第21、22讲动能定理

1、Theoretical Mechanics 12-1 力的功力的功 12 -2 质点和质点系的动能质点和质点系的动能 12 -3 动能定理动能定理 12 -5 势力场势力场势能势能机械能守恒定理机械能守恒定理 第第 十二十二 章章 动动 能能 定定 理理 12 -6 普遍定理的综合应用举例普遍定理的综合应用举例 12 -4 功率功率功率方程功率方程机械能守恒定律机械能守恒定律 Theoretical Mechanics 功、动能、功率、势能等概念，动能定理及其应用，机功、动能、功率、势能等概念，动能定理及其应用，机 械能守恒，动力学普遍定理综合应用。械能守恒，动力学普遍定理综合应用。 教学要求

2、：教学要求： 2、 使学生理解功、动能、功率、势能等概念。使学生理解功、动能、功率、势能等概念。 3、 熟练地计算重力、弹力和力矩的功、动能，能应用动能熟练地计算重力、弹力和力矩的功、动能，能应用动能 定理解动力学问题。定理解动力学问题。 重点：重点：平面运动刚体的动能计算，动能定理的应用平面运动刚体的动能计算，动能定理的应用 难点：难点：动能定理的微分形式、动力学综合应用动能定理的微分形式、动力学综合应用 学时安排：学时安排：4 4 第第21、22讲的内容、要求、重难点讲的内容、要求、重难点 教学内容：教学内容： 1、了解动力学普遍定理综合应用。、了解动力学普遍定理综合应用。 12-1 力

3、的 功 常力在直线路程中的功 变力在曲线路程中的功 合力的功定理 Theoretical Mechanics 几种特殊力的功 平动刚体上力的功 定轴转动刚体上外力的功 平面运动刚体上力的功 质点系和刚体内力的功 约束力的功之和等于零的条件 12-1 力 的 功 一、常力在直线路程中的功 设一物体，在常力设一物体，在常力F作用下沿直线由作用下沿直线由 A1 平动平动 到到 A2 ，所经历的路程是，所经历的路程是 s。则该常力。则该常力F 在此路程在此路程 中的功为中的功为 W = Fcos s 其中其中 Fcos 为力为力 F 在运动方向上的在运动方向上的 投影，可正可负，是代数量。投影，可正可

4、负，是代数量。 功的基本单位在国际单位制中采用功的基本单位在国际单位制中采用 J :1 J = 1 N m F A A1A2 s Theoretical Mechanics 二、 变力在曲线路程中的功O A1 A F x y z A2 v r+dr r ds dr 设在质点设在质点 A 上作用着变力上作用着变力 F , 现在把其轨迹曲线现在把其轨迹曲线 A1A2 分成许多微小弧分成许多微小弧 段，使得每个元弧段段，使得每个元弧段 ds( 即元路程即元路程 )可视为直线段，而力可视为直线段，而力 F 则视为常力，则视为常力， 应用应用常力在直线路程中的功常力在直线路程中的功 的计算式，力的计算式

5、，力 F 在每个元路程在每个元路程 ds 中的功中的功 d W = Fcos ds 1. 元功的定义元功的定义 力的功是力在一段路程中对物体作用所累积的效果，其结果引起能量力的功是力在一段路程中对物体作用所累积的效果，其结果引起能量 的转变和转化。的转变和转化。 式中式中 是力是力 F 与速度与速度 v 间的可变夹角。由于元间的可变夹角。由于元 路程路程ds对应于位移的大小对应于位移的大小 |dr| = |v|dt，故上式可，故上式可 以改写成：以改写成： d W = F dr = F vdt 12-1 力 的 功 - F 在元路程在元路程 ds 中的中的元功元功。 O A1 A F x y

6、z A2 v r+dr r ds dr Theoretical Mechanics d W = Fcos ds 力力 F 在有限路程在有限路程 A1A2 中的总功中的总功W，是该力在这段路程中全部元功的，是该力在这段路程中全部元功的 代数和，可表示成曲线积分代数和，可表示成曲线积分 d W = Fxdx + Fydy + Fzdz-元功的解析表达式元功的解析表达式。 因为因为 F = Fx i + Fy j + Fz k , dr = dx i + dy j + dz k，代入上式得代入上式得 2121 )ddd(dcos AA zyx AA zFyFxFsFW 2. 2. 功的解析表达式。功

7、的解析表达式。 3.3.变力在曲线路程中的总功变力在曲线路程中的总功 如在质点上同时作用着几个力，则由合力投影定理可以推知，如在质点上同时作用着几个力，则由合力投影定理可以推知，合力在合力在 某一路程上的功，等于各分力分别在该路程中的功的代数和某一路程上的功，等于各分力分别在该路程中的功的代数和。这个结论。这个结论 称为称为合力之功定理合力之功定理。 三、合力的功定理三、合力的功定理 四、几种特殊力的功 1 1、 重力的功 设物体的重心设物体的重心 A 沿某一曲线由沿某一曲线由 A1 运动到运动到 A2 。物体的重力。物体的重力 G在坐标轴系上的投影为在坐标轴系上的投影为 Fx = Fy =

8、0 , Fz = G 得重力的元功得重力的元功d W = Gdz 故重力在曲线路程故重力在曲线路程 A1A2 上的功为上的功为 2 1 )(d 21 z z GhzzGzGW 由元功表达式由元功表达式 d W = Fxdx + Fydy + Fzdz O A1(x1,y1,z1) A G x y z A2(x2,y2,z2) Theoretical Mechanics 12-1 力 的 功 式中式中 z1 和和 z2 分别是重心的路程起点和终点的纵坐标；分别是重心的路程起点和终点的纵坐标；h = z1 - z2 是是 物体重心降落的高度，称为物体重心降落的高度，称为高度降高度降。 （2）重力的

9、功与运动路径无关。 （1）重力的功等于重力与重心高度降的乘积。 （3）重心下降，重力作正功；否则，重力做负功。 当当r l0 0 时，时， = （ r l0 ） ，弹簧压弹簧压 缩，弹性力缩，弹性力F指向点指向点A，其矢量表示式为，其矢量表示式为 当当r l0 0 时，时， = r l0 ，弹簧拉长，弹弹簧拉长，弹 性力性力F指向点指向点O，其矢量表示式为，其矢量表示式为 2 2、 弹性力的功 设弹簧未变形时长度是设弹簧未变形时长度是 l0 ，刚度系数是，刚度系数是k。弹簧的一端。弹簧的一端 O 固定，而另一固定，而另一 端端 A 作任意曲线运动，且弹簧始终处于直线状态。现求在点作任意曲线运动

10、，且弹簧始终处于直线状态。现求在点 A 由位置由位置 A1 沿沿 某一路线运动到位置某一路线运动到位置 A2 的路程中弹性力所作的功。的路程中弹性力所作的功。 在任意位置在任意位置A ，弹簧，弹簧 的变形为的变形为 =r l0 ，矢径方向的单位矢量为矢径方向的单位矢量为r /r 。 F = k ( r / r ) = k (r l0) ( r / r ) （1） 弹性力的矢量表示弹性力的矢量表示 F = k r / r = k(r l0) r / r O A1 dr A2 r1 r r2 F A Theoretical Mechanics 12-1 力 的 功 弹性力的矢量表示弹性力的矢量表示

11、F = k(r l0) r/r 式中式中 r / r 是矢径方向的单位矢量。是矢径方向的单位矢量。 （2） 弹性力的元功弹性力的元功 弹性力弹性力 F 在曲线路程在曲线路程 A1A2 中的功中的功 d W = F dr 12 d A A WW （3） 弹性力的功弹性力的功 O A1 dr A2 r1 r r2 F A Theoretical Mechanics 12-1 力 的 功 = k ( r l0 ) r / r dr 0 () d k rl Wd r rr drr 0 0 () d( k rl Wd r rr - l ) 1 ( 2 dr r) 2 1 ( 2 d)r d= r r 0

12、 (d rr - l ) 2 1 00 ()d() r r krlrl 22 1020 ()() 2 k rlrl 1 = r1 l0 2 = r2 l0 22 12 () 2 k W 00 () (k rld r - l ) (2)弹性力的功与运动路径无关。 (1)弹性力的功，等于弹簧初变形的平方和末变 形的平方之差与弹簧刚度系数乘积的一半。 (3)弹簧的变形量减小弹性力作正功；否则，做负功。 3、 牛顿引力的功 由牛顿万有引力定律知，若两个质点的由牛顿万有引力定律知，若两个质点的 质量分别是质量分别是 M 和和 m，相互间的距离是，相互间的距离是 r ，则，则 相互间的引力相互间的引力 F

13、 和和 F 的大小等于的大小等于 2 r Mm fF 式中的引力常数式中的引力常数 f = 6.67310 11m3 kg 1s 2。 O A1 dr A2 r1 r r2 F A F Theoretical Mechanics 12-1 力 的 功 和弹簧情形一样，现在要计算的是一对引力的总功。为此可设质量和弹簧情形一样，现在要计算的是一对引力的总功。为此可设质量 M 固固 定在定在 O 处（固定引力中心）处（固定引力中心），而而 m 为运动质点为运动质点A的质量。它的相对运动轨迹的质量。它的相对运动轨迹 是是A1A2。 设在路程始末端质点设在路程始末端质点 A 到力心到力心 O 的距离（称

14、为极径）分别为的距离（称为极径）分别为 r1 和和 r2，于于 是是M，m 间一对牛顿引力在这段路程的功间一对牛顿引力在这段路程的功 2 1 d r r Wr F 2 1 2 d r r M m fr r 21 11 ()fMm rr 1 2 r r M m f r 五、 作用于质点系上的力系的功 1 1、 平动刚体上力的功平动刚体上力的功 设一刚体在设一刚体在力力 F 作用下作平动，其质心在作用下作平动，其质心在 C 点，刚体上点点，刚体上点 A 的矢径的矢径 是是 r ，速度是，速度是 v , , 则力则力 F 的元功的元功 dW = = F dr = = F drC （2 2） 总总 功

15、功 一、平动刚体上力的功 O dr x r F A v y z （1 1） 元元 功功 C drC vC dW = = F v dt = = F v C dt 或或 dW = F v dt = = F v C dt dW = = F dr = = F drC 或或 Theoretical Mechanics 12-1 力 的 功 12-1 力 的 功 2 2、 定轴转动刚体上外力的功定轴转动刚体上外力的功 设刚体绕定轴设刚体绕定轴z 转动，角速度转动，角速度 = = k，刚体上刚体上 点点 A 的矢径是的矢径是 r ，速度是，速度是 v = = r 。作用着力作用着力 F， 当刚体有一微小转角

16、当刚体有一微小转角 d d 时时，力力 F 的元功的元功 dW = = F dr = = F vdt = = F ( ( r ) )dt 由静力学知，力由静力学知，力 F 对点对点 O 的矩矢的矩矢 mO(F) = r F，而力而力 F 对轴对轴 z 的矩的矩 mz(F ) 等于等于mO(F) 在轴在轴 z 上的投影上的投影，即即 mz ( F ) = mO ( F ) k 所以，混合积所以，混合积 F ( r) = (r F) = k mO(F) = mz(F)。 O k dr x r F A v d y z 混合积混合积 F ( r ) = ( r F ) （1 1）元功元功 Theore

17、tical Mechanics 因此，有因此，有元功元功 dW = mz(F) dt = mz(F) d 在刚体由角在刚体由角 1 转到角转到角 2 的过程中，力的过程中，力 F 的总功为的总功为 2 1 ()d z WmF （2） 总 功 2）若力矩是常量，则力在上述过程中的总功为）若力矩是常量，则力在上述过程中的总功为 W = mz(F) (2 1) 3）如果刚体上作用着一个力系，则其元功为）如果刚体上作用着一个力系，则其元功为 dW = mz(F) dt = Mz d 12-1 力 的 功 1）作用于定轴转动刚体上的力的功，等于该 力对转轴的矩与刚体微小转角的乘积的积分。 O k dr

18、x r F A v d y z Theoretical Mechanics 2 1 ( )d z Wm F 设扭簧上的杆处于水平时扭簧未变形，设扭簧上的杆处于水平时扭簧未变形， 且且变形时在弹性范围之内变形时在弹性范围之内。变形时扭簧。变形时扭簧 作用于杆上的力对点作用于杆上的力对点O之矩为：之矩为： kM 其中其中k为扭簧的刚度系数。当杆从角度为扭簧的刚度系数。当杆从角度1 1转到角度转到角度 2 2时所作的功为时所作的功为 2 1 22 1212 11 d 22 Wkkk (3)扭转弹簧力矩的功 12-1 力 的 功 3 3、 平面运动刚体上力的功平面运动刚体上力的功 设一刚体在设一刚体在

19、力力 F 作用下作平面运动，其质心在作用下作平面运动，其质心在 C 点，速度是点，速度是 vC ， 刚体上点刚体上点 A 的速度是的速度是 vA , , 则力则力 F 的元功的元功 2. 2. 总总 功功 三、平面运动刚体上的力的功 （1 1） 元元 功功 dW = = F vA dt = = F （v C + vAC ）dt dW = = F d dr C + mC ( F ) d r F A C vC vC vAC vA d = = F v C dt + F vAC dt = = F d dr C + F ( ( r ) ) dt = = F d dr C + mC ( F ) d 作用于

20、平面运动刚体上的力的功，等于该力在刚体随质心平动中的功与力 对质心的矩在刚体转动中的功之和。 Theoretical Mechanics 半径为半径为2r 的圆轮在水平面上作纯滚动如图示，轮轴上绕有软绳，轮的圆轮在水平面上作纯滚动如图示，轮轴上绕有软绳，轮 轴半径为轴半径为r，绳上作用常值水平拉力，绳上作用常值水平拉力F，求轮心，求轮心C运动运动x 距离时，力距离时，力F 所作所作 的功。的功。 12-1 力 的 功 根据平面运动刚体上力的功的表达式可知，根据平面运动刚体上力的功的表达式可知， 力力F 所作的功为所作的功为 r x FrFx 2 W = F x mC ( F ) 解： Fx 2

21、 1 x 2r O r C 思考题 Theoretical Mechanics 请问：绳头发生的位移是多少？请问：绳头发生的位移是多少？ 思考题 12-1 力 的 功 Theoretical Mechanics 4、 质点系和刚体内力的功 设质点系内有两质点设质点系内有两质点 A1 和和 A2 ,相互间作用相互间作用 着内力着内力 F1 和和 F2 = F1 。两质点的元位移分。两质点的元位移分 别是别是 dr1 和和 dr2 ,则内力则内力 F1 和和 F2 的元功之和的元功之和 2211 dddrFrFW 12-1 力 的 功 dd 2111 rFrF )d( 211 rrF 12 AA

22、e )(d 121 AAF dr1 dr2 r1 A1 O A2 F2 F1 r2 Theoretical Mechanics 所以所以 dW = F1d(A2A1) = F1d(A1A2) )d( 121 eeAAF d)()d( 12121 eeeAAAAF d)()()d( 121121 eeeeAAFAAF 121 d()FA A 引入矢量引入矢量 设其单位矢量为设其单位矢量为 12A A e 则则eF 11 F de e 2 1 d() 2 e 1 d() 2 e e d0e e - - d(A1A2) 代表两质点间距离代表两质点间距离 A2A1 的的 变化量，它和参考系的选择无关，

23、在一般变化量，它和参考系的选择无关，在一般 质点系中，两质点间距离是可变的，因而，质点系中，两质点间距离是可变的，因而， 可变质点系内力所做功的总和不一定等于可变质点系内力所做功的总和不一定等于 零。零。 刚体刚体内任意两点间的距离始终保持不变，所以内任意两点间的距离始终保持不变，所以刚体内力所做功的总刚体内力所做功的总 和恒等于零。和恒等于零。 dW = F1d(A1A2) dr1 dr2 r1 A1 O A2 F2 F1 r2 Theoretical Mechanics 12-1 力 的 功 作为整体考察，作为整体考察，所有发动机的内力都是有功力所有发动机的内力都是有功力。例如汽车内燃。例

24、如汽车内燃 机工作时，机工作时，气缸内膨胀的气体质点之间的内力气缸内膨胀的气体质点之间的内力；气体质点与活塞之气体质点与活塞之 间的内力间的内力；气体质点与气缸内壁间的内力气体质点与气缸内壁间的内力；这些内力都要作功。；这些内力都要作功。 有有相对滑动相对滑动的两个物体之间的的两个物体之间的摩擦力摩擦力作负功。作负功。 弹性弹性构件横截面上的所有内力分量作负功。构件横截面上的所有内力分量作负功。 5 5、约束力的功之和等于零的情形、约束力的功之和等于零的情形 光滑的固定支承面光滑的固定支承面 (图图 a)，轴承，销钉轴承，销钉 (图图 b)和和活动支座活动支座 (图图 c)的约束力总是和它作用

25、点的元位移的约束力总是和它作用点的元位移 dr 垂直，所以这些垂直，所以这些 约束力的功恒等于零约束力的功恒等于零。 FA dr FA dr FA dr (a)(b)(c) （1） 光滑的固定支承面光滑的固定支承面 、轴承、销钉、轴承、销钉 和活动支座和活动支座 的约束力的约束力 五、约束力的功之和等于零的情形 Theoretical Mechanics 12-1 力 的 功 由于柔绳仅在拉紧时才受力，而任何一段拉直的绳子就由于柔绳仅在拉紧时才受力，而任何一段拉直的绳子就 承受拉力来说，都和刚杆一样承受拉力来说，都和刚杆一样, 其其内力的元功之和等于零内力的元功之和等于零。绳。绳 子绕着光滑物

26、体，情形相同子绕着光滑物体，情形相同。 当由铰链相联的两个物体一起运动而不发生相对转动当由铰链相联的两个物体一起运动而不发生相对转动 时，铰链间相互作用的压力与刚体的内力性质相同。当发时，铰链间相互作用的压力与刚体的内力性质相同。当发 生相对转动时，由于生相对转动时，由于接触点的约束力接触点的约束力总是和它作用点的元总是和它作用点的元 位移相垂直，这些力也位移相垂直，这些力也不做功不做功。 （2） 不可伸长柔绳的拉力不可伸长柔绳的拉力。 (3) 光滑活动铰链内的压力光滑活动铰链内的压力。 Theoretical Mechanics 12-1 力 的 功 (4) 圆轮沿支承面滚动时，摩擦力圆轮沿

27、支承面滚动时，摩擦力(约束力约束力)的功。的功。 O vO Cv F FN 因为因为Cv 为速度瞬心，其速度为零。所以作用为速度瞬心，其速度为零。所以作用 在在Cv点的静摩擦力点的静摩擦力F 所作元功为零所作元功为零 tvFfrFW CvCvF d dd N 0ddtvFW Cv （1）圆轮）圆轮连滚带滑连滚带滑运动时，动摩擦力运动时，动摩擦力F 所作元所作元 功为功为 （2）圆轮）圆轮纯滚动纯滚动时，这时出现静摩擦力时，这时出现静摩擦力F 。 Theoretical Mechanics 12-1 力 的 功 12 -2 质点及质点系的动能 12 -2 质点及质点 系的动能 质点的动能 质点系

28、的动能 几种刚体运动的动能 柯尼西定理 Theoretical Mechanics 12 -2 质点及质点系的动能 即：即：质点的质量与其速度平方乘积的一半称为质点的动能。质点的质量与其速度平方乘积的一半称为质点的动能。 质点系的动能等于系统内所有质点动能的总和，用符号质点系的动能等于系统内所有质点动能的总和，用符号 T 表示，则有表示，则有 国际单位制中，动能的常用单位是国际单位制中，动能的常用单位是 kgm2/s2，即，即 J 。 22 2 1 2 1 iiii vmvmT 设质点的质量为设质点的质量为 m ，速度为，速度为 v ，则该质点的动能则该质点的动能 2 2 1 mvT 动能动能

29、是物体机械运动的一种度量，恒为正值。是物体机械运动的一种度量，恒为正值。 二、质点系的动能二、质点系的动能 一、质点的动能一、质点的动能 Theoretical Mechanics 1. 1. 平动刚体的动能平动刚体的动能 平动刚体各点的速度和质心速度平动刚体各点的速度和质心速度 vC相同，相同，m 表刚体质量，则其动能表刚体质量，则其动能 即，即，平动刚体的动能，等于刚体的质量与质心速度平方乘积的一半。平动刚体的动能，等于刚体的质量与质心速度平方乘积的一半。 2 2 2 2 1 22 1 Ci C Ci vmm v vmT 三、几种刚体运动的动能 质点系的动能质点系的动能22 2 1 2 1

30、 iiii vmvmT 三、几种刚体运动的动能三、几种刚体运动的动能 Theoretical Mechanics 12 -2 质点及质点系的动能 2. 2. 定轴转动刚体的动能定轴转动刚体的动能 设刚体以角速度设刚体以角速度 绕定轴绕定轴 z 转动，以转动，以 mi 表示刚体内表示刚体内 任一点任一点 A 的质量，以的质量，以 ri 表示表示 A 的转动半径，则该刚体的转动半径，则该刚体 的动能为的动能为 其中其中miri2 = Jz 是刚体对转轴是刚体对转轴 z 的转动惯量，故上式可写的转动惯量，故上式可写 成成 可见，可见，定轴转动刚体的动能，等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平定轴转动刚

31、体的动能，等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平 方乘积的一半方乘积的一半. . 转动惯量转动惯量 Jz 就是刚体绕就是刚体绕 z 轴转动时惯性的度量。轴转动时惯性的度量。 2 2 1 z JT 17-9 (b) A vi z ri O 2 ii 2 2 ii 2 ii rmrmvmT 2 )( 2 1 2 1 Theoretical Mechanics 12 -2 质点及质点系的动能 O O e A，B两轮质量相同，以相同的角速度两轮质量相同，以相同的角速度绕圆心绕圆心O转动。转动。 C A B A轮为匀质圆盘轮为匀质圆盘、B轮质心在轮质心在C点。两轮动能是否相同？点。两轮动能是否相同？ 思考

32、题 Theoretical Mechanics 12 -2 质点及质点系的动能 3. 3. 平面运动刚体的动能平面运动刚体的动能 刚体做平面运动时，其上任一点的速度为刚体做平面运动时，其上任一点的速度为 vi ，平面运动刚体的角速，平面运动刚体的角速 度是度是 ，速度瞬心在，速度瞬心在P P 点，刚体对瞬轴的转动惯量是点，刚体对瞬轴的转动惯量是 J JP P 。 设刚体的质心设刚体的质心 C 到速度瞬心到速度瞬心 P 的距离是的距离是 rC ，刚体的质量是，刚体的质量是m。 2 ii 1 2 Tmv A vi C vC P rc riP 对对平行于瞬轴的平行于瞬轴的质心轴的转动惯量是质心轴的转

33、动惯量是 JC , ,则该刚体的动能为则该刚体的动能为 2 )( 2 1 Pii rm 22 2 1 Piir m 根据转动惯量的平行轴定理有根据转动惯量的平行轴定理有 Theoretical Mechanics 12 -2 质点及质点系的动能 P J 2 2 1 2 CCP rmJJ 质心质心 C 的速度大小的速度大小 vC = rC 2 2 2 1 2 1 CC JvmT 2 2 )( 2 1 CC rmJT 平面运动刚体的动能平面运动刚体的动能, ,等于它以质心速度作平动时的动能与相对于质心轴等于它以质心速度作平动时的动能与相对于质心轴 转动时的动能之和转动时的动能之和-柯尼西定理。（。

34、（P.294P.294） 系统如图所示，轮系统如图所示，轮的质量为的质量为m1，纯滚动，纯滚动，AO杆的质量为杆的质量为 m ，角速，角速 度为度为 ，求系统的动能。，求系统的动能。 vA 22 111 11 22 AA TmJv 2 2 1 2 O TJ 21 TTT 22 12 11 () 23 m rr 22212 1121 1 1 11 1 ()()() 22 2 rr mrrm r r 2 112 3 () 4 mrr 1 21 1 r rr 12 () A rrv 练习题 Theoretical Mechanics 11A rv 2222 1 11 11 11 1 13 22 CA

35、 JJm rm rm rm r C是轮是轮上的点，上的点，JC是绕是绕C点的转动惯点的转动惯 量，量， 是否成立？是否成立？ 2 11 1 2 C TJ 2212 11 1 1 2 112 13 () () 22 3 () 4 rr Tm r r mrr 12 -2 质点及质点系的动能 例题例题2-1 已知滑已知滑 块块A的质量为的质量为 m1，质点，质点 B的质量为的质量为m2 , AB杆的杆的 长度为长度为 l、不计质量，、不计质量， 以角速度以角速度AB绕绕 A点转点转 动，滑块的速度为动，滑块的速度为vA。 求系统的动能。求系统的动能。 A m1 O x x y m2 B l vA y

36、 AB 例题2-1 Theoretical Mechanics 12 -2 质点及质点系的动能 m1 O x x y m2 B l vA y vA vBA 1. 运动分析与速度分析运动分析与速度分析 滑块作直线运动，速度为滑块作直线运动，速度为vA； 杆杆AB作平面运动。以作平面运动。以A 为基点，质点为基点，质点B的速度为的速度为 BABA vvv BAAB lv cos BA xAB l v sin BA yAB l v 12 -2 质点及质点系的动能 解：解： Theoretical Mechanics 2. 计算系统动能计算系统动能 滑块的动能滑块的动能 2 11 1 2 A Tmv

37、质点质点B的动能的动能 2 22 2 1 B vmT 22 2 1 (cos )(sin ) 2 AABAB mll v 系统的总动能系统的总动能 222 1222 1 ()cos 2 AAABAB Tmmm lm lvv 已知滑块已知滑块A的质量的质量 为为 m1；匀质杆；匀质杆AB的长的长 度为度为l、质量为、质量为m2，以，以 角速度角速度AB绕绕 A点转动点转动 。圆盘。圆盘B的质量为的质量为m3 , 半径为半径为r，与杆固连；，与杆固连； 滑块的速度为滑块的速度为vA，求系，求系 统的动能。统的动能。 m1 O x x y m2 B l vA y AB C r 思考题 Theoret

38、ical Mechanics m3 12 -2 质点及质点系的动能 例例 题题2-2 坦克或拖拉机履带单位长度质量为坦克或拖拉机履带单位长度质量为 ，轮的，轮的 半径为半径为r，轮轴之间的距离为，轮轴之间的距离为d，履带前进的速度为，履带前进的速度为v0 。求：求： 全部履带的总动能。全部履带的总动能。 v0 d 例题2-2 Theoretical Mechanics 12 -2 质点及质点系的动能 v0 d 解：解：在在C1C2杆上建立杆上建立 动系动系C1xy。 x y 牵连运动为水平平牵连运动为水平平 移，牵连速度为移，牵连速度为v0； 相对运动为绕在两相对运动为绕在两 个作定轴转动圆轮

39、上履个作定轴转动圆轮上履 带的运动。圆轮的角速带的运动。圆轮的角速 度为度为 v0/r ,履带上各履带上各 点的相对速度均为点的相对速度均为v0 。 v0 Theoretical Mechanics 12 -2 质点及质点系的动能 解：解：应用柯希尼定理，全部履带的总动能为应用柯希尼定理，全部履带的总动能为 re TTT 22 00 11 (2d2 )(2d2 ) 22 rrvv 2 0 2(d )rv v0 d x y v0 Theoretical Mechanics 12 -2 质点及质点系的动能 方法方法2： 方法方法1： SL TTT 2 0 1 d(2 2 v ) 222 0 0 1

40、1 2+2() 22 rr r r v v 2 0 2(d ) rv 例例 题题 例例2-3 图示系统中，均质滚子图示系统中，均质滚子A重重Q 、滑轮、滑轮B重重G，半径均为，半径均为r，滚子沿倾，滚子沿倾 角为角为 的斜面向下滚动而不滑动，轮心的速度为的斜面向下滚动而不滑动，轮心的速度为vC， ，借跨过滑轮 借跨过滑轮B的不可伸的不可伸 长的绳索提升重长的绳索提升重P的物体，同时带动滑轮的物体，同时带动滑轮B绕绕O轴转动，求轴转动，求系统在任意位置系统在任意位置 的动能。的动能。 （2 2）系统在任意位置的动能）系统在任意位置的动能 C轮纯滚动，轮纯滚动，D为为A轮瞬心，所以轮瞬心，所以 C

41、 A r v C B r v PC vv Engineering Mechanics BCCAOP PQ vvTJ gg J 2222 11 222 1 2 1 解解:(1)各构件运动分析各构件运动分析:滑轮滑轮B定轴转定轴转 动动,C轮平面运动轮平面运动,滑块平动滑块平动 C C C C vG (r ) PvQQ v(r ) () ggr v g () gr 222222 111 22 1 22 1 1 2 2 12 -2 质点及质点系的动能 例例2-4 椭圆规位于水平面内，由曲柄带动规尺椭圆规位于水平面内，由曲柄带动规尺AB运动，如图所示。曲柄和运动，如图所示。曲柄和 AB都是均质杆，都是

42、均质杆，曲柄和曲柄和AB都是均质杆，都是均质杆，重量分别为重量分别为P和和2P，且，且OCAC BCl，滑块，滑块A和和B重量均为重量均为Q。曲柄。曲柄OC角速度为角速度为 。试求系统的动能。试求系统的动能 解解:(1)各构件运动分析各构件运动分析:OC定轴转动定轴转动,AB平面运动平面运动,两滑块平动两滑块平动 CC OC OC l 杆： vv OC C v I A v B v Engineering Mechanics BAO T Q v g Q v g JJ 2222 I 1 2 1 222 11 (2)系统的动能系统的动能 而而:OC IC=l ,故 OC = AB = , CBA A

43、B ICIBIA 杆 为瞬心： vvv ABI =2cos=2sin BA llvv ll(2sin(2cos PP ( PQ ) g (ll) g Q l ggg 2222222 1 1 ) 2 3 1122 1 2 2 ) 2 12 1 2 CC PPPP vJ(l )( l)l gggg 222222 1 211 21124 2 2222 123 PPP J( lll ggg 22222 I 111224 2 ) 22 123 (绕瞬心的动能) (随质心和绕质心的动能之和) 12 -2 质点及质点系的动能 Engineering Mechanics 例例2-5 均质圆盘重均质圆盘重P、半

44、径、半径r,以角速度以角速度匀速转动匀速转动, 均质杆均质杆AB重重W、长长l ，滑，滑 块块B重量均为重量均为Q。试求。试求OA垂直垂直OB瞬时系统的动能瞬时系统的动能 解解:(1)各构件运动分析各构件运动分析:圆盘圆盘定轴定轴 转动转动,AB平面运动平面运动,滑块滑块B平动平动 (2)研究连杆研究连杆AB，此瞬时，此瞬时，vAvB。连杆。连杆AB作瞬时平移，其瞬心在无穷远处，作瞬时平移，其瞬心在无穷远处， AB=0，其上任意一点的速度相同。，其上任意一点的速度相同。 定轴转动的定轴转动的轮轮上上A点绕点绕O作作 圆圆 周运动，周运动，A点速度沿水平方向点速度沿水平方向向向 左左，滑动滑动B

45、速度速度沿水平方向向左沿水平方向向左 BCA rvvv故故: (3)系统的动能系统的动能 OBC QP J()Tv WW v(r ) gg Q ) gg (r g r 2222222 111 222 1 2 1 2 1 2 1 2 O A B C P W l Q vA vB vC 12 -2 质点及质点系的动能 p.319 12-2 Theoretical Mechanics 12 -3 动 能 定 理 12 -3 动 能 定 理 质点系动能定理 质点动能定理 Theoretical Mechanics 12 -3 动 能 定 理 动能定理表达了质点或质点系的动能变化和作用力的功之间的数量关系

46、动能定理表达了质点或质点系的动能变化和作用力的功之间的数量关系 设质量为设质量为 m 的质点的质点 A ，在力作用下在力作用下 F 沿曲沿曲 线由线由 A1 运动到运动到 A2 ，它的速度由，它的速度由 v1 变为变为 v2 。 两边点乘速度两边点乘速度 v , ,得得 mv dv = F vdt dv a = F d mm t 一、质点动能定理一、质点动能定理 1. 1. 微分形式微分形式 由牛顿第二定理由牛顿第二定理 ddmtvF Theoretical Mechanics = F dr 右端是作用力的元功，左端可改写成右端是作用力的元功，左端可改写成 mv dv = md(v v )/2

47、 = d(mv2/2)， 从而得从而得 2 1 d()d 2 mWv 质点动能定理的质点动能定理的微分形式微分形式: :质点动能的微分等于作用于质点上的力的元功质点动能的微分等于作用于质点上的力的元功 将上式沿路程将上式沿路程 A1A2 积分，得积分，得 式中式中 W 表示力表示力 F 在路程在路程 A1A2 中的功中的功 22 21 11 22 mmWvv 2. 2. 积分形式积分形式 动能定理的动能定理的积分形式积分形式:质点动能在某一路程中的改变量，等于作用于质质点动能在某一路程中的改变量，等于作用于质 点的各力在该路程中所做的功点的各力在该路程中所做的功。 即，即，质点系动能的微分等于

48、作用于质点系各力的元功的代数和质点系动能的微分等于作用于质点系各力的元功的代数和，这就是这就是 质点系动能定理的微分形式质点系动能定理的微分形式。 dT= dW i 对于质点系中的每个质点，都有类似上式，相加得对于质点系中的每个质点，都有类似上式，相加得 因因 故上式可写成故上式可写成 2 ii i d()d 2 m W v 22 iiii d()d()d 22 mm T vv 2 1 d()d 2 mW 由质点由质点动能定理的微分形式动能定理的微分形式 1.1.微分形式微分形式 二、质点系动能定理二、质点系动能定理 Theoretical Mechanics 12 -3 动 能 定 理 式中

49、式中 T1 ， T2 分别代表某一运动过程中开始和终了时质点系的分别代表某一运动过程中开始和终了时质点系的动能。动能。 上式表明上式表明质点系的动能在某一路程中的改变量质点系的动能在某一路程中的改变量, ,等于作用于质点系的各力等于作用于质点系的各力 在该路程中的功的代数和在该路程中的功的代数和。这就是这就是质点系动能定理的积分形式。质点系动能定理的积分形式。 T2T1 = Wi 积分微分形式得：积分微分形式得： 2.2.积分形式积分形式 例题2-3 质量为质量为m的物的物 体，自高处自由落下，落体，自高处自由落下，落 到下面有弹簧支持的板上，到下面有弹簧支持的板上， 如图所示。设板和弹簧的如

50、图所示。设板和弹簧的 质量都忽略不计，弹簧的质量都忽略不计，弹簧的 刚度系数为刚度系数为k。求弹簧的最。求弹簧的最 大压缩量。大压缩量。 h smax 例题2-3 Theoretical Mechanics 12 -3 动 能 定 理 mghmv0 2 1 2 1 得得 ghv2 1 物体从位置物体从位置落到板上时是自由落体运落到板上时是自由落体运 动，速度由动，速度由0增到增到v1，动能由，动能由0变为变为 。 2 1 2 1 mv 在这段过程中，重力作的功为在这段过程中，重力作的功为 mgh。 应用动能定理应用动能定理 mg 解：解： （1）取物体为研究对象。）取物体为研究对象。 T2T1

51、 = W h smax Theoretical Mechanics 12 -3 动 能 定 理 在这段过程中重力作的功为在这段过程中重力作的功为 mgsmax ，弹簧力作的功为，弹簧力作的功为 。 （2）物体继续向下运动，弹簧被压缩，物体速度逐渐减小。当速度等于零）物体继续向下运动，弹簧被压缩，物体速度逐渐减小。当速度等于零 时，弹簧被压缩量到最大值时，弹簧被压缩量到最大值 smax 。 2 max 0 2 1 sk 应用动能定理得：应用动能定理得： 2 maxmax 2 1 2 1 2 1 0ksmgsmv kmghgm kk mg s2 1 22 max 弹簧的压缩量必定是正值，答案取正号

52、，即弹簧的压缩量必定是正值，答案取正号，即 kmghgm kk mg s2 1 22 max 同时也可把上两段合在一起考虑，同时也可把上两段合在一起考虑， 即对质点从开始下落至弹簧压缩到最大即对质点从开始下落至弹簧压缩到最大 值的过程应用功能定理。值的过程应用功能定理。 2 maxmax 2 )(00s k shmg 解得的结果与前面所得相同。解得的结果与前面所得相同。 在这一过程的始末位置质点的动能在这一过程的始末位置质点的动能 都等于零。在这一过程中，重力作的功都等于零。在这一过程中，重力作的功 为为 mg(h+smax) ，弹簧力作的功同上，弹簧力作的功同上， 于是有于是有 讨论 h s

53、max mg F Theoretical Mechanics 12 -3 动 能 定 理 一自动卸料车重一自动卸料车重W1 , 装好料后重装好料后重W2 , 自倾斜自倾斜30的斜面上的斜面上 无初速地下滑无初速地下滑, 碰着固定的弹簧碰着固定的弹簧, 并压缩弹簧并压缩弹簧, 当料车到达最当料车到达最 低点低点(弹簧产生最大压缩变形弹簧产生最大压缩变形)时自动卸料时自动卸料. 然后然后, 依靠弹簧的依靠弹簧的 弹力弹力, 把空车弹回到原来的高度把空车弹回到原来的高度. 设所有阻力等于斜面对料车设所有阻力等于斜面对料车 法向支承力的法向支承力的20% , 问问W2 与与W1的比值应为多少的比值应为

54、多少? h D 讨论题 Theoretical Mechanics 12 -3 动 能 定 理 分为两个过程来求解分为两个过程来求解: : (1)(1)装料车从最高位置到最低位置的过程中，用动能定理。装料车从最高位置到最低位置的过程中，用动能定理。 (2)(2)空车从最低位置到最高位置的过程中，再用动能定理。空车从最低位置到最高位置的过程中，再用动能定理。 h D Theoretical Mechanics 12 -3 动 能 定 理 ： 装料车从最高点下滑装料车从最高点下滑, , 又回到最高点又回到最高点, , 对这一往返过程对这一往返过程 应用动能定理。应用动能定理。 空车上滑时阻力做功。

55、空车上滑时阻力做功。 装料车下滑时阻力做功。装料车下滑时阻力做功。 下滑时，料的重力做功。下滑时，料的重力做功。 在往返过程中，空车重力在往返过程中，空车重力W1做功也为做功也为0。 在往返过程中，弹簧压缩后又恢复到原长，故弹性力做功为在往返过程中，弹簧压缩后又恢复到原长，故弹性力做功为0。 始、末位置动能：始、末位置动能： T1=T2=0 h D Theoretical Mechanics 12 -3 动 能 定 理 例题例题 2-4 运送重物用的卷扬机如图运送重物用的卷扬机如图 (a) 所示。已知鼓轮重所示。已知鼓轮重 W1 , ,半径是半径是 r, , 对转轴对转轴 O 的回转半径是的回

56、转半径是 。在鼓轮上作用着常值转矩。在鼓轮上作用着常值转矩 MO , ,使重使重 W2 的物的物 体体 A 沿倾角为沿倾角为 的直线轨道向上运动。已知物体的直线轨道向上运动。已知物体 A 与斜面间的动摩擦系与斜面间的动摩擦系 数是数是 f 。假设系统从静止开始运动，绳的倾斜段与斜面平行，绳的质量和。假设系统从静止开始运动，绳的倾斜段与斜面平行，绳的质量和 轴承轴承 O 的摩擦都忽略不计。试求物体的摩擦都忽略不计。试求物体 A 沿斜面上升距离沿斜面上升距离 s 时物体时物体 A的速的速 度和加速度。度和加速度。 (a) A2AA1 O 例题2-4 Theoretical Mechanics 12

57、 -3 动 能 定 理 1)1)系统从静止开始运动的，初动能系统从静止开始运动的，初动能 T1 = 0。设在。设在 重物上升的单向路程重物上升的单向路程为为 s 时设）速度为时设）速度为v.鼓轮的鼓轮的 角速度大小角速度大小=v/r 则系统的动能则系统的动能 T2为。为。 （1）取物系为研究对象。）取物系为研究对象。 解：解： 22 2 2 11 22 O W TJ g v 222 12 11 ()() 22 WW grg v v 22 12 2 () 2 WW gr v (b) O M0 W2 FN Fs FOx FOy W1a Theoretical Mechanics 12 -3 动 能

58、 定 理 2)在物体在物体 A 上升上升 s 路程中，作用在系统上的力的总功为路程中，作用在系统上的力的总功为 2 sin Os WMWsFs sfWsW r s MOcossin 22 由此求出物体由此求出物体 A 的速度的速度 根据根据T2 T1=W，有，有 根号内必须为正值，故当满足根号内必须为正值，故当满足MOW2r(sin+f cos )时，卷扬机才能开始工作。时，卷扬机才能开始工作。 2 2 1222 2 0 sincos 2 O M WWWfWs gr r v 2 22 12 2sin cos O MW rfrgs WW r v 物体物体 A 的加速度的加速度 把式把式(1)中的

59、中的s看作变值，并求两端对时间看作变值，并求两端对时间 t 的导数，有的导数，有 考虑到在直线运动中考虑到在直线运动中 dv / dt = a，ds / dt = v，故故 物体物体 A 的加速度的加速度 2 1222 2 2dd ()(sincos) 2dd O Ms WWWfW gtrrt vv 2 2 12222 0 sincos 2 O M WWWfWs gr r v rg rWW fWM a O 2 2 2 1 2 cos sin O M0 W2 FN F FOx FOy W1a (1) Theoretical Mechanics 12 -3 动 能 定 理 O M0 A A m2g

60、 FN Fs FT a 如何求绳子拉力和如何求绳子拉力和物体物体A与斜面间的摩擦力与斜面间的摩擦力？ 思考题 m2a=FT Fs m2gsin 0=FNm2g cos Theoretical Mechanics O M0 P A rA s 若将重若将重 W2 的物体的物体 A 改变成半径为改变成半径为rA的匀质滚子的匀质滚子，试求，试求滚子滚子A 沿斜面沿斜面 上升距离上升距离 s 时物体时物体 A的速度和加速度。的速度和加速度。 思考题 O M0 A m1g FOx FOy m2g FN Fs P vA a A Theoretical Mechanics 若将重若将重 W2 的物体的物体 A