高中数学 第二章 数列 习题课 数列求和学案

1、学必求其心得，业必贵于专精习题课数列求和学习目标1.能由简单的递推公式求出数列的通项公式.2。掌握数列求和的几种基本方法预习导引1基本求和公式（1）等差数列的前n项和公式:snna1d.（2)等比数列前n项和公式：当q1时，snna1；当q1时，sn.2数列an的an与sn的关系数列an的前n项和sna1a2a3an,则an3拆项成差求和经常用到下列拆项公式（1)。（2）(）（3)。要点一分组分解求和例1求和：sn（x）2(x2)2（xn）2。解当x1时，sn（x)2(x2）2(xn)2（x22）(x42）（x2n2）（x2x4x2n)2n(）2n2n；当x1时，sn4n。综上知,sn规律方法

2、某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和跟踪演练1求数列an：1,1a,1aa2，1aa2an1，的前n项和sn（其中a0）解当a1时,则ann，于是sn123n。当a1时，an(1an)snn(aa2an）n.sn要点二错位相减法求和例2已知等差数列an的前3项和为6，前8项和为4。(1)求数列an的通项公式；（2）设bn(4an）qn1（q0,nn）,求数列bn的前n项和sn.解(1）设an的公差为d,则由已知得即解得a13，d1，故an3（n1)4n。(2）由（1)知，bnnqn1，于是sn1q02q13

3、q2nqn1，若q1,上式两边同乘以q.qsn1q12q2（n1）qn1nqn，两式相减得：（1q)sn1q1q2qn1nqn nqn。sn.若q1,则sn123n,sn规律方法用错位相减法求和时，应注意:（1）要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形;（2）在写出“sn”与“qsn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“snqsn”的表达式若公比是个参数(字母），则应先对参数加以讨论,一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别求和跟踪演练2数列an的前n项和为sn，a11，an12sn（nn）(1)求数列an的通项an；（2）求数列nan的前n项和tn.解(1)a

4、n12sn,sn1snan12sn，sn13sn.又s1a11，数列sn是首项为1,公比为3的等比数列sn3n1（nn)当n2时,an2sn123n2，且a11，an（2)tna12a23a3nan，当n1时,t11；当n2时，tn14306312n3n2，3tn34316322n3n1，得2tn22(31323n2)2n3n1222n3n11(12n)3n1,tn（n）3n1(n2)，又t1a11也满足上式，tn（n）3n1（nn）要点三裂项相消求和例3求和：，n2.解(），原式(1)（)（）（)(1)。规律方法如果数列的通项公式可转化为f(n1)f（n)的形式，常采用裂项求和法跟踪演练3求

5、和：1.解an2()，sn2（1).要点四奇偶并项求和例4求和：sn1357(1）n(2n1）解当n为奇数时，sn（13)(57）(911)（2n5)(2n3）（2n1）2（2n1）n。当n为偶数时，sn（13）(57）(2n3)（2n1）2n。sn（1）nn(nn）跟踪演练4已知数列1,4，7，10，,（1）n(3n2），求其前n项和sn。解n为偶数时，令n2k(kn），sns2k14710（1)2k（6k2)（14）（710)（6k5)（6k2）3kn;当n为奇数时，令n2k1（kn)sns2k1s2ka2k13k（6k1）。sn1数列an的前n项和为sn，若an，则s5等于()a1b.c

6、.d。答案b解析an，s5(1）(）()1。2数列1,2,3，4，的前n项和为()a。(n2n2) b.n(n1)1c。（n2n2） d。n(n1)2(1）答案a解析123(n）(12n）(）（n2n）1(n2n2）。3数列an的通项公式an，若前n项的和为10，则项数为（)a11 b99 c120 d121答案c解析an，sn110，n120。4若数列an的前n项和为snan，则数列an的通项公式是an_。答案(2）n1 解析当n1时，a1s1a1,解得a11。当n2时，ansnsn1（an)（an1)anan1,整理可得anan1，即2，故数列an是以1为首项，2为公比的等比数列，故an(2）n1。求数列前n项和，一般有下列几种方法1错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和2分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列3拆项相消:有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和4奇偶并项：当数列通项中出现(1）n或（1）n1时，常常需要对n取值的奇偶性进行分类讨论5倒序相加：例