第十七章—动能定理(工程力学)

1、第17章 动能定理 17.1.1 常力的功 设物体在常力F作用下沿直线走过路程s，如图， 则力所作的功W定义为 cosWFs F s 功是代数量。它表示力在一段路程上的累积作用效应， 因此功为累积量。在国际单位制中，功的单位为：J (焦耳), 1J1 Nm。 17.1力的功 17.1.2 变力的功 设质点M在变力F的作用下沿曲线运动，如图。 力F在微小弧段上所作的功称为力的元功, 记为dW, 于是有 cosdWFs 17.1 力的功 M M1 M2 ds M dr F 力在全路程上作 的功等于元功之和 0 cos d s WFs 上式称为自然法表示的功的计算公式。 dW Fr 2 1 d M

2、M W Fr 称为矢径法表示的功的计算公式。 在直角坐标系中 dddd xyz FFFxyz Fijk,rijk ddd xyz WF xFyF z 2 1 (ddd ) M xyz M WF xFyF z 17.1 力的功 上两式可写成矢量点乘积形式 上式称为直角坐标法表示的功的计算公式，也称为功 的解析表达式。 1) 重力的功 设质点的质量为m，在重力 作用下从M1运动到M2。建立如图 坐标，则 0,0, xyz FFFmg 代入功的解析表达式得 2 1 1212 ()d() z z Wmgzmg zz 17.1.3 常见力的功 17.1 力的功 M1 M2 M mg z1 z2 O x

3、y z 对于质点系，其重力所作的功为 1212 12 12 12 () () () () iii iiii CC CC Wm g zz m zm zg MzMzg Mg zz 由此可见，重力的功仅与重心的始末位置有关，而与 重心走过的路径无关。 17.1 力的功 2) 弹力的功 物体受到弹性力 的作用, 作用点的轨 迹为图示曲线A 1A2, 在弹簧的弹性极限内, 弹性力的大小与其变 形量d 成正比。设弹 簧原长为l0 , 则弹性 力为 00 ()k rl Fr 22 11 1200 d()d AA AA Wk rl Fr =rr A1 A2 r2 r1 d1 d2 l0 O r0 r A d

4、F A0 dr 17.1 力的功 于是 2 1 22 1201020 1 ()d()() 2 r r Wk rlrkrlrl 或 )( 2 1 2 2 2 112 ddkW 因为 2 0 11 ddd()dd 22 rr rrr r rrrr r 弹性力作的功只与弹簧在初始和末了位置的变形量有 关，与力的作用点A的轨迹形状无关。 17.1 力的功 3) 定轴转动刚体上作用力的功 设作用在定轴转动刚体上A点的力为F, 将该力分解为Ft、Fn和Fb， 17.1 力的功 当刚体转动时，转角j与弧长s的关系为 t cosFF ddsRj R为力作用点A到轴的垂距。力F的元 功为 tt dddd z W

5、FsF RMjjFr = Ft F r Fb Fn O z O1 A 力F在刚体从角j1转到j2所作的功为 2 1 12 d z WM j j j Mz可视为作用在刚体上的力偶 17.1 力的功 17.1.4 理想约束及内力作功 对于光滑固定面和一端固定的绳索等约束，其约束力 都垂直于力作用点的位移，约束力不作功。 光滑铰支座和固定端约束，其约束力也不作功。 光滑铰链(中间铰链)、刚性二力杆及不可伸长的细绳 作为系统内的约束时，约束力作功之和等于零。 滑动摩擦力作负功。 当轮子在固定面上只滚不滑时，滑动摩擦力不作功。 变形元件的内力(气缸内气体压力、弹簧力等)作功； 刚体所有内力作功的和等于零

6、。 1. 质点的动能 设质点的质量为m，速度为v，则质点的动能为 2 2 1 mvT 动能是标量，在国际单位制中动能的单位是焦耳(J)。 2. 质点系的动能 质点系内各质点动能的算术和称为质点系的动 能，即 2 2 1 iiv mT 17.2 质点和质点系的动能 刚体是工程实际中常见的质点系，当刚体的运动 形式不同时，其动能的表达式也不同。 (1) 平动刚体的动能 17.2 质点和质点系的动能 222 2 1 2 1 2 1 CiCii MvmvvmT (2) 定轴转动刚体的动能 222 222 11 22 11 22 iii i i iz Tmvmr mrJ (3) 平面运动刚体的动能 2

7、1 2 P TJ 因为JPJC + md 2 所以 2222 )( 2 1 2 1 )( 2 1 dmJmdJT CC 因为dvC ,于是得 22 2 1 2 1 CC JmvT 平面运动刚体的动能等于随质心平动的动能与绕 质心转动的动能的和。 17.2 质点和质点系的动能 d C P C 22 11 22 CC TmvJ 2 1 , 2 CC JmR vR 2 4 3 C mvT 牢记均质圆盘在地面上作纯滚动时的动能: v A B C 解： I I 为AB杆的瞬心 2 3 4 A TMv sinl v 2 22 11 1223 I l Jmlmml 2 22 2 11 26sin3 ABIA

8、B mv TJmv 2 1 94 12 TMm v 总 例1 均质细杆长为l，质量为m，上端B靠在光滑的墙上，下 端A用铰与质量为M半径为R且放在粗糙地面上的圆柱中心相 连，在图示位置圆柱作纯滚动，中心速度为v，杆与水平线的 夹角=45o，求该瞬时系统的动能。 vIA AAB TTT 总 a O r dr O1 P A B C 例2 长为l，重为P的均质杆OA由球铰链 O固定，并以等角速度 绕铅直线转动， 如图所示，如杆与铅直线的交角为a， 求杆的动能。 1 sin r vO Bra 1 dd P mr lg 22 22 1 ddsind 22 r Pr Tm vr gl a 杆OA的动能是

9、2222 22 00 dsindsin 26 ll PrPl TTr glg aa 解：取出微段dr到球铰的距离为r，该微段的速度是 微段的质量 微段的动能 O1 例3求椭圆规的动能，其中OC、AB为均质细杆，质量为m和 2m，长为a和2a，滑块A和B质量均为m，曲柄OC的角速度为 ，j = 60。 解：在椭圆规系统中滑块A和B作平动，曲柄 OC作定轴转动，规尺AB作平面运动。首先对 运动进行分析，O1是AB的速度瞬心，因: 1 2 cos AAB vO Aaaj 22 2 1 22 AAA ma Tm v A B O C j vC vB vA AB 1 2 sin3 BAB vO Baaj

10、22 2 13 22 BBB ma Tm v 1cAB vOCOC A B A B vA vC O C j O1 vB AB 对于曲柄OC： 22 1 3 OOC Jmama 规尺作平面运动，用绕速度瞬心转动的公 式求动能： 22 2222 22 1 12 4 3 11 2 22 1 2(2 ) 2 ABcCAB Tm vJ mama ma 22222222 22 1314 2263 7 2 ABOCAB TTTTT mamamama ma 222 11 26 OCO JTma 系统的总动能为： B j A 例4 滑块A以速度vA在滑道内滑动，其上铰接一质量 为m，长为l的均质杆AB，杆以角速

11、度 绕A转动，如 图。试求当杆AB与铅垂线的夹角为j 时，杆的动能。 解：AB杆作平面运动，其质心C的速度为 CACA vvv 速度合成矢量图如图。由余弦定理 222 22 11 22 222 1 4 2cos(180) ()2cos cos CACAA CA AA AA vvvv v vlvl vll v j j j 则杆的动能 22 11 22 22222 1111 24212 222 11 23 (cos )() (cos ) CC AA AA TmvJ m vll vml m vll v j j vA j B A l vA vCA vC vA 1. 质点的动能定理 取质点运动微分方程的

12、矢量形式 d d m t v F 在方程两边点乘dr，得 d dd d m t v rFr 因drv dt，于是上式可写成 ddm vvFr 或 2 1 d() 2 mvW 17.3 动能定理 质点动能的增量 等于作用在质点 上的力的元功。 积分上式，得 2 1 2 12 1 d() 2 v v mvW 或 12 2 1 2 2 2 1 2 1 Wmvmv 在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量 等于作用于质点的力作的功。 17.3 动能定理 2 1 d() 2 mvW 2. 质点系的动能定理 设质点系由n个质点组成，第i个质点的质量为mi， 速度为vi，根据质点的动能定理的微分形式，有 2

13、 1 d() 2 iii mvW 式中dWi表示作用在第i个质点上所有力所作的元功之 和。对质点系中每个质点都可以列出如上的方程，将 n个方程相加，得 2 1 d() 2 iii m vW 17.3 动能定理 2 1 d() 2 iii mvW 于是得 d i TW 质点系动能的微分，等于作用在质点系上 所有力所作的元功之和。 对上式积分，得 1212 WTT 质点系在某一运动过程中，起点和终点的 动能的改变量，等于作用于质点系的全部力在 这一过程中所作的功之和。 17.3 动能定理 例5 一长为l，质量密度为的链条放置在光滑的水平桌 面上，有长为b的一段悬挂下垂，如图。初始链条静止，在 自重

14、的作用下运动。求当末端滑离桌面时，链条的速度。 b bl 解得 l blg v )( 22 2 解:链条在初始及终了两状态的动能分 别为 0 1 T 2 22 2 1 lvT 在运动过程中所有的力所作的功为 )( 2 1 )( 2 1 )()( 22 12 blgblblgblgbW由 1212 WTT 例6 已知： m ，R, f ，j 。求纯滚动时盘心的加速度。 j C FN mg vC F 解：取系统为研究对象，设任意时刻 圆盘中心速度为vc，则系统动能为： s 质点系上所有力元功的和为： dsmgWijdsin 2 4 3 C mvT 2 sin 3 c agj解得： 由动能定理 d

15、i TW 有： dsmgmvd C jsin) 4 3 ( 2 即：dsmgdvmv cc jsin) 2 3 ( dt ds g dt dv v c c jsin 2 3 两边同除以 有： dt dt dv a dt ds v c cc ; 又由 例7 卷扬机如图，鼓轮在常力偶M的作用下将圆柱上拉。已 知鼓轮的半径为R1，质量为m1，质量分布在轮缘上；圆柱的 半径为R2，质量为m2，质量均匀分布。设斜坡的倾角为， 圆柱只滚不滑。系统从静止开始运动，求圆柱中心C经过路 程S 时的速度。 解：以系统为研究对象， 受力如图。系统在运动过程中 所有力所作的功为 sgm R s MWasin 2 1

16、12 系统在初始及终了两状态的动能分别为 0 1 T 222 21122 111 222 CC TJm vJ a FN FS m2g m1g FOx FOy M O C 其中 2 111 Jm R 2 22 1 2 C Jm R 1 1 R vC 2 2 R vC 于是 )32( 4 21 2 2 mm v T C 由 1212 WTT得 sgm R s Mmm vC asin0)32( 4 2 1 21 2 解之得 )32( )sin( 2 211 12 mmR sgRmM vC a a FN FS m2g m1g FOx FOy M O C 例8 在对称连杆的A点，作用一铅垂方向的常力F，

17、开始时系 统静止，如图。求连杆OA运动到水平位置时的角速度。设连 杆长均为l，质量均为m，均质圆盘质量为m1，且作纯滚动。 解：分析系统，初瞬时的动能为 0 1 T 设连杆OA运动到水平位置时的 角速度为，由于OAAB，所以杆 AB的角速度也为，且此时B端为杆 AB的速度瞬心，因此轮B的角速度为 零，vB=0。系统此时的动能为 22 2 222222 11 22 1 11 11 ()() 2 32 33 OB TJJ mlmlml O a A F B vA vB 系统受力如图所示，在运动过程中 所有的力所作的功为 12 2(sin)sin 2 () sin l WmgFl mgF l aa a

18、 22 1 0() sin 3 mlmgF la 解得 3()sinmgF lm a O a A F B mg mg FS FN m1g FOx FOy 1212 WTT由 得 例例 9 已知：已知： J1 ， J2 ， R1 ， R2 ，i12 = R2 / R1 M1 ， ， M2 。求轴。求轴的角加速度。的角加速度。 M1 M2 解：取系统为研究对象解：取系统为研究对象 2 22 2 112 1 2 1 2 1 0 JJT T 2 1 1 2 12 2 1 j j R R i 由运动学可知：由运动学可知： 2 1 2 12 2 12 )( 2 1 i J JT 主动力的功：主动力的功：

19、1 12 2 1221112 )(jjj i M MMMW 由动能定理得：由动能定理得： 1 12 2 1 2 1 2 12 2 1 )(0)( 2 1 j i M M i J J 将上式对时间求导，并注意将上式对时间求导，并注意 1 1 1 1 , j a dt d dt d 解得：解得：)()( 2 12 2 1 12 2 11 i J J i M Ma M1 M2 例10 两根完全相同的均质细杆AB和BC用铰链B连接在一起，而杆BC则用铰 链C连接在C点上，每根杆重P10 N，长l1 m，一弹簧常数k120 N/m的 弹簧连接在两杆的中心，如图所示。假设两杆与光滑地面的夹角 60时弹 簧

20、不伸长，一力F10 N作用在AB的A点，该系统由静止释放，试求 0时 AB杆的角速度。 A C B O D vA vD vB F BC AB 解：AB杆作平面运动，BC杆作定轴转 动，找出AB杆的速度瞬心在O点，由几 何关系知OBBCl，因此由 BABBC vOBBC 得 ABBC 同时还可以得出结论，当0时O点与 A点重合，即此时A为AB杆的速度瞬心， 所以 1 0T 2222 2 111 223 AABCBC P TJJl g 主动力做功 (22 cos ) F WFsFllFl 重力做功 13 2sin 22 P WPlPl 弹簧力做功 2222 12 111 ()0() 2228 E

21、l Wkklkldd 外力所做总功 2 12 31 28 FPE WWWWFlPlkl 由动能定理的积分形式得： 2 22 131 328 P lFlPlkl g 311 ()/3.28 rad/s 283 W PWkll g 因为系统属理想约束，所以约束反力不做功，做功的力有主动力F，重力P 和弹簧力，分别求得如下： 解：取系统分析，则运动初瞬时的动能为 例11 如图，重物A和B通过动滑轮D和定滑 轮而运动。如果重物A开始时向下的速度为v0， 试问重物A下落多大距离，其速度增大一倍。设 重物A和B的质量均为m，滑轮D和C的质量均为 M，且为均质圆盘。重物B与水平面间的动摩擦 系数为f ，绳索不能伸长，其质量忽略不计。 2 0 1 2 A Tmv D A B 2v0 C v0 222 0 0 21 1 ()() 2 2 CC C v TMrMv r 22 00 1 (2)2 2 B Tmvmv 2 10 710 4 ABCD Mm TTT