第四章转动参考系改

1、 质点在非惯性系中的运动规律。也就是质点在非惯性系中的运动规律。也就是 研究参照系具有加速度时，如何描述质点的研究参照系具有加速度时，如何描述质点的 运动规律。运动规律。 转动参照系 平动参照系 非惯性系 深刻理解转动参照系中相对运动、牵连深刻理解转动参照系中相对运动、牵连 运动、牵连加速度、科里奥利加速度、牵连运动、牵连加速度、科里奥利加速度、牵连 惯性力、科里奥利力等基本概念，特别是科惯性力、科里奥利力等基本概念，特别是科 里奥利力产生的原因及实质；熟练掌握绝对里奥利力产生的原因及实质；熟练掌握绝对 速度、绝对加速度和相对运动微分方程及其速度、绝对加速度和相对运动微分方程及其 应用应用 。

2、 本章重点本章重点 质点在转动参照系中相对运动微分方程的质点在转动参照系中相对运动微分方程的 建立和求解。建立和求解。 4.1 4.1 平面转动参考系平面转动参考系 4.2 4.2 空间转动参考系空间转动参考系 4.3 4.3 非惯性系动力学非惯性系动力学( (二二) ) 4.4 4.4 地球自转产生的影响地球自转产生的影响 设平面转动参照系设平面转动参照系 以角速度以角速度 绕垂直绕垂直 于自身的轴转动，如图所示，在动系于自身的轴转动，如图所示，在动系 上上 取坐标系取坐标系Oxyz，动系与静系原点，动系与静系原点O重合，重合， z轴为转动轴，平面上任一点轴为转动轴，平面上任一点P的位矢为：

3、的位矢为： S S rxiyj k 质点相对静止坐标系质点相对静止坐标系S的速度为：的速度为： v v ddidj xiyjxy dtdtdt ()()xyiyxj i j j i d dt d dt 质点相对静止坐标系质点相对静止坐标系S的速度为：的速度为： v v ddidj xiyjxy dtdtdt ()()xyiyxj vxiyj 相对速度，如相对速度，如P在平板上不动，此项速度为零。在平板上不动，此项速度为零。 ()y ixjkxiyjr 牵连速度牵连速度 是由于平板转动而带着是由于平板转动而带着P点一起转动所引起的点一起转动所引起的 相对静系的速度。相对静系的速度。 vvr 即绝

4、对速度等于相对速度与牵连速度的矢量和。即绝对速度等于相对速度与牵连速度的矢量和。 答：因为在刚体中，组成刚体的各个质点，都只随着刚体一答：因为在刚体中，组成刚体的各个质点，都只随着刚体一 起转动，它们与整个刚体并无所谓相对运动。起转动，它们与整个刚体并无所谓相对运动。 vr v v ()()()() dvdidj axyyiyxxjxyyx dtdtdt 22 (2)(2)xyxyiyxyxj xiyj a 相对加速度相对加速度 1） 为质点为质点P对转动参照系的轴向加速度分量，它的合成：对转动参照系的轴向加速度分量，它的合成： . x y 2） 是由于平板作变角速度转动所引起的切向加速度，如

5、平是由于平板作变角速度转动所引起的切向加速度，如平 板以匀角速度转动，则此项加速度为零。板以匀角速度转动，则此项加速度为零。 ()y ixjkxiyjr P点对静止坐标系点对静止坐标系S的加速度：的加速度： ()()vxyiyxj 2）、）、3）两项加速度都是由于平板转动所引起的，所以为牵连）两项加速度都是由于平板转动所引起的，所以为牵连 加速度。加速度。 222 xiyjr 222()2y ixjxiyjv v v v 2 4） 其方向则垂直于其方向则垂直于 与与 所决定的平面，在平所决定的平面，在平 面问题中，面问题中， 恒沿恒沿k方向，故方向，故 为位于为位于 x、y平面内的矢量，其指向

6、由右手螺旋法则平面内的矢量，其指向由右手螺旋法则 决定（如图所示）。这个加速度叫科里奥利决定（如图所示）。这个加速度叫科里奥利 加速度，简称科氏加速度。加速度，简称科氏加速度。 故在平面转动参照系中，绝对加速度为相对加速度、牵连故在平面转动参照系中，绝对加速度为相对加速度、牵连 加速度及科里奥利加速度三者的矢量和。即：加速度及科里奥利加速度三者的矢量和。即： 2 2aarr v tc c aaa 2 t arr 牵连加速度牵连加速度 2 c a v 科里奥利加速度科里奥利加速度 注意：科氏加速度必须是质点相对运动和牵连运动同时存在注意：科氏加速度必须是质点相对运动和牵连运动同时存在 才能产生。

7、才能产生。 v vv v r r v v a 相对加速度相对加速度 解：如图建立坐标系，解：如图建立坐标系，P点的牵连速度点的牵连速度 和相对速度为：和相对速度为： bAB cossinrrjvvivj 2 2 bb v 绝对速度为：绝对速度为： cos(sin) A vvrvirvj 2 cos2 44 rbb 绝对速度的大小为：绝对速度的大小为： 2222 2sin841 2 A b vvrrv sin (41) cos Ay Ax v rv tg vv 与三角形斜边的夹角。与三角形斜边的夹角。 A v 为 其加速度的大小为：其加速度的大小为： 2 2 Atc aaaaarv 2 0 2c

8、os2sin t c aari avivj 2 (2cos)2sin A arvivj 2 2222 4cos4221 A b arrvv 2 2sin1 2cos21 Ay Ax a v tg arv 与三角形斜边的夹角。与三角形斜边的夹角。 A a 为 O O 1 2 2 空间转动参照系的角速度空间转动参照系的角速度 的量值和方向都可以改变，转动的量值和方向都可以改变，转动 参照系参照系 的原点和静止坐标系的原点和静止坐标系S的原点的原点O重合，因此重合，因此 恒通过恒通过 O点。令点。令i、j、k为固着在为固着在 系三个坐标轴上的单位矢量，故系三个坐标轴上的单位矢量，故 任一矢量可写为：

9、任一矢量可写为： S S xyz GG iG jG k y zx xyz dGdG dGdGdidjdk ijkGGG dtdtdtdtdtdtdt 由公式：由公式： 代入上式得：代入上式得： idjdk ijk dtdtdt d * () xyz dGd Gd G G iG jG kG dtdtdt * d G dt 相对变化率，相对变化率，G相对于转动参照系的变化。相对于转动参照系的变化。 G 牵连变化率，转动参照系绕着牵连变化率，转动参照系绕着O点以角速度点以角速度 转动转动 并带动并带动G一起转动而引起的变化。一起转动而引起的变化。 * () xyz dGd Gd G G iG jG

10、kG dtdtdt 从静止参考系观察变矢量随转动系以角速度相 对与静止系转动的同时本身又相对于动系运动 * 0 d G dt WHY? G = 0 0 dG dt When G G相对于转动参考系不变化 ？ 动系作动平动或瞬时平动 或瞬时转轴与G平行 当动系作平动或瞬时平动 且G相对动系瞬时静止 G 或动系转动引起的变化与相对动系引起的变化等值反向 讨论 如空间转动参照系如空间转动参照系 的原点与固定参照系的原点与固定参照系S的原点的原点 O重合，并以角速度重合，并以角速度 绕着绕着O转动，则对转动，则对S系而言，一系而言，一 个在系中运动的质点个在系中运动的质点P的绝对速度为：的绝对速度为：

11、 S * drd r vrvr dtdt * d r v dt 相对速度，是质点相对速度，是质点P相对于相对于 系的速度。系的速度。 S r 牵连速度牵连速度 ，是由于是由于 系转动带动系转动带动 r 一起转动而一起转动而 引起的速度。引起的速度。 S 故在转动参照系中，质点的绝对速度等于相对速度和牵连故在转动参照系中，质点的绝对速度等于相对速度和牵连 速度的矢量和。速度的矢量和。 将将 的表达式代入上式得：的表达式代入上式得： * drd r vrvr dtdt * dvd v av dtdt v * 2* 2 () d rdd rd r arr dtdtdtdt * d ar dt * d

12、d dtdt ()2 tc d aarrvaaa dt * 2 2 d r a dt 相对加速度，是质点相对加速度，是质点P相相对对 系的加速度。系的加速度。 S * ()2 d r r dt * d dt 由由 的大小发生改变所产生的，如参照系的大小发生改变所产生的，如参照系 以以 恒定角速度转动，则此项为零；恒定角速度转动，则此项为零； () t d arr dt d r dt ()r S S 是由于是由于 系以角速度系以角速度 转动所产生的。转动所产生的。 2 c av 科里奥利加速度科里奥利加速度 是由于质点是由于质点P对转动的对转动的 系有一相对速度，从而系有一相对速度，从而 与与

13、相互相互 影响所产生的，若两者平行或有一为零，此项加速度为零。影响所产生的，若两者平行或有一为零，此项加速度为零。 S v v 对转动参照系来讲，绝对加速度等于相对加速度、牵连加对转动参照系来讲，绝对加速度等于相对加速度、牵连加 速度与科里奥利加速度三者的矢量和。速度与科里奥利加速度三者的矢量和。 注意：绝对速度与绝对加速度都是从静止参照系来观测一注意：绝对速度与绝对加速度都是从静止参照系来观测一 个在转动参照系中质点个在转动参照系中质点P的速度与加速度的，如果从转动参照的速度与加速度的，如果从转动参照 系中来看，只能看到相对速度与相对加速度。系中来看，只能看到相对速度与相对加速度。 在此情况

14、下，加速度简化为：在此情况下，加速度简化为： S 0 d dt 2 ()R t ar 则：则： 2 2aaRv 对于更一般的情况，即对于更一般的情况，即 系的原点系的原点 不与不与S系的原点系的原点o重合，重合， 且且 相对相对o的速度为的速度为 ，加速度为，加速度为 ，则：，则： S oo 0 v 0 a 0 vvvr 0 ()2 d aaarrv dt 式中式中 为质点相对为质点相对 的位矢。的位矢。 o r 一、平面转动参照系一、平面转动参照系 相对平面转动参照系运动的质点，它的绝对加速度为：相对平面转动参照系运动的质点，它的绝对加速度为： 2 2aarr v 2 2aarr v 于是：

15、于是： 2 2maFmrmrmv 即对平面转动参照系来讲，如果添上三种惯性力：即对平面转动参照系来讲，如果添上三种惯性力： 则牛顿运动定律对则牛顿运动定律对 该系中从形式上看仍然成立。该系中从形式上看仍然成立。 2 2mrmrm v 1) 1) 惯性力惯性力: : 是由于是由于SS系作变角速转动所引起的。如果转系作变角速转动所引起的。如果转 动是匀速的则此项惯性力为零。动是匀速的则此项惯性力为零。 2) 2) 惯性力惯性力: : m r 2 mr 牵连切向惯心力 是由于是由于SS系的转动所引起的，系的转动所引起的， 量值和角速度平方及质点离量值和角速度平方及质点离 开坐标原点开坐标原点O O的

16、距离成正比，的距离成正比， 它的方向自坐标原点它的方向自坐标原点O O沿矢径沿矢径 向外。如图所示。向外。如图所示。 惯性离心力（牵连法向惯性力） 3 3) ) 惯性力惯性力 科氏力 由于由于SS系的转动及质点对此转系的转动及质点对此转 动参照系又有相对平动所起。动参照系又有相对平动所起。 其量值和其量值和SS系转动的角速度及系转动的角速度及 质点相对于质点相对于SS系的速度系的速度 成正成正 比，方向垂直于二者所决定的比，方向垂直于二者所决定的 平面，并按右手螺旋法则及负平面，并按右手螺旋法则及负 号决定指向。如图所示。号决定指向。如图所示。 2m v 解：解：选取非惯性参照系选取非惯性参照

17、系，如图，如图 建立坐标系建立坐标系 ，小球受力分析，小球受力分析 所示，由平面转动参照系的动力学所示，由平面转动参照系的动力学 方程得：方程得： 2 2maFmrm v 小球运动微分方程的分量形式为：小球运动微分方程的分量形式为： )3(02 )2(0 ) 1 ( 2 z y Rxmzm mgRym xmxm （1）式的通解：）式的通解： tt BeAex 利用初始条件：利用初始条件： 2 00 a BAxaxt xyzo 由（由（2）（）（3）得管对小球的约束反作用力为：）得管对小球的约束反作用力为： )()( 2 tachee a x tt )(2)( 2 22 22 tshmaee a

18、 mxmR mgR tt z y 选用惯性参照系，建立柱坐标系，小球受选用惯性参照系，建立柱坐标系，小球受 力分析如图所示，运动微分方程为：力分析如图所示，运动微分方程为： 0 )2( 0)( 2 mgRzm Rrrm Frrm z r 因为：因为： =常数，故常数，故 ，则上式简化为：则上式简化为： 0 mgR Rrm mrrm z 2 2 结果与选用惯性系完全相同。结果与选用惯性系完全相同。 空间转动参照系也是非惯性参照系，所以要加上适当的惯性空间转动参照系也是非惯性参照系，所以要加上适当的惯性 力后，才能使牛顿运动定律仍然成立。力后，才能使牛顿运动定律仍然成立。 当当 系的原点与系的原点

19、与S系的原点系的原点o重合，且重合，且 系绕系绕o点以角速度点以角速度 转转 动，动， 不一定是恒矢量，则质点对不一定是恒矢量，则质点对S系的绝对加速度为：系的绝对加速度为： S S ()2 tc aarrvaaa ()2 tc aarrva -aa 于是：于是： ()2maFmrmrmv tc maFmama 或：或： 由于选取了非惯性系系，产生了三种惯性力：由于选取了非惯性系系，产生了三种惯性力： 牵连切向惯性力：牵连切向惯性力： 它与它与 及及 r 垂直，当垂直，当 为为 常矢量时常矢量时 此项为零。此项为零。 mr ()2maFmrmrmv tc maFmama 由于选取了非惯性系系，

20、产生了三种惯性力：由于选取了非惯性系系，产生了三种惯性力： 1）牵连切向惯性力：）牵连切向惯性力： 它与它与 及及 r 垂直，当垂直，当 为常矢量时为常矢量时 此项为零。此项为零。 mr 2 ()mrmR 2)牵连轴向惯性力牵连轴向惯性力 它与平面转动时的惯性离心力相似，在任意瞬时它都与该时刻它与平面转动时的惯性离心力相似，在任意瞬时它都与该时刻 的的 转动轴垂直，并离开转动轴向外，所以又叫转动轴垂直，并离开转动轴向外，所以又叫离轴惯性力。离轴惯性力。 3）科氏力）科氏力 2m v S 2 2maFmRm v ()2maFamrmrmv 0 -m r o 1 1）如果）如果 系以恒定角速度系以

21、恒定角速度 转动，则相对运动微分方程为：转动，则相对运动微分方程为： 2） 如果如果 S 系的原点系的原点O与与S系的原点系的原点o不不重合，且重合，且O 对对o的加的加 速度为已知。则运动微分方程为：速度为已知。则运动微分方程为： 式中式中 是相对是相对 的位矢。的位矢。 ()2maFmrmrmv 讨论： 如果质点如果质点P相对于系不动，则：相对于系不动，则： 由动力学方程由动力学方程 得：得： 即当质点在非惯性系中处于平衡状态时，主动力、约即当质点在非惯性系中处于平衡状态时，主动力、约 束反力和由牵连运动而引起的惯性力的矢量和等于零，束反力和由牵连运动而引起的惯性力的矢量和等于零， 我们通

22、常把这种平衡叫做相对平衡。我们通常把这种平衡叫做相对平衡。 在行驶的火车中（在行驶的火车中（ S系）的观察者，看悬挂在车厢中的系）的观察者，看悬挂在车厢中的 小球，就是一个相对平衡问题。小球，就是一个相对平衡问题。 000 c vaa tc maFmama 0 t Fma 思考1：科里奥力实际并不存在，因此科里奥力加 速度也不能真实观察到？ 科氏力是一种假想力，但科里奥利加速度能在实 际中观测到。 思考2：惯性离心力的反作用力是向心力？ 惯性离心力作用于随动系一起转动的物体上，是 一种假想力，它不是物体间的相互作用产生的， 也不产生反作用力，是物体的惯性在非惯性系的 反映。 思考3：牛三定律是

23、否适用于非惯性系？ 非惯性系里,两物体之间的作用力仍然满足牛顿第三定律. 惯性力不是两物体之间的作用力. 考虑地球绕地轴自转时，可认考虑地球绕地轴自转时，可认 为它的角速度是沿着地轴的一为它的角速度是沿着地轴的一 个恒矢量，即个恒矢量，即 ，因而只需，因而只需 惯性离心力和科里奥利力所产惯性离心力和科里奥利力所产 生的影响。如果质点相对于地生的影响。如果质点相对于地 球是静止的，即球是静止的，即 ，则只需，则只需 考虑惯性离心力的影响。考虑惯性离心力的影响。 0 0 v 一牵连惯性力一牵连惯性力 F y z o 地球自转对重力的影响地球自转对重力的影响 F 为地球的引力为地球的引力 T F为绳

24、索的拉力为绳索的拉力 e F为惯性离心力为惯性离心力 T F e F gm 小球相对地球静止小球相对地球静止 rr e 0,0 av FF0 e 0 T F FF eT F FF gFm T e mgFF 结论：结论：重力的大小和方向重力的大小和方向 与纬度与纬度有关。有关。 当当=45时时, 0.1 由于惯性离心力的作用，使重力常小由于惯性离心力的作用，使重力常小 于引力，重力随着纬度于引力，重力随着纬度发生变化，在发生变化，在 纬度越小的地方，重力越小，只有在两纬度越小的地方，重力越小，只有在两 极的地方，重力和引力才相等。另外，极的地方，重力和引力才相等。另外， 除两极和赤道外重力的方向

25、也不和引力除两极和赤道外重力的方向也不和引力 的方向一致，引力的作用线通过地球的的方向一致，引力的作用线通过地球的 球心，而重力的作用线一般并不通过地球心，而重力的作用线一般并不通过地 球的球心。如图所示。球的球心。如图所示。 在赤道上在赤道上:=0=0， 最大，重力最大，重力W最小，最小， 指向地心；指向地心； ，F Ft t，重力，重力W，方向不指向地心；，方向不指向地心； 在南北极：在南北极：=/2/2，F Ft t = 0 = 0，重力，重力W最大最大=F， 且指向地心。且指向地心。 R RF F 2 m t 由于惯性离心力的作用，重力的量值与引力有差由于惯性离心力的作用，重力的量值与

26、引力有差 别，重力的方向也随着纬度变化，但是这种差别和别，重力的方向也随着纬度变化，但是这种差别和 变化都比较小，所以在研究质点相对于地球的运动变化都比较小，所以在研究质点相对于地球的运动 时，可以只考虑科里奥利力的效应。时，可以只考虑科里奥利力的效应。 2 如图所示，一质点在地球北半球的某如图所示，一质点在地球北半球的某 点点P上，以速度上，以速度 相对地球运动，相对地球运动，P点的点的 纬度为纬度为，SN是地轴，地球自转角速度是地轴，地球自转角速度 沿着该轴，单位矢量沿着该轴，单位矢量i、j、k固着在地球固着在地球 表面上，且表面上，且i水平向南，水平向南， j水平向东，水平向东，k竖竖

27、直向上，直向上，根据上面的讨论，根据上面的讨论， 很小，可很小，可 忽略含有忽略含有 项的惯性力，认为重力项的惯性力，认为重力mg通通 过地球球心。过地球球心。 v 于是质点于是质点P在三个坐标轴方向的运动微分方程为：在三个坐标轴方向的运动微分方程为： vkFammgm2 F 代表重力以外的作用力 kjisin0cos zyx sin0cos kji v kjicos)cossin(sinyzxy cos2 )cossin(2 sin2 ymmgFzm zxmFym ymFxm z y x 利用上式可以定性或定量地研究科里奥利力的影响。利用上式可以定性或定量地研究科里奥利力的影响。 假定质点从

28、有限的高度假定质点从有限的高度h处自由下落，我们可以认为处自由下落，我们可以认为g值值 不变，且重力以外的：不变，且重力以外的： ，则动力学方程变为：，则动力学方程变为： cos2 )cossin(2 sin2 ygz zxy yx 初始条件为：初始条件为： 0 zyx FFF 0 0 0 zyx hzyx t 利用初始条件对（利用初始条件对（1）式积分得：）式积分得： （1） cos2 cos)(sin2 sin2 ygtz hzxy yx （2） 1 1）落体偏东问题）落体偏东问题 很小很小(7.310-5弧度弧度/秒秒)，忽略忽略 项得：项得： cos)(sincos4 4cos2 co

29、s)(sinsin4 2 2 2 hzxgz ygty hzxx （3） 2 gz gty x cos2 0 （4） 利用初始条件对利用初始条件对（4）式积分两次得：式积分两次得： 2/ 3/cos 0 2 3 gthz gty x （5） 这是位于东西竖直面内的半立方抛物线。质点自高度为这是位于东西竖直面内的半立方抛物线。质点自高度为h处自处自 由下落，当它抵达地面时，其偏东的数值为：由下落，当它抵达地面时，其偏东的数值为： 3 22 2 )( cos 9 8 hz g y cos 8 3 1 0 3 g h yz ： 由上式看出：由上式看出：h为常数时为常数时 在赤道上（在赤道上（=0）：

30、偏东的数值最为显著；）：偏东的数值最为显著； ； 而在两极：而在两极：=/2，则，则 y=0 . y : 2 0 例如例如 自北向南，科里奥自北向南，科里奥 利力则指向西方，这种长利力则指向西方，这种长 年累月的作用，使得北半年累月的作用，使得北半 球河流右岸的冲刷甚于左球河流右岸的冲刷甚于左 岸，因而比较陡峭。双轨岸，因而比较陡峭。双轨 单行铁路，由于右轨所受单行铁路，由于右轨所受 到的压力大于左轨，因而到的压力大于左轨，因而 磨损较甚。南半球的情况磨损较甚。南半球的情况 与此相反，河与此相反，河流左岸冲刷流左岸冲刷 较甚，而单行铁路的左轨较甚，而单行铁路的左轨 磨损较甚。如图所示。磨损较甚

31、。如图所示。 当物体在地面上运动时，在北半球上科里奥利力的当物体在地面上运动时，在北半球上科里奥利力的水平水平分分 量总是指向运动方向的右侧，即指向相对速度的右方。量总是指向运动方向的右侧，即指向相对速度的右方。 cos2 )cossin(2 sin2 ymmgFzm zxmFym ymFxm z y x 在地球上，热带部分的空气，因热上升，并在高空向在地球上，热带部分的空气，因热上升，并在高空向 两极推进，而两极附近的空气，则因冷下降，并在地面两极推进，而两极附近的空气，则因冷下降，并在地面 附近向赤道附近推进，形成了一种对流，彼此交易，故附近向赤道附近推进，形成了一种对流，彼此交易，故 称

32、为贸易风。但由于受到科里奥利力的作用，南北向的称为贸易风。但由于受到科里奥利力的作用，南北向的 气流，却发生了东西向的偏转气流，却发生了东西向的偏转。 在北半球，地面附近自北向南的气流，在北半球，地面附近自北向南的气流， 有朝西的偏向，成为东北贸易风。有朝西的偏向，成为东北贸易风。 在南半球，地面附近自南向北的气流，在南半球，地面附近自南向北的气流， 也有朝西的偏向，而成为东南贸易风。也有朝西的偏向，而成为东南贸易风。 如图所示。如图所示。 大气上层的反贸易风，在北半球为西南大气上层的反贸易风，在北半球为西南 贸易风，在南半球则为西北贸易风。贸易风，在南半球则为西北贸易风。 cos2 )cossin(2 sin2 ymmgFzm zxmFym ymFxm z y x 定性解释：考虑在地球北极有一单摆，摆长为定性解释：考虑在地球北极有一单摆，摆长为l，地球，地球 以角速度以角速度 旋转，对惯性系（太阳系）来说，摆只受重旋转，对惯性系（太阳系）来说，摆只受重 力作用，摆面不发生旋转。而从地球上观察，因地球自力作用，摆面不发生旋转。而从地球上观察，因地球自 转，单摆除受重力作用外，还受到惯性力的作用，主要转，单