第8章 点的合成运动

1、 相对某一参考体的运动可由相对于其他参考体的 几个运动的组合而成合成运动。合成运动。 3 本章重点、难点本章重点、难点 重点重点 难点难点 点的运动的合成与分解 牵连速度、牵连加速度及科氏加速度的概念 点的速度合成定理 加速度合成定理及其应用 动点、动坐标系的选择 4 81 点的合成运动的概念点的合成运动的概念 82 绝对运动、相对运动和牵连运动的速度绝对运动、相对运动和牵连运动的速度 和加速度和加速度 83 点的速度合成定理点的速度合成定理 84 牵连运动为平动时点的加速度合成定理牵连运动为平动时点的加速度合成定理 85 牵连运动为转动时点的加速度合成定理牵连运动为转动时点的加速度合成定理

2、作为研究对象的运动着的点。 绝对运动绝对运动：动点相对静系的运动。 相对运动相对运动：动点相对动系的运动。 牵连运动牵连运动：动系相对于静系的运动 8-1 8-1 点的合成运动的概念点的合成运动的概念 1.固定参考系：固定参考系：固连于地面上的坐标系，简称静系静系(定系定系)。 2.动参考系：动参考系：固连于相对于地面有 运动的物体上的坐标系，简称动系动系。 如，固连在行驶列车车厢的坐标系。 刚体的运动 相对运动中，动点相对于动系 的速度和加速度分别称为 vr与 ar 。 绝对运动中，动点相对于静 系的速度与加速度分别称为 va与aa 。 绝对速度与绝对加速度绝对速度与绝对加速度 相对速度与相

3、对加速度相对速度与相对加速度 z x y o z x y o M z y xz y x k i j 8-28-2绝对运动、相对运动和牵连运动的速度和加速度绝对运动、相对运动和牵连运动的速度和加速度 t z z ,t y y,t x x dtdzv ,dtdyv ,dtdxv rz ry rx 222222 dt zda ,dt yda ,dt xda rz ry rx vr=vrxi +vry j+ vrx k ar=arxi+ary j+ arz k 牵连速度与牵连加速度牵连速度与牵连加速度 在某一瞬时，动系中与动点 M 相重合的点 M(牵连点)相 对于静系的速度和加速度分别称为动点 M 的

4、 ve与 ae。 y x y x o o M A u ve ae utOMve 22 utOMae 牵连点牵连点：动坐标系中与动点相重合的点叫牵连点。：动坐标系中与动点相重合的点叫牵连点。 二、点的合成运动二、点的合成运动 动点M因动系的牵 连运动而有的运动 动点M的 绝对运动 合 成 分 解 动点M相对动 系的相对运动 三、动点与动系的选取原则三、动点与动系的选取原则 动点与动系不能选在同一物体上，否则无相对运动。 动点相对于动系的相对运动轨迹要一目了然，如圆弧 或直线。 动点：动点： 动系：动系： 静系：静系： AB杆上A点 固连于凸轮上 固连在地面上 绝对运动绝对运动： 动点A 静系 绝

5、对轨迹：绝对轨迹：铅直直线 相对运动相对运动： 牵连运动牵连运动： 直线平动 动点A动系（凸轮） 相对轨迹：相对轨迹： 动系（凸轮）静系 曲线（圆弧） 绝对运动：直线运动 牵连运动：定轴转动 相对运动：曲线运动（螺旋运动） 动点：车刀刀尖动系：工件 实例一：车刀的运动分析 实例二：回转仪的运动分析 动点：点动系：框架 相对运动：圆周运动 牵连运动：定轴转动 绝对运动：空间曲线运动 点的速度合成定理建立了动点的绝对速度，相对速度和 牵连速度之间的关系。 一定理的导出一定理的导出 当t t+t ABAB，MM 也可看成 M M M MM绝对轨迹 MM 绝对位移 M1M 相对轨迹 M1M 相对位移

6、两种轨迹和两种位移两种轨迹和两种位移 8 8-3 -3 点的速度合成定理点的速度合成定理 t MM t MM t MM ttt 1 0 1 00 limlimlim t将上式两边同除以后，0t时的极限，得取 1 MMMM 1M M 三种速度三种速度 va 动点M的绝对速度； vr 动点M的相对速度； ve 动点M的牵连速度， 是动系上一点(即 )的速度。 va =ve +vr即， (*) 其中， 上面(*)式表明,在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度ve 与相对速度vr的矢量和，此即 。 说明说明 va =ve +vr是，符合矢量合成法则； va =ve +vr是，两边可以求导； va =v

7、e +vr共包括大小、方向 六个要素，已知任意四个 要素，能求出另外两个要素。 桥式起重机如图所 示，重物A相对小车垂直 上升的速度为u，小车水平 向右运行，速度为v。试求 重物A对地面的速度。 解解：(1) 根据题意，选取 动点、动系、静系： 例例8-1 u v 动点动点: 物块A， 动系动系: 固连小车， 静系静系: 固连地面。 u v 三种运动分析三种运动分析 绝对运动绝对运动 动点A静系 绝对轨迹： 未知曲线 相对运动相对运动 动点A动系（小车） 相对轨迹：铅直直线 牵连运动牵连运动 直线平动 动系（小车）静系 由速度合成定理由速度合成定理 求绝对速度求绝对速度 va =ve +vr

8、作出速度平行四边形速度平行四边形如图示，则物块的速度大小和方向为： vr =u ve =v va 22 22 vuvvvv reaA v u v v e r 11 arctanarctan 选择动系Oxy y x o R C A B 静系Oxy 动点为A 绝对运动速度va 相对运动速度vr 牵连运动速度ve ve 其中，ve=v,v为凸轮水平运动速度，ve、vr的方向已知，因此，可 以求出va。 例例8-2凸轮机构中凸轮为半 圆状，顶杆AB沿垂直槽滑 动，设凸轮以匀速v水平向 左运动，当图中角=30时， 求顶杆的速度。 va =ve +vr 由速度合成定理由速度合成定理 vB = vA =va

9、 =vcot 例8-3刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的一端 A与滑块用铰链连接。当曲柄OA以匀角速度绕固 定轴O转动时，滑块在摇杆O1B上滑动，并带动杆 O1B绕定轴O1摆动。设曲柄长为OA=r，两轴间距离 OO1=l。 求：曲柄在水平 位置时摇杆的角 速度。 1 2、运动分析： 绝对运动绕O点的圆周运动；相对运动沿 O1B的直线运动；牵连运动绕O1轴定轴转动。 sinsinrvv ae 22 2 1 1 rl r AO ve 已知: 11 ,:?OAr OOl OA水平。求。 ? aer vvv r 大小 方向 3、 解: 1、动点：滑块 A动系：摇杆 1 O B 例8-4 如图所示半径为

10、R、偏心距为e的凸轮，以角 速度绕O轴转动，杆AB能在滑槽中上下平移，杆 的端点A始终与凸轮接触，且OAB成一直线。 求：在图示位置时，杆AB的速度。 解：1、动点：AB杆上A 动系：凸轮 cot ae e vvOAe OA 牵连运动：定轴运动（轴O） 相对运动：圆周运动（半径R） 2、绝对运动：直线运动（AB） 已知： , AB e ACRv。 求：。 aer vvv OA 大小 ? ? 方向 3、 求：矿砂相对于传送带B的速度。 例8-5 矿砂从传送带A落入到另一传送带B上， 如图所示。站在地面上观察矿砂下落的速度为 ，方向与铅直线成300角。已知传送带B水平 传动速度。 sm4 1 v

11、sm3 2 v 解：1、动点：矿砂M 动系：传送带B arcsin(sin60 )46 12 oo e r v v 2 v 牵连运动：平移（ ） 1 v 2、绝对运动：直线运动（ ） 相对运动：未知 12 aer vvv vv 大小 ? 方向 ? 3、 已知： 12 4m s ,3m s r vvv。求： 。 sm6 . 360cos2 22 eaear vvvvv 例8-6圆盘半径为R，以角速度1绕水平轴CD转动， 支承CD的框架又以角速度2绕铅直的AB轴转动，如 图所示。圆盘垂直于CD，圆心在CD与AB的交点O处。 求：当连线OM在水平位置时， 圆盘边缘上的点M的绝对速度。 解：1、动点：

12、M点 动系：框架 BACD 2222 12aer vvvR 2 1 arctanarctan e r v v 牵连运动：定轴转动（AB轴) 相对运动：圆周运动（圆心O点） 2、绝对运动：未知 已知： 12 , M ROMv水平。求：。 21 aer vvv RR 大小 ? 方向 ? 3、 根据速度合成定理确定各已知量和未知量； 三种速度分析: 选取动点、动系、静系; 三种运动分析; 由上述例题可看出，求解合成运动的速度问题的一般步骤一般步骤为： 作出速度平行四边形，根据速 度平行四边形，求出未知量。 作速度矢量关系图求解： 总结总结 由于牵连运动为平动，故 设有一动点M按一定规律沿着固连于动系

13、Oxyz 的曲线 AB运动, 而曲线AB同时又随同动系Oxyz 相对静系Oxyz平动。 一定理的导出一定理的导出 8 8- -4 4 牵连运动为平动时点的加速度合成定理牵连运动为平动时点的加速度合成定理 ve =vOae =aO va =ve +vr vr=vrxi +vry j + vrx k 而， 由速度合成定理 dt dz dt dy dt dx vavOij k dt2dt2dt2 d2zd2yd2x aaaOijk aa =ae +ar (*) 上式求导， 因此， 说明说明: (1) (*)式是矢量式，矢量式，符合矢量 合成法则； (2) 对于复杂问题，建议采用复杂问题，建议采用 矢

14、量投影定理矢量投影定理求解。求解。 例例8-7轮船以已知加速度a作水平向右运动，涡轮机以已知的角 速度作匀速转动，转轴与轮船前进方向垂直。涡轮机边缘点A1 、A2 、A3到圆心的距离为R，且在某一瞬时，点A3在铅直线上， 如图所示。求图示瞬时A1 、A2 、A3 点的绝对加速度。 将动系取在轮船上， 则涡轮上各点对应的牵连 运动为平动，各点的牵连 加速度已标在图上； 各点的相对运动为转动，加 速度大小相等，均为R2，方 向均指向圆心。 根据牵连运动为平动时的 加速度合成定理，各点的 绝对加速度如图所示， 。 a a n a 30 y x 解解 例例8-8图示曲柄滑道机构中，曲柄OA=10cm，

15、绕O轴转动。当 时，其角速度为 ，角加速度为 。求导 杆BC的加速度和滑块A在滑道中的相对加速度。 30rad/s 1 2 rad/s 1 t a a =OA=10 cm/s2 n a a=OA2=10 cm/s2 方向如图所示。 n a a t a a 动点A的为沿滑道的 往复直线运动，因而相对加速度沿水平方向， 大小待定； 为滑道与导杆的直线平 动，因而牵连加速度沿铅垂方向，大小待定。 根据牵连运动为平动时的加速度合成定理， 则有： 取滑块A为动点，动系固连在滑道( 导杆BC)上，定系固连在地面上。此时 ，动点A的是圆周运动，绝对 加速度可分为切向加速度和法向加速度 两部分，大小分别为 a

16、a = =ae +ar t a a n a +a 选取投影轴，则可用投影关 系确定ae和ar，请大家自己 完成。 设一圆盘以匀角速度设一圆盘以匀角速度 绕定轴绕定轴 顺时针转动，盘上圆槽内有一点顺时针转动，盘上圆槽内有一点M以大以大 小不变的速度小不变的速度 vr 沿槽作圆周运动，那沿槽作圆周运动，那 么么M点相对于静系的绝对加速度应是多点相对于静系的绝对加速度应是多 少呢？少呢？ 一、引例一、引例 8 8- -5 5 牵连运动为转动时点的加速度合成定理牵连运动为转动时点的加速度合成定理 R v av r rr 2 , 常数有 相对运动相对运动为匀速圆周运动，为匀速圆周运动， （方向如图）（方

17、向如图） 由速度合成定理可得出由速度合成定理可得出 常数 rrea vRvvv 选点选点M为动点，动系固结与圆盘上，为动点，动系固结与圆盘上， 则则M点的牵连运动为匀速转动点的牵连运动为匀速转动 RaRv ee 2 ,（方向如图）（方向如图） 即即绝对运动绝对运动也为匀速圆周运动，所以也为匀速圆周运动，所以 方向指向圆心方向指向圆心点点 r rra a v R v R R vR R v a 2 )( 2 2 22 分析上式：分析上式： 还多出一项还多出一项2 vr 。 可见，可见， 当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度并不等于牵连当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度并不等于牵连 加速度和相对加

18、速度的矢量和。加速度和相对加速度的矢量和。那么他们之间的关那么他们之间的关 系是什么呢？系是什么呢？ 2 vr 又是又是什么什么呢？呢？ e a r a a a 2 2 , , r re v aaR R r rra a v R v R R vR R v a 2 )( 2 2 22 aerC aa +aa 二、牵连运动为转动时的加速度合成定理二、牵连运动为转动时的加速度合成定理 两种推导方两种推导方 法见附录法见附录 Cr 2av 科里奥利加速度科里奥利加速度 牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于牵连牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于牵连 加速度，相对加速度与科氏加速度的矢量和。加速度，相

19、对加速度与科氏加速度的矢量和。 aerC aa +aa 科氏加速度科氏加速度大小大小 方向方向按右手法则确定按右手法则确定 sin2 reC va vr aC 水流对右岸的冲刷。水流对右岸的冲刷。 例8-9刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的一端 A与滑块用铰链连接。当曲柄OA以匀角速度绕固 定轴O转动时，滑块在摇杆O1B上滑动，并带动杆 O1B绕定轴O1摆动。设曲柄长为OA=r，两轴间距 离OO1=l。 求:摇杆O1B在如图 所示位置时的角加 速度。 解：1、 动点：滑块A 动系：O1B杆 绝对运动：圆周运动 2 、速度 相对运动：直线运动（沿O1B） 牵连运动：定轴转动（绕O1轴） ? ae

20、r vvv r 大小 方向 11 , OA OAr OOl OA已知：常数水平。求：。 22 cos rl rl vv ar 22 2 22 1 1 rl r rl v AO v ee 3、加速度 22 2 sin rl r vv ae 22 111 ?2 ntn aeerC r aaaaa rO Av 大小 方向 11 , OA OAr OOl OA已知：常数水平。求：。 2 1 2cos tn eCaxr aaavr 22 222 2 132 22 22 222 1 ) t e rl lr arl lr O A lrlr lr （ nt axeC aaa 沿轴投影 x 11 , OA OA

21、r OOl OA已知：常数水平。求：。 例9-7如图所示平面机构中，曲柄OA=r，以 匀角速度O 转动。套筒A沿BC杆滑动。已知： BC=DE，且BD=CE=l。 求：图示位置时，杆BD的角速度和角加速度。 解：1、动点：滑块A 动系：BC杆 绝对运动：圆周运动（O点） 相对运动：直线运动（BC） 牵连运动：平移 2、速度 ? aer O vvv r 大小 方向 reaO vvvr eO BD vr BDl , , OAO BDBD OAr BCDE BDCEl 已知：常数。 求：。 3、加速度 22 ? tn aeer OBD aaaa rl 大小 方向 沿y轴投影 30sin30cos30

22、sin n e t ea aaa 2 sin30 3() cos303 n ae t O e aa r lr a l 2 2 3() 3 t eO BD ar lr BDl , , OAO BDBD OAr BCDE BDCEl 已知：常数。 求：。 求：该瞬时AB的速度及加速度。 例9-9如图所示凸轮机构中，凸轮以匀角速度绕 水平O轴转动，带动直杆AB沿铅直线上、下运动， 且O，A，B 共线。凸轮上与点A接触的为 ，图示 瞬时凸轮上点 曲率半径为A ，点 的法线与OA 夹角为，OA=l。 A AA 绝对运动 ：直线运动（AB） 相对运动 ：曲线运动（凸轮外边缘） 牵连运动 ：定轴转动（O轴）

23、 解：1、动点（AB杆上A点） 动系 ：凸轮O 2、 速度 ? aer vvv l 大小 方向 , , , AA ABAB O A BOAlCAO va 已知：常数共线。 求：。 tantanlvv ea coscos l v v e r 3、加速度 22 ?2 tn aerrC rAr aaaaa lvv 大小 方向 沿 轴投影 C n rea aaaacoscos 23 2 cos 2 cos 1 A a l la , , , AA ABAB O A BOAlCAO va 已知：常数共线。 求：。 例9-10 圆盘半径R=50mm，以匀角速度1绕 水平轴CD转动。同时框架和CD轴一起以匀角

24、速 度2绕通过圆盘中心O的铅直轴AB转动，如图所 示。如1=5rad/s, 2=3rad/s。 求：圆盘上1和2两点的绝对加速度。 解：1、动点： 圆盘上点1（或2） 动系：框架CAD 绝对运动：未知 相对运动：圆周运动（O点） 牵连运动：定轴转动（AB轴） 2、速度（略） 3、加速度 1212 5rad s,3rad s,50mm,Ra a已知：。求：。 22 212 ?2 aerC r aaaa RRv 大小 方向 22222 12 1953mm s aeC aaaR 2 smm1700 rea aaa 点1的牵连加速度与相对加速度在同一直 线上，于是得 点的牵连加速度0 e a 相对加速

25、度大小为 22 1 1250mm s r aR 科氏加速度大小为 2 2sin901500mm s Ce r av 各方向如图，于是得 arc tan5012 C r a a 1212 5rad s,3rad s,50mm,Ra a已知：。求：。 与铅垂方向夹角 1、本章在研究点的基本运动规律和刚体基本运动的基础上， 进一步研究刚体一个物体(简化为一个点)对于不同参考系的 运动各要素之间的关系，适用于研究较为复杂的运动问题。 2、点的速度合成定理 小结小结 3、点的加速度的合成定理 va =ve +vr aa =ae +ar 牵连运动为时， aa =ae +ar +aC 牵连运动为时， ac=

26、2vr 4、在求解点的合成运动问题时，动点、动系和静系的恰当 选择是求解合成运动问题的关键。 第八章第八章点的合成运动小结点的合成运动小结 一、概念及公式一、概念及公式 1. 一点、二系、三运动 点的绝对运动为点的相对运动与牵连 运动的合成 2. 速度合成定理 3. 加速度合成定理 牵连运动为平动时 牵连运动为转动时 (2) aerccr aaaaav aer vvv aer aaa 二、解题步骤二、解题步骤 1. 选择动点、动系、静系。 2. 分析三种运动：绝对运动、相对运动和牵连运动。 3. 作速度分析, 画出速度平行四边形,求出有关未知量 (速度, 角速度）。 4. 作加速度分析，画出加速度矢量图，求出有关的加速度