第5章立体的切割及截交线画法

1、第5章 立体的切割及截交线画法 截平面截平面 截切截切立体立体的平面。的平面。 截交线截交线 截平面与截平面与立体立体表面的交线。表面的交线。 截断面截断面 截交线围成的平面图形截交线围成的平面图形。 一、相关概念：一、相关概念： 二、截交线的性质：二、截交线的性质： 封闭性：封闭性：截交线是截交线是 一般为一般为封闭的平面图形封闭的平面图形。 共有性：共有性：截交线是截交线是截平面截平面与与立体表面立体表面的的共有线共有线。 注：注：求求截交线的实质就是求截交线的实质就是求截平面截平面与与立体立体 表面表面上一系列上一系列共有点共有点。 5.1 5.1 平面体的截切平面体的截切 求截交线的两

2、种方法：求截交线的两种方法： 求各棱线与截平面的交点求各棱线与截平面的交点棱线法棱线法。 求各棱面与截平面的交线求各棱面与截平面的交线棱面法棱面法。 求截交线的步骤：求截交线的步骤： 截平面与体的相对位置截平面与体的相对位置 截平面与投影面的相对位置截平面与投影面的相对位置确定截交线确定截交线 的投影特性的投影特性 确定截交确定截交 线的形状线的形状 空间及投影分析空间及投影分析 画出截交线的投影画出截交线的投影 分别求出截平面与棱线、棱面的交分别求出截平面与棱线、棱面的交 点和交线，并连接成多边形。点和交线，并连接成多边形。 截交线各边：是截交线各边：是截平面与棱面的交线截平面与棱面的交线。

3、 截交线截交线: :是由直线组成的是由直线组成的封闭平面多边形封闭平面多边形。 例例1 1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。 3 3 2 2 1 1 (4(4 ) ) 1 1 2 2 4 4 3 3 1 1 2 2 4 4 空间分析空间分析 3 3 投影分析投影分析 求截交线求截交线 分析棱线的投影分析棱线的投影 检查检查 尤其注意检尤其注意检 查截交线投影的类似性查截交线投影的类似性 注：截交线的顶点是各棱线与截平面的交点。注：截交线的顶点是各棱线与截平面的交点。 例例2 2：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。 1 1

4、 2 2 1 1 (2(2 ) ) 、两点分别同两点分别同 时位于三个面上。时位于三个面上。 三面共点：三面共点： 2 2 1 1 注：注：两个截切平面相交必有交线。两个截切平面相交必有交线。 例例 3: 求八棱柱被平面求八棱柱被平面P截切后的俯视图。截切后的俯视图。 P P 截交线的形状？截交线的形状？ 1 1 5 5 4 4 3 3 2 2 8 8 7 7 6 6 截交线的投影截交线的投影 特性？特性？ 2 2 3 3 6 6 7 7 1 1 8 8 4 4 5 5 求截交线求截交线 1 1 5 5 4 4 7 7 6 6 3 3 2 2 8 8 分析棱线的分析棱线的 投影投影 检查截交检

5、查截交 线的投影线的投影 例例 3: 求八棱柱被平面求八棱柱被平面P截切后的俯视图。截切后的俯视图。 截交线的形状取决于回转体表面的形状及截交线的形状取决于回转体表面的形状及 截平面与回转体轴线的相对位置截平面与回转体轴线的相对位置。 截交线：是封闭的截交线：是封闭的曲线图形曲线图形或由或由曲线曲线与与直直 线组成的图形线组成的图形。 5.2 5.2 回转体的截切回转体的截切 求作回转体截交线的方法与步骤求作回转体截交线的方法与步骤 空间及投影分析空间及投影分析 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线 的相对位置，以便的相对位置，以便确定截交线的形状确定截

6、交线的形状。 分析截平面与投影面的相对位置，分析截平面与投影面的相对位置，明确明确截交截交 线的投影特性线的投影特性，如积聚性、类似性等。，如积聚性、类似性等。找出找出 截交线的截交线的已知已知投影，投影，预见未知预见未知投影。投影。 求作截交线的投影求作截交线的投影 当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为： 光滑连接光滑连接各点各点，并判断截交线的，并判断截交线的可见性。可见性。 先求特殊点；先求特殊点； 再求一般点；再求一般点； 求截交线的方法：求截交线的方法： 求截平面与回转体表面的求截平面与回转体表面的共有点共有点。 2. 2. 求截交线的步

7、骤：求截交线的步骤： 圆柱体表面的截交线圆柱体表面的截交线 截平面与圆柱面交线的形状取决于截平面与圆柱截平面与圆柱面交线的形状取决于截平面与圆柱 轴线轴线的相对位置。的相对位置。 垂直垂直: :圆圆平行平行: :两平行直线两平行直线倾斜倾斜: :椭圆椭圆 2 1 43 例例1 ：求圆柱截交线解题步骤 1分析 截交线的 水平投影为直线和 部分圆，侧面投影 为矩形； 2求出截交线上的 特殊点、 、； 3顺次地连接各点 ，作出截交线并判 别可见性； 4整理轮廓线。 1（2） 1（3） 3（4） 2（4） 12 34 例例2 ：求圆柱截交线 解题步骤 1.分析 截交线的水平 投影为直线和部分圆， 侧面

8、投影为矩形； 2.求截交线上的特殊点 、； 3.顺次连接各点,作出 截交线并判别可见性； 4. 整理轮廓线。 1 （2 ) 3（4） 1(3) 2(4) 例例3 3：补画出立体的左视图：补画出立体的左视图 作左切面上的投影作左切面上的投影; ; 作圆柱的左视图作圆柱的左视图; ; 作下部通槽的投影作下部通槽的投影; ; 判别可见性。判别可见性。 擦除多余图线擦除多余图线, ,整理整理完成作图。完成作图。 例例4 4：求左视图：求左视图 空间及投影分析空间及投影分析 求截交线求截交线 分析圆柱体轮廓素线的投影分析圆柱体轮廓素线的投影 截交线的形状截交线的形状 截交线的投影特性截交线的投影特性 解

9、题步骤：解题步骤： 注注: : 同一立体被多个平面截切，要逐个截同一立体被多个平面截切，要逐个截 平面进行截交线的分析和作图。平面进行截交线的分析和作图。 例例4 4：求左视图：求左视图 空间及投影分析空间及投影分析 求截交线求截交线 分析圆柱体轮廓素线的投影分析圆柱体轮廓素线的投影 截交线的形状截交线的形状 截交线的投影特性截交线的投影特性 解题步骤：解题步骤： 例例5 5：求左视图：求左视图 例例5 5：求左视图：求左视图 分析、比较分析、比较 例例6：想象出物体及其侧面投影的形状。 例例7 7：求俯视图：求俯视图 例例7 7：求俯视图：求俯视图 例例8 8：求俯视图：求俯视图 例例8 8

10、：求俯视图：求俯视图 分析、比较分析、比较 截交线的已知投影？截交线的已知投影？ 例例9 9：求左视图：求左视图 求作特殊点求作特殊点 求作一般点求作一般点 光滑连接各点光滑连接各点 分析轮廓素线的投影分析轮廓素线的投影 截交线的侧面投影是什么形状？截交线的侧面投影是什么形状？ 例例9 9：求左视图：求左视图 求作特殊点求作特殊点 求作一般点求作一般点 光滑连接各点光滑连接各点 分析轮廓素线的投影分析轮廓素线的投影 椭圆的长、椭圆的长、 短轴随截平面与短轴随截平面与 圆柱轴线夹角的圆柱轴线夹角的 变化而改变。变化而改变。 4545 什么情况下什么情况下 投影为圆呢？投影为圆呢？ 截平面与圆柱截

11、平面与圆柱 轴线成轴线成4545时。时。 例例9 9：求左视图：求左视图 例例1010：求左视图：求左视图 例例11：求圆柱截交线 1 11 5 4 8 8 8 3 2 5 4 45 2 3 2 3 解题步骤 1分析 截平面为正垂 面，截交线的侧面投影为 圆，水平投影为椭圆； 2求出截交线上的特殊 点、 、 ； 3求出若干个一般点 、 、； 4光滑且顺次地连接各 点，作出截交线，并且判 别可见性； 5整理轮廓线。 7 6 6 7 6 7 例例12： 求圆柱截交线 解题步骤 1分析侧面投影为圆的 一部分，截交线的水平投 影为椭圆的一部分； 2求出截交线上的特殊 点、 ； 3求出若干个一般点 、

12、； 4光滑且顺次地连接各 点，作出截交线，并且判 别可见性； 5 整理轮廓线。 3 4 5 33 45 5 4 12 2 1 1 2 =90=90 90900 0 圆锥体表面的截交线圆锥体表面的截交线 过锥顶过锥顶 两相交直线两相交直线圆圆椭圆椭圆抛物线抛物线双曲线双曲线 根据截平面与轴线相对位置的不同，圆锥面截根据截平面与轴线相对位置的不同，圆锥面截 交线有五种形状。交线有五种形状。 平面与圆锥体相交所得截交线形状 圆圆 椭圆椭圆 三角形三角形 双曲线加直线段双曲线加直线段抛物线加直线段抛物线加直线段 e c a d b 例例1:1:圆锥被正平面截切，补全主视图和左视图。圆锥被正平面截切，补

13、全主视图和左视图。 E D C A B b a 截交线的空间形状？截交线的空间形状？ 截交线的投影特性？截交线的投影特性？ d c e e c (d ) a (b ) 例例1:1:圆锥被正垂面截切，求圆锥被正垂面截切，求 截交线并完成三视图。截交线并完成三视图。 找特殊点找特殊点 补充中间点补充中间点 光滑连接各点光滑连接各点 分析轮廓线的分析轮廓线的 投影投影 截交线的空间截交线的空间 形状？形状？ 截交线的投影截交线的投影 特性？特性？ 椭圆另一根轴椭圆另一根轴 的端点？的端点？ 例例1:1:圆锥被正垂面截切，求圆锥被正垂面截切，求 截交线并完成三视图。截交线并完成三视图。 找特殊点找特殊

14、点 补充中间点补充中间点 光滑连接各点光滑连接各点 分析轮廓线的分析轮廓线的 投影投影 例例3 3：求圆锥截交线 解题步骤 1分析 截平面为正 垂面侧平面，截交线 为部分椭圆和梯形的 组合；其水平投影为 部分椭圆和直线的组 合，侧面投影为部分 椭圆和梯形的组合； 2求截交线上的特 殊点、 、 ； 3求一般点、 ； 4光滑且顺次地连 接各点，作出截交线 ，并且判别可见性； 5整理轮廓线。 a 2 3 1 45 1 1 a 2 3 2 3 5 4 45 平面与圆球相交，平面与圆球相交，截交线的形状都是圆截交线的形状都是圆。 球体的截切球体的截切 球体截交线的投影 根据截平面与投影面相对位置的不同，

15、根据截平面与投影面相对位置的不同，其其截截 交线的投影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线交线的投影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线。 水平面截圆球的截交线的投影，水平面截圆球的截交线的投影， 在俯视图上为部分圆弧，在左视在俯视图上为部分圆弧，在左视 图上积聚为直线。图上积聚为直线。 两个侧平面截圆球的截交线的两个侧平面截圆球的截交线的 投影，在左视图上为部分圆弧，投影，在左视图上为部分圆弧， 在俯视图上积聚为直线。在俯视图上积聚为直线。 例例1: 1: 求半球体截切后的俯视图和左视图。求半球体截切后的俯视图和左视图。 例例1:1:求半球体截切后的俯视图和左视图。求半球体截切后的俯视图和左视图。 2

16、2 1 例例2 2: 求圆球截交线 解题步骤 1分析 截平 面为两个侧平面 和一个水平面， 截交线为圆弧和 直线的组合；截 交线的水平投影 和侧面投影均为 圆弧和直线的组 合； 2求出截交线 上的特殊点、 ； 3求出各段圆 弧； 4判别可见性 ，整理轮廓线。 3 33 1 2 复合回转体表面的截交线复合回转体表面的截交线 分析复合回转体的分析复合回转体的组成组成以及它们的以及它们的连接关系连接关系； 分别求各基本回转体分别求各基本回转体截交线截交线的投影；的投影； 注意两相交注意两相交截平面交线截平面交线和立体和立体轮廓线轮廓线的投影。的投影。 例：求作顶尖的俯视图例：求作顶尖的俯视图 当截交线的投影为非圆曲线时，当截交线的投影为非圆曲线时，要要先先 找特殊点，再补充中间点找特殊点，再补充中间点，最后光滑连接，最后光滑连接 各点。各点。 注意分析平面体的棱线和回转体轮廓注意分析平面体的棱线和回转体轮廓 素线的投影。素线的投影。 分析截平面与被截立体对投影面的相对分析截平面与被截立体对投影面的相对 位置，以位置，以确定截交线的投影特性确定截交线的投影特性。 求截交线求截交线 空间及投影分析空间及投影分析 分析截平面与被截立体的相对位置，以分析截平面与被截立体的相对位置