氢原子连续态电子波函数的求解

1、氢原子连续态电子波函数的求解 学生：吴有为 指导老师：万建杰 2009级物理学一班 学号：200972010138 摘要摘要：氢原子连续电子波函数的精确计算在物理学许多分支，如电子 原子碰撞、冷原子物理和强激光场中原子的电离等都有着非常重要的 意义。本文使用HcontinuumGautchi Fortran程序，首先展示了在动量 为=0.01 a.u.，0.1 a.u.，1.0 a.u.，10 a.u.；径向坐标r=0.01 a0，1.0 a0， 100 a0，1000 a0，4000 a0；= 1，10，80，200下的连续波函数的值, 并 与其它程序的计算结果进行了比较，可以看出此程序的准

2、确性。然后， 计算了轨道量子数l=0，1，2（即s，p，d电子）的连续态波函数，研 究了它们的性质。 关键词关键词： 氢原子 连续态波函数 1引言引言 1.1 量子力学初步介绍量子力学初步介绍 1.2 薛定谔方程的建立薛定谔方程的建立 1.3 氢原子能量的本征值氢原子能量的本征值 2 氢原子连续态薛定谔方程及其求解氢原子连续态薛定谔方程及其求解 我们知道氢原子的径向波函数可以表示为 ，其中 满 下式（原子单位）: （2.2） 对于正能量的连续态来说，我们记做 和 ，那么上面 的微分方程可以转化为： （2.2） 该方程具有规则和不规则的解。在氢连续态的计算过程中，只有规则 的解 是恰当的。如果对

3、 采用 归一化，即 （2.3） 那么式（2.1）的连续态解就是 （2.4） 其中 是Kummer合流超几何函数，并且 rrrR klkl )()( )(r kl 0 1 2 22 2 kl kl r ll r Z E dr d kZEZ/2/ kr 0, 12 1 , 22 2 l l w ll d wd , l F kl R2k kk kk drRRr kllk 2 2 0 2 )2 , 22 ,1()(2)( 11 )1( ikrlkZilFkreCr likr lkl 11 F （2.5） 按照 和 的定义， 正是库仑波函数的规则解，即 （2.6） 其中 （2.7） 3 计算计算结果结果

4、 0的实变量的库仑波函数可以通过多种方法计算，参阅2-4。然而， 大多数的代码只能给出在一定范围内的参数的准确和可靠的结果。在 许多实际情况下需要准确地计算出在极端的低能量，巨大的径向距离 和非常大的角动量数下的连续波函数。 3.1与其它代码的比较与其它代码的比较 )!12( )1(2 2 l kZile C kZl l )(r kl ),(2)( lkl Fr )2 , 22 ,1(, 11 )1( ililFeCF ipl ll 我们使用HcontinuumGautchi1程序计算了动量为k=0.01，0.1，1.0， 10；径向坐标r=0.01，1.0，100，1000，4000；l=

5、1，10，80，200的 连续波函数的值，并与Mathematica5和Barnett程序2的计算结果进行 了比较（论文表1-4中） 。 从（表1-4）中可以看出 ，在大多数情况下，三种不同的方法计 算的结果到大约14位的精度时大致相同。然而，k和r皆较小或者都较 大时，Barnett程序不能收敛，而本文使用的程序可以得出精确的结果。 相对Barnett程序来说，本文结果更接近Mathematica软件的计算结果。 3.2 氢原子连续态波函数的性质氢原子连续态波函数的性质 3.2.1 不同轨道角动量相同能量的连续电子波函数不同轨道角动量相同能量的连续电子波函数 图1 k=1.0时， (a)l=

6、 1, (b)l = 10, (c) l = 80和(d) l = 200的H原子连续态波函数 从（图1）中可以看出，在相同，逐渐变大的情况下，氢原子 电子与原子核越径向距离越大。 3.2.2 相同轨道角动量不同能量的连续态电子波相同轨道角动量不同能量的连续态电子波函数函数 图2 比较l =0时，分别取 k = 0.1a.u., k = 1.0a.u., k = 10a.u.的H原子连续态波函数 从图2可以看出，s连续电子的能量越大，其波函数的第一个波峰对应的 r越 小，即能量较大的连续电子与原子核可以更接近。另外，能量越高的连续电子在 相同的径向范围内，振荡越剧烈，其行为也越接近正余弦函数。

7、 图3 比较 l =1时，分别取 k= 0.1a.u., k = 1.0a.u., k = 10a.u.的H原子连续态波函数 从图3可以看出，p连续电子的能量越大，其波函数的第一个波峰对应的 r 越 小，即能量较大的连续电子与原子核可以更接近。另外，能量越高的连续电子在 相同的径向范围内，振荡越剧烈，其行为也越接近正余弦函数。 图4 比较 l =2时，分别取 k = 0.1a.u., k = 1.0a.u., k = 10a.u.的H原子连续态波函数 从图4可以看出，d连续电子的能量越大，其波函数的第一个波峰对应的 r 越 小，即能量较大的连续电子与原子核可以更接近。另外，能量越高的连续电子在

8、 相同的径向范围内，振荡越剧烈，其行为也越接近正余弦函数。 综上所述，对于s，p，d电子，我们从其中任意一图就可看出， 电子能量越大，对应波函数的波长越小 。即 ，（文中的k即电子 的动量）电子的能量与波长成反比。还可以看出不同时，不管是波函 数的数值，还是波函数的振幅，都有着很大的区别，这是因为在不同 的下，对应的波函数不同。 总结总结 本文使用此Fortran代码首先与Mathematica5和Barnett程序2比较 （动量为k=0.01、0.1、1.0、10，径向坐标r=0.01、1.0、100、1000、 4000，l= 1、10、80、200）连续态波函数的值（表1-4）。然后分别

9、 计算了l=0、1、2，=0.1、1.0、10，r=0.2250的连续电子的波函数， 并简单运用Origin软件进行绘图（图2-图4）。 讨论了（1）在l相同， k不同的情况下的连续态波函数；（2）在k不同，l相同的情况下的连 续态波函数 。预期这样的计算可以用于强场中原子与分子物理的研究。 k h 致谢致谢 大学四年生活一晃而过，回首走过的路途，心中倍感充实。当我 写完这篇毕业论文的时候，最大的感觉就是如释重负。 诚挚的感谢我的论文指导老师万建杰老师，他在忙碌的教学工 作中挤出时间来多次询问并审查、修改我的论文，并一起商量解决问 题的办法。万老师严谨细致、一丝不苟的作风将会是我以后工作和学

10、习的榜样。 通过论文的撰写，使我能系统，全面的理解毕业论文的正规书 写格式。由于自身理论水平比较有限，论文中的有些观概念的归纳和 阐述难免有疏漏和不足，欢迎老师指正。 参考文献参考文献 1 Liang-You Peng, Qihuang Gong, Comput. Phys. Comm. 181 (2010) 2098 2 A.R. Barnett, The calculation of spherical Bessel functions and Coulomb functions,in: J. Hinze (Ed.), Computational Atomic Physics: Elect

11、ron and Positron Collisions with Atoms and Ions, 1996, pp. 181202. The newest version of code “COUL90.FOR” is available at .uk/programs/barnett index.htm. 3 M.J. Seaton, FGH, a code for the calculation of Coulomb radial wave functions from series expansions, Comput. Phys. Comm. 146 (2002) 250. 4