第一章质点动力学2

1、相对运动 运动具有相对性运动具有相对性 球作曲线运动 球垂直往返 如何变换？如何变换？ 物体运动的轨迹依赖于观察者所处的参考系物体运动的轨迹依赖于观察者所处的参考系 一、相对运动一、相对运动 1.3 平动参照系 二、平动参照系二、平动参照系 1 1、动系和靜系、动系和靜系 2 2、平动参照系、平动参照系 x z y x z y x z x y z y 不同参照系下研究不同参照系下研究p p点的运动的关系点的运动的关系: : j i A ro r j i O r rrrrrr 00 其中：其中： v dt rd r 为为P P对静系对静系S S的速度，的速度， 称为称为p p点的点的绝对速度绝对

2、速度。 v dt rd r 为为P P对动系对动系SS的速度，称为的速度，称为P P点的点的相对速度相对速度; ; 00 vr 由于动系的牵连而使质点具有相对对由于动系的牵连而使质点具有相对对S S的速度的速度, , 称称 为为牵连速度牵连速度; ;等于动系对静系的速度。等于动系对静系的速度。 0 vvv 三、绝对速度、相对速度、牵连速度绝对速度、相对速度、牵连速度 说明说明: P: P点同时参与两个运动点同时参与两个运动 P点对点对S的运动的运动, ,P点被点被S带动着一带动着一 起以起以v0 的运动的运动 例例5: 5: 某人以某人以4km/h向东前进向东前进, , 感觉风从正北吹来感觉风

3、从正北吹来, ,以以8km/h向东向东 前进前进, , 感觉风从东北吹来感觉风从东北吹来, , 求风速和风向求风速和风向. . 解解: 1) : 1) 先确定是相对运动问题：一个被考察的质点和两个有先确定是相对运动问题：一个被考察的质点和两个有 相对运动的参考系相对运动的参考系 2) 2) 确定动系和静系确定动系和静系 ivjvviv jvviv 2 2 2 2 8 4 02 01 ivjviv jviv 2 2 2 2 8 4 北北 东东 4i v 8i v v 人对地人对地牵连速度牵连速度 风对人风对人相对速度相对速度 风对地风对地绝对速度绝对速度 0 v v v 0 v 靜系：地面靜系：

4、地面 动系：人动系：人 质点：风质点：风 vvv vv y x 2 2 2 2 84 jiv 44 解得解得 vvv 0 :由由 例例6: 6: 小船小船M M被水流冲走后，用一绳将它拉回岸边被水流冲走后，用一绳将它拉回岸边A A点。假定水流点。假定水流 速度速度C C1 1沿河宽不变，而拉绳子的速度为沿河宽不变，而拉绳子的速度为C C2 2. . 求船的轨迹求船的轨迹. . vvv 0 :由 sin 1 2 cvvv cvvv o rorr 解解: :取岸为靜系，水流为动系，船为质点，取岸为靜系，水流为动系，船为质点， 并建立如图极坐标系并建立如图极坐标系 A c2 c1 sin 1 2 c

5、 c rd dr 水对岸（已知）牵连速度 未知船对水相对速度 知）船对岸（径向分量已绝对速度 0 )( v v v x sin 1 2 c dt d r c dt dr dk r dr sin 1 Ckrtanlnln积分得： tan tan 2/cos2/sin2sin ddd )2/( 1 2 C C k kk rrtantan 00 00, 0rrt时设初始条件为： Cr k 00 tanlnln 00 tanlnln k rC 00 tanlnlntanlnln kk rr 00 tan tan lnln k k r r Cr k tanlnln积分得： 二、绝对加速度、相对加速度、牵

6、连加速度绝对加速度、相对加速度、牵连加速度 a 为为P P对静系对静系S S的加速度，称为的加速度，称为P P点的点的绝对加速度绝对加速度 a为为P P对动系对动系SS的加速度，称为的加速度，称为P P点的点的相对加速度相对加速度 a0 为动系为动系SS对靜系对靜系S S的加速度的加速度, , 称为称为牵连加速度牵连加速度 SS对对S S作匀加速直线运动作匀加速直线运动 0 vvv 由由 0 aaa 得得: : 例题：（例题：（1.161.16） 宽度为宽度为d d的河流，其流速与到河岸的距离成正的河流，其流速与到河岸的距离成正 比。在河岸处，水流速度为零，在河流中心处，其值为比。在河岸处，水

7、流速度为零，在河流中心处，其值为c c。一小。一小 船以相对速度船以相对速度u u沿垂直于水流的方向行驶，求船的轨迹以及船在沿垂直于水流的方向行驶，求船的轨迹以及船在 对岸靠拢的地点。对岸靠拢的地点。 解解: 以出发点为原点，沿河岸为以出发点为原点，沿河岸为x轴，垂轴，垂 直岸的方向为直岸的方向为y轴建立图示坐标系。取岸轴建立图示坐标系。取岸 为靜系，水流为动系，船为质点。为靜系，水流为动系，船为质点。 水流速度水流速度 vvv 0 :由由 水对岸（可求）水对岸（可求）牵连速度牵连速度 已知已知船对水船对水相对速度相对速度 船对岸（未知船对岸（未知绝对速度绝对速度 0 )( v v v 河中心

8、处水流速度为河中心处水流速度为 d c k 2 dydydk dyky v 2 20 0 2 d kc u dt dy v y d c dt dx v y x 2 ttx tdt d cu ydt d c dx 000 22 uty udtdy u dt dy ty 00 2 t d cu x 2 y ud c x （1）当）当 时时 2 0 d y dyddydc dycy v 2 2 20 d2 0vvv 0 到达河中间时：到达河中间时： u d t u cd x d y 2 , 4 , 2 u dt dy v yd d c dt dx v y x 2 uty t u d x u cd d

9、tutd d c dx 24 2 u d tc u d t d cu u cd x 2 2 24 2 2 u cd y du c y u c x 2 2 2 u cd xdy 2 时，时，当当 （2）当）当 时时dyd 2 1.4 1.4 质点运动定律质点运动定律 问题：问题： 1、经典力学的动力学基础是什么？、经典力学的动力学基础是什么？ 2、“牛顿第一定律是第二定律的特例，因此应该去掉牛顿第一定律是第二定律的特例，因此应该去掉”， 这个说法是否正确，为什么？这个说法是否正确，为什么？ 3、什么样的参照系是惯性系？常见的惯性系有哪些？、什么样的参照系是惯性系？常见的惯性系有哪些？ 4、选择不

10、同的惯性系描述力学规律是否有差异？、选择不同的惯性系描述力学规律是否有差异？ 一、牛顿运动定律一、牛顿运动定律 经典动力学基础 一自由粒子永远保持静止或匀速直线运动的状态。一自由粒子永远保持静止或匀速直线运动的状态。 （自由粒子是指不受任何相互作用的粒子）（自由粒子是指不受任何相互作用的粒子） 1) 1) 牛顿第一定律牛顿第一定律 2) 2) 牛顿第二定律牛顿第二定律 i i Fma 物体所获得的加速度的大小与作用在物体上的合外力成正比，物体所获得的加速度的大小与作用在物体上的合外力成正比， 与物体的质量成反比，加速度的方向与和外力的方向相同与物体的质量成反比，加速度的方向与和外力的方向相同

11、3) 3) 牛顿第三定律牛顿第三定律 12 21 FF 两物体之间的相互作用力和反作用力沿同一直线，大小相等，两物体之间的相互作用力和反作用力沿同一直线，大小相等， 方向相反，分别作用于两个不同物体上。方向相反，分别作用于两个不同物体上。 NoteNote： 第一定律是第二定律所不可缺少的前提第一定律是第二定律所不可缺少的前提 因为第一定律为整个力学体系选定了一类特殊的参考系因为第一定律为整个力学体系选定了一类特殊的参考系 -惯性参考系惯性参考系 注：地球自转在赤道附近产生的加速度约为注：地球自转在赤道附近产生的加速度约为3 31010-2 -2m/s m/s2 2 地球绕太阳公转产生的加速度

12、约为地球绕太阳公转产生的加速度约为6 61010-3 -3m/s m/s2 2 一般工程问题，一般工程问题，地球地球可以看作惯性参考系可以看作惯性参考系; ; 如果物体运动的尺度很大，问题精确度要求很高如果物体运动的尺度很大，问题精确度要求很高, ,应当考虑应当考虑 地球自转的影响地球自转的影响, ,可取可取地心地心为惯性参考系为惯性参考系; ; 在分析行星的运动时在分析行星的运动时, ,地心本身作公转地心本身作公转, ,必须取必须取日心日心参考系参考系. . 太阳本身在银河系的加速度大约是太阳本身在银河系的加速度大约是3 31010-10 -10米 米/ /秒秒2 2, ,一般来一般来 说可

13、以不用考虑了说可以不用考虑了, ,可以认为足够精确的了可以认为足够精确的了. . 若惯性系若惯性系S S 相对另一惯性系 相对另一惯性系 S S 沿沿 x 轴方向以速度轴方向以速度 v0 运动，运动， o vvv o vvv aa tt zz yy tvxx o 或或 tt zz yy tvxx o 1 1、伽利略变换、伽利略变换力学相对性原理和经典时空观的集中体现力学相对性原理和经典时空观的集中体现 二、力学相对性原理（伽利略相对性原理）二、力学相对性原理（伽利略相对性原理） 坐坐 标标 变变 换换 逆逆 变变 换换 速度变换速度变换 加速度变换加速度变换 牛顿运动定律对伽利略变换是个不变式

14、。牛顿运动定律对伽利略变换是个不变式。 不可能在惯性系内部进行任何物理实验来确定该系统不可能在惯性系内部进行任何物理实验来确定该系统 作匀速直线运动的速度。作匀速直线运动的速度。 由此可推出：由此可推出：一切惯性系对于力学规律来说都是等价的一切惯性系对于力学规律来说都是等价的。 也即：也即：牛顿运动定律在任何惯性参照系都成立牛顿运动定律在任何惯性参照系都成立。 2 2、力学相对性（伽利略）原理的内容：、力学相对性（伽利略）原理的内容： 爱因斯坦相对性原理：爱因斯坦相对性原理： 一切惯性系对所有的物理过程对于都是等的一切惯性系对所有的物理过程对于都是等的。 1.5 1.5 质点运动微分方程质点运

15、动微分方程 一、运动微分方程的建立一、运动微分方程的建立 ),;(trrFrm 1) 1) 直角坐标系直角坐标系: : tzyxzyxFzm tzyxzyxFym tzyxzyxFxm z y x , , , 可 解 得 质 点可 解 得 质 点 的运动规律的运动规律 o vtvrtrtt 000 ,时 1. 1. 自由质点的运动自由质点的运动 自由质点：不受约束作用的质点称为自由质点自由质点：不受约束作用的质点称为自由质点 F F：质点所受合外力，已知：质点所受合外力，已知 3个二阶常微分方程个二阶常微分方程 构成微分方程组构成微分方程组 给出初始条件：给出初始条件： 2)2)平面极坐标平面

16、极坐标: : y x Fym Fxm ),(2 ),( 2 trrFrrm trrFrrm r 或或 2. 2. 非自由质点的约束运动非自由质点的约束运动 若质点在若质点在 xOy 平面上运动平面上运动: 若质点被限制在某一曲线或曲面上运动若质点被限制在某一曲线或曲面上运动,该曲线或曲面称为该曲线或曲面称为 约束，约束，其方程为其方程为约束方程约束方程 约束对质点的作用力为约束对质点的作用力为约束力约束力(约束反力约束反力) 约束力是约束力是待定的待定的,取决于约束本身的取决于约束本身的性质性质,质点的质点的运动状态运动状态及及 其质点其质点受主动力受主动力的情况的情况 只靠约束力不能引起质点

17、的运动只靠约束力不能引起质点的运动,故称约束力为故称约束力为被动力被动力.（用（用 R表示）表示） 一般采用自然坐标系一般采用自然坐标系. .RFrm 主 质点运动的约束微分方程：质点运动的约束微分方程： 1) 1) 光滑约束，约束力在轨道的法平面内光滑约束，约束力在轨道的法平面内 )3(0 )2( )1( 2 bb nn RF RF v m F dt dv m (1)(1)式求出运动规律式求出运动规律,(2),(2)和和(3)(3)解出约束力解出约束力, ,方便之处在方便之处在 于运动规律和约束力可分开求解于运动规律和约束力可分开求解. . b R F n 2) 2) 非光滑约束非光滑约束

18、)3(0 )2( )1( 2 bb nn RF RF v m fF dt dv m 222 22 bn bnN RRfR RRRf 4 4个方程个方程4 4个未知数个未知数, ,可解可解 二、运动微分方程求解二、运动微分方程求解 两类基本问题：两类基本问题： 1)1)已知运动求力：求导已知运动求力：求导 2)2)已知力求运动：解微分方程（主要课题）已知力求运动：解微分方程（主要课题） 解题基本步骤：解题基本步骤： 1 1）受力分析，作图；）受力分析，作图； 2 2）选取适当坐标系，规定每一质点坐标，并写）选取适当坐标系，规定每一质点坐标，并写 出其分量形式的动力学方程；出其分量形式的动力学方程

19、； 3 3）积分求解动力学方程组，分析解的物理意义）积分求解动力学方程组，分析解的物理意义. . 沿电场方向建立沿电场方向建立x轴，则电场强度为轴，则电场强度为 0 cos x EE iEti 电子受的力为：电子受的力为： 0 cos x FeEeE ieEti 运动微分方程：运动微分方程： 2 0 2 cos d xdv mmeEt dtdt 求解运动微分方程：求解运动微分方程： 积分得积分得 0 1 sin eE vtC m tEEcos 0 代入初始条件代入初始条件 0 0,tvv 得到得到 0 10 sin eE Cv m 代入上式再次积分，并设代入上式再次积分，并设 0 0,txx

20、000 00 22 cossincos eEeEeE xxvtt mmm 0 1 sin eE vtC m 振荡项振荡项非振荡项非振荡项 速度较大时，阻力不能忽略。空气阻力比较复杂速度较大时，阻力不能忽略。空气阻力比较复杂, , 阻力的大阻力的大 小与物体的大小、空气密度、物体速度等有关。详细研究是小与物体的大小、空气密度、物体速度等有关。详细研究是 腔外弹道学腔外弹道学. . 简单问题中：抛体视为质点简单问题中：抛体视为质点, ,空气密度视空气密度视 为不变，阻力为不变，阻力 R= =R（v）。如果速度较小，）。如果速度较小， 可近似认为：可近似认为：R = - bv gmvbgmR dt

21、vd m 运动方程运动方程: : mgbv dt dv m bv dt dv m y y x x投影方程投影方程: : y x P O mg R v t b mg e b mg v b m y b mg e b mg v dt dy v t m b y t m b yy )1)( )( : 0 0 类类似似地地 20 Ce b m vx t m b x 再积分：再积分： b m vCxt x020 0,0 时时设：设： )1( 0 t m b x e b m vx )1ln()( 0 2 2 0 0 0 xv y x mv bx b gm x v v bv mg y 消去消去t t得轨道方程得

22、轨道方程: : 1 lnlnCt m b vdt m b v dv x x x t m b x eCv 1 010 ,0 xxx vCvvt 时时设设： t m b xx ev dt dx v 0 3 3 0 2 2 0 0 0 3 0 2 00 2 2 0 0 0 32 )( 3 1 )( 2 1 )( x mv bg x v g x v v mv bx mv bx mv bx b gm x v v bv mg y xx v y xxxv y x 可见可见:(1) :(1) 若阻力较小若阻力较小( (b b很小很小) )或或x很小很小, , 可以忽略可以忽略x3以上的项以上的项, , 与真空

23、中弹道一致与真空中弹道一致 (2)(2)当当xmvx0/b, , y 负无穷负无穷, , 说明轨道在说明轨道在x=mvx0/b处处 变成竖直直线变成竖直直线. . （3 3）速度增大，线性关系不再成立。）速度增大，线性关系不再成立。 若阻力较小若阻力较小( (b很小很小) )或或x很小很小: : 32 )1ln(, 1 32 0 xx xx mv bx x 由由 xx yy zz mxFk x myFk y mzFk z 运动微分方程运动微分方程 简谐振动方程：简谐振动方程： 0 2 xx 通解：通解：tAxcos 其中A,为积分常数， 由初始条件确定 cos xxx xAt cos cos

24、yyy zzz yAt zAt 补充例题补充例题1正交均匀电磁场中电子的运动。（课后习题（正交均匀电磁场中电子的运动。（课后习题（1.22） 解：取电子入射速度方向为解：取电子入射速度方向为x轴，电场、轴，电场、 磁场方向分别为磁场方向分别为y轴、轴、z轴轴 运动微分方程运动微分方程 kBBjEE , 0,0 0000 zyxiVvt 时时， F dt vd m B vvv kji ejeE zyx 00 0 dt dv m eBveE dt dv m eBv dt dv m z x y y x BvEeF 其其中中： jeBveEieBv xy (3) 0 (2) (1) dt dv v m

25、 eB m eE dt dv v m eB dt dv z x y y x 对（对（3 3）积分可得：）积分可得：0, 0 zvz 将（将（2 2）对）对 t 求导，并代入（求导，并代入（1 1）可得：）可得： 0 2 2 2 y y v dt vd 2 2 m eB 其其中中： 为为积积分分常常数数积积分分可可得得： , cosAtAv y 2 0cos0 Avt y 时时，tAv y sin AV B E m eBVeE m eBveE m F v t x t y y 0 0 又又： B E VA tV B E v y sin 即：即： ty tdtV B E dy 00 sin tV B

26、 E y cos1 1 再积分一次：再积分一次： t sin (1) m eB V B E v m eB dt dv y x 式式：再再根根据据 t v V x V B E dv x 0 tdtsin tV B E Vvx cos1 tV B E B E vx cos tx dttV B E B E dx 00 cos tV B E t B E x sin 1 积分：积分： 再积分：再积分： 例题：质点例题：质点m沿着抛物线沿着抛物线x2=4ay自自x=2a滑至滑至x=0处，求此时处，求此时v以及以及 约束反力约束反力 解：受力分析如图示，运动微分方程为：解：受力分析如图示，运动微分方程为：

27、cos sin 2 mgR v m mg dt dv m sin dy ds ds dy ggv ds dv dt dv sin 0 0a v dygvdv gav2 a y y x x 2 1 0 23 2 0 mgmg v mR x x 2cos 0 2 0 习题（习题（1.24）质量为）质量为m与与2m的两质点，为一不可伸长的轻绳所的两质点，为一不可伸长的轻绳所 联结，绳挂在一光滑的滑轮上。在联结，绳挂在一光滑的滑轮上。在m的下端又用固有长度为的下端又用固有长度为a、 倔强系数为倔强系数为k=mg/a的弹性绳挂上另外一个质量为的弹性绳挂上另外一个质量为m的质点。在的质点。在 开始时，全体保持竖直，原来的非弹性绳拉紧，而有弹性的绳开始时，全体保持竖直，原来的非弹性绳拉紧，而有弹性的绳 则处在固有的长度上。由此静止状态释放后，求证这运动是简则处在固有的长度上。由此静止状态释放后，求证这运动是简 谐的，并求出其振动周期谐的，并求出其振动周期及任何时刻两段绳中的张力及任何时刻两段绳中的张力T及及T 。 解：建立如图所示坐标系，设三物体坐标分别为解：建立如图所示坐标系，设三物体坐标分别为 x1，x2，x3，受力分