的摩擦摩擦系数为系数为， 若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速 度度0开始旋转，

7、它将在开始旋转，它将在旋转几圈旋转几圈后停止？后停止？ ( (分散力的力矩用积分计算。分散力的力矩用积分计算。) ) MJ 由由 2 24 1 3 3 2 Mmg Rg JR mR 22 0 2 0 22 00 3 28 R g r 2 , m R 解：解： 2dmrdr 2 2dMdm g rg r dr 2 0 2 2 3 R MdMgr drm gR ( (分散力的力矩用积分计算。分散力的力矩用积分计算。) ) 例例4 4、角动量守恒。、角动量守恒。有一半径为有一半径为R的匀质圆形水的匀质圆形水 平转台，可绕通过盘心平转台，可绕通过盘心O且垂直于盘面的竖直固且垂直于盘面的竖直固 定轴定轴

8、OO转动，转动惯量为转动，转动惯量为J台上有一人，质台上有一人，质 量为量为m当他站在离转轴当他站在离转轴r处时处时(rR），转台和，转台和 人一起以人一起以 1的角速度转动，如图若转轴处摩擦的角速度转动，如图若转轴处摩擦 可以忽略，问当人走到转台边缘时，转台和人一可以忽略，问当人走到转台边缘时，转台和人一 起转动的角速度起转动的角速度 2 ？ O r 1 O O r 1 O 解：解：人和子弹组成的系统人和子弹组成的系统对转轴对转轴的合外力矩为的合外力矩为 零，所以零，所以对转轴对转轴的角动量守恒。的角动量守恒。 22 12 ()()JmrJmR 2 1 22 () () Jmr JmR 例例5、子弹和杆碰撞。、子弹和杆碰撞。一长为一长为 l , 质量为质量为m 的竿可绕支点的竿可绕支点O自由自由 转动一质量为转动一质量为m、速率为、速率为v 的的 子弹射入竿内距支点为子弹射入竿内距支点为a 处，使处，使 竿的偏转角为竿的偏转角为30o . 问子弹的初问子弹的初 速率为多少速率为多少? ? o a m v 30 解：解：子弹、竿组成一系统，子弹、竿组成一系统， 应用角动量守恒应用角动量守恒 22 1 () 3 m am lma ，v 22 3 3 m a mlma v o a m v 30 o a m v 30 222 1