第7章耦合电感与理想变压器

1、第第7 7章章 耦合电感与变压器耦合电感与变压器 l 重点重点 2. 2. 变压器的同名端变压器的同名端 1. 1. 耦合电感元件的伏安关系耦合电感元件的伏安关系 3. 3. 理想变压器的基本特性理想变压器的基本特性 7.1 7.1 耦合电感耦合电感 7.1.1 耦合线圈耦合线圈 耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中，如收音机、耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中，如收音机、 电视机中的中周线圈、振荡线圈，整流电源里使用的变压器电视机中的中周线圈、振荡线圈，整流电源里使用的变压器 等都是耦合电感元件，熟悉这类多端元件的特性，掌握包含等都是耦合电感元件，熟悉这类多端元件的特性，掌握包含 这类

2、多端元件的电路问题的分析方法是非常必要的。这类多端元件的电路问题的分析方法是非常必要的。 线圈线圈1 1中通入电流中通入电流i1 1时，在线圈时，在线圈1 1中产生磁通中产生磁通( (magnetic flux)，同时，有部分磁通穿过临近线圈，同时，有部分磁通穿过临近线圈2 2，这部分磁通称为，这部分磁通称为 互感磁通。两线圈间有磁的耦合。互感磁通。两线圈间有磁的耦合。 +u11+u21 11 21 N1 N2 i1 定义定义 ：磁链磁链 (magnetic linkage)， =N 当线圈周围无铁磁物质当线圈周围无铁磁物质( (空心线圈空心线圈) )时时， 与与i 成正比成正比, ,当只有当

3、只有 一个线圈时：一个线圈时： 。为为自自感感系系数数，单单位位亨亨称称H)( 111111 LiL 当两个线圈都有电流时，每一线圈的磁链为自磁链与当两个线圈都有电流时，每一线圈的磁链为自磁链与 互磁链的代数和：互磁链的代数和： 2121112111 iMiL 1212221222 iMiL 。为互感系数，单位亨为互感系数，单位亨、称称H)( 2112 MM 注注 （1 1）M值与线圈的形状、几何位置、空间媒质有关，与值与线圈的形状、几何位置、空间媒质有关，与 线圈中的电流无关，满足线圈中的电流无关，满足M12=M21 。 （2 2）L L总为正值，总为正值，M值有正有负。值有正有负。 耦合系

4、数耦合系数 用耦合系数用耦合系数k 表示两个表示两个 线圈磁耦合的紧密程度线圈磁耦合的紧密程度。 1 21 def LL M k 当当 k=1 称全耦合称全耦合: 漏磁漏磁 s1 = s2=0即即 11= 21 ， ， 22 = 12 1 )( 2211 2112 2211 21 21 2 21 iLiL MiMi LL M LL M k 一般有：一般有： 耦合系数耦合系数k与线圈的结构、相互几何位置、空间磁介质有关与线圈的结构、相互几何位置、空间磁介质有关 互感现象互感现象 利用利用变压器：信号、功率传递变压器：信号、功率传递 避免避免干扰干扰 克服：合理布置线圈相互位置或增加屏蔽减少互感作

5、用。克服：合理布置线圈相互位置或增加屏蔽减少互感作用。 当当i1为时变电为时变电 流时，磁通也将流时，磁通也将 随时间变化，从随时间变化，从 而在线圈两端产而在线圈两端产 生感应电压。生感应电压。 d d d d 1 1 11 11 t i L t u 当当i1、u11、u21方向与方向与 符合右手螺旋时，符合右手螺旋时， 自感电压自感电压 7.1.2 耦合电感的电压、电流关系耦合电感的电压、电流关系 t i M t u d d d d 121 21 互感电压互感电压 当两个线圈同时通以电流时，每个线圈两端的电压当两个线圈同时通以电流时，每个线圈两端的电压 均包含自感电压和互感电压：均包含自感

6、电压和互感电压： +u11+u21 i1 11 21 N1 N2 1. 如图如图7.1-2(a)所示，所示， 两线圈上电压、电流参考方向为关联参考方向，两线圈上电压、电流参考方向为关联参考方向， 自磁通与互磁通方向自磁通与互磁通方向一致一致， 称为称为磁通相助磁通相助， 互感电压与自感电压取号相同互感电压与自感电压取号相同 。 自感电压为正。自感电压为正。 d d 1 111 t i Lu d d 2 222 t i Lu d d 2 12 t i Mu d d 1 21 t i Mu d d d d 21 112111 t i M t i Luuu d d d d 12 221222 t i

7、 M t i Luuu 2. 如图如图7.1-2(b)所示，所示， 两线圈上电压、电流参考方向为关联参考方向，两线圈上电压、电流参考方向为关联参考方向， 自磁通与互磁通方向自磁通与互磁通方向相反相反 ， 称为称为磁通相消磁通相消 ， 互感电压与自感电压取号相互感电压与自感电压取号相反反。 自感电压为正。自感电压为正。 d d 1 111 t i Lu d d 2 222 t i Lu d d 2 12 t i Mu d d 1 21 t i Mu d d d d 21 112111 t i M t i Luuu d d d d 12 221222 t i M t i Luuu 两个耦合线圈的电

8、压等于自感电压与互感电压的代数和。两个耦合线圈的电压等于自感电压与互感电压的代数和。 当线圈的电压、电流参考方向为关联参考方向时，当线圈的电压、电流参考方向为关联参考方向时， 理想耦合线圈的电压、电流关系可表示为理想耦合线圈的电压、电流关系可表示为 : 12 11 21 22 didi uLM dtdt didi uLM dtdt 两耦合线圈的电压不仅与本线圈中的电流有关，也与另一耦两耦合线圈的电压不仅与本线圈中的电流有关，也与另一耦 合线圈中的电流有关，体现了线圈间的耦合作用，。合线圈中的电流有关，体现了线圈间的耦合作用，。 当线圈的电压、电流参考方向关联时，则自感电压恒取当线圈的电压、电流

9、参考方向关联时，则自感电压恒取“+”号；号； 若两耦合线圈的磁通相若两耦合线圈的磁通相助助时，时， 互感电压取互感电压取“+”号，号， 若两耦合线圈的磁通相若两耦合线圈的磁通相消消时，时， 互感电压取互感电压取“-”号。号。 当线圈的电压、电流为非关联参考方向时，当线圈的电压、电流为非关联参考方向时， 理想耦合线圈的电压、电流关系可表示为理想耦合线圈的电压、电流关系可表示为 : 线圈的电压、电流参考方向线圈的电压、电流参考方向非非关联时，则自感电压恒取关联时，则自感电压恒取“-”号；号； 若两耦合线圈的磁通相若两耦合线圈的磁通相助助时，时， 互感电压取互感电压取“-”号，号， 若两耦合线圈的磁

10、通相若两耦合线圈的磁通相消消时，时， 互感电压取互感电压取“+”号。号。 d d d d 21 11 t i M t i Lu d d d d 12 22 t i M t i Lu 耦合线圈的同名端耦合线圈的同名端 对自感电压，当对自感电压，当u, i 取关联参考方向，取关联参考方向，u、i与与 符合符合 右螺旋定则，其表达式为右螺旋定则，其表达式为 d d 1 111 t i Lu 上式说明，对于自感电压由于电压电流为同一线圈上式说明，对于自感电压由于电压电流为同一线圈 上的，只要参考方向确定了，其数学描述便可容易地写上的，只要参考方向确定了，其数学描述便可容易地写 出，可不用考虑线圈绕向。

11、出，可不用考虑线圈绕向。 i1 u11 对互感电压，因产生该电压的电流在另一线圈上，因对互感电压，因产生该电压的电流在另一线圈上，因 此，要确定其符号，就必须知道两个线圈的绕向。这在电此，要确定其符号，就必须知道两个线圈的绕向。这在电 路分析中显得很不方便。路分析中显得很不方便。为解决这个问题引入同名端的概为解决这个问题引入同名端的概 念。念。 当两个电流分别从两个线圈的对应端子同当两个电流分别从两个线圈的对应端子同 时流入或流出，若所产生的磁通相互加强时，时流入或流出，若所产生的磁通相互加强时， 则这两个对应端子称为两互感线圈的同名端。则这两个对应端子称为两互感线圈的同名端。 同名端同名端

12、* * i1 11 0 N1 N2N3 s i2i3 注意：线圈的同名端必须两两确定。注意：线圈的同名端必须两两确定。 t i Mu d d 1 2121 * * i1 + u11+u21 11 0 N1 N2 +u31 N3 s d d 1 11 t i Lu t i Mu d d 1 3131 确定同名端的方法：确定同名端的方法： (1) (1) 当两个线圈中电流同时由同名端流入当两个线圈中电流同时由同名端流入( (或流出或流出) )时，两时，两 个电流产生的磁场相互增强。个电流产生的磁场相互增强。 i 1 1 2 2 * * 1 1 2 23 3 * * 例例 (2) (2) 当随时间增

13、大的时变电流从一线圈的一端流入时，将当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时，将 会引起另一线圈相应同名端的电位升高。会引起另一线圈相应同名端的电位升高。 1. 如图如图7.1-2(a)所示，所示， d d d d 21 112111 t i M t i Luuu d d d d 12 221222 t i M t i Luuu 3端的电位升高。端的电位升高。 若电流若电流i1从从1端流入，且随时间增长，端流入，且随时间增长，电流电流i2=0。 d d 1 11 t i Lu d d 1 2 t i Mu 1 0 di dt 0 d d 1 2 t i Mu 线圈线圈1端、端、3端为同名端。

14、端为同名端。 当随时间当随时间增大增大的时变电流从一线圈的一端流入时，将会引起的时变电流从一线圈的一端流入时，将会引起 另一线圈相应另一线圈相应同名端的电位升高同名端的电位升高。 2. 如图如图7.1-2(b)所示，所示， d d d d 21 112111 t i M t i Luuu d d d d 12 221222 t i M t i Luuu 线圈线圈1端、端、4端为同名端。端为同名端。 4端的电位升高。端的电位升高。 若电流若电流i1从从1端流入，且随时间增长，端流入，且随时间增长，电流电流i2=0。 d d 1 11 t i Lu d d 1 2 t i Mu 1 0 di dt

15、 0 d d 1 2 t i Mu 当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时，将会引起当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时，将会引起 另一线圈相应同名端的电位升高。另一线圈相应同名端的电位升高。 同名端的实验测定：同名端的实验测定： 电压表正偏。电压表正偏。 0 , 0 22 dt di Mu dt di 如图电路，当闭合开关如图电路，当闭合开关S时，时，i增加，增加， 当两组线圈装在黑盒里，只引出四个端线组，要当两组线圈装在黑盒里，只引出四个端线组，要 确定其同名端，就可以利用上面的结论来加以判断。确定其同名端，就可以利用上面的结论来加以判断。 i 1 1 2 2 * * R S V

16、 + 由同名端及由同名端及u、i参考方向确定互感线圈的特性方程参考方向确定互感线圈的特性方程 有了同名端，以后表示两个线圈相互作用，就不再考有了同名端，以后表示两个线圈相互作用，就不再考 虑实际绕向，而只画出同名端及参考方向即可。虑实际绕向，而只画出同名端及参考方向即可。 i1 * * u21 + M i1 * * u21 + M t i Mu d d 1 21 t i Mu d d 1 21 【例【例7.1-1】如图所示耦合电感，试分析得出该耦合电感的伏安方程。】如图所示耦合电感，试分析得出该耦合电感的伏安方程。 解解: 图中图中L1的电压的电压u1与与i1参考方向是关联方向参考方向是关联方

17、向,图中图中L2的电压的电压u2与与 i2参考方向为非关联方向参考方向为非关联方向 ；另从图中可知，；另从图中可知，i1，i2均从同名均从同名 端流入，则磁通相助。故：端流入，则磁通相助。故： ， 12 11 didi uLM dtdt 21 22 didi uLM dtdt 【例【例7.1-2】在实际工程中，测试密封耦合线圈同名端位置的一种实】在实际工程中，测试密封耦合线圈同名端位置的一种实 验电路如图所示。其测试过程如下：验电路如图所示。其测试过程如下： (1)用万用表测定两线圈各自的两个引出端钮；用万用表测定两线圈各自的两个引出端钮； (2)把其中一个线圈（记为线圈把其中一个线圈（记为线

18、圈1）经开关）经开关S、电阻、电阻R接到一个直接到一个直 流电压源上，把一个视为理想的指针式直流电流表并联接到另流电压源上，把一个视为理想的指针式直流电流表并联接到另 一个线圈（记为线圈一个线圈（记为线圈2）上。）上。 (3)迅速闭合开关，根据电流表指针偏转情况判断两线圈的实际高迅速闭合开关，根据电流表指针偏转情况判断两线圈的实际高 电位端。电位端。 (4)判定两线圈各自的实际高电位端为耦合线圈的同名端。判定两线圈各自的实际高电位端为耦合线圈的同名端。 试阐述该实验的测试原理。试阐述该实验的测试原理。 【答】如图中所示，当开关【答】如图中所示，当开关S闭合时，有随时间增长的电流闭合时，有随时间

19、增长的电流i1经经1 端流入线圈端流入线圈1，在，在L1上产生自感电压上产生自感电压 1 0 di dt 则则1端是线圈端是线圈1的实际高电位端。的实际高电位端。 同时，线圈同时，线圈2将首先产生互感电压，将首先产生互感电压， d d 1 111 t i Lu + u11 + u21 由于由于3，4端外接电流表（电流表内阻端外接电流表（电流表内阻RA 0），线圈），线圈2中流出电中流出电 流流i2。 d d 1 21 t i Mu 1 0 di dt + u11 + u21 d d 1 21 t i Mu 当电流表指针向右正向偏转时，则端钮当电流表指针向右正向偏转时，则端钮3为线圈为线圈2的实

20、际高电位端。的实际高电位端。 电流表指针向左反向偏转时，则表明端钮电流表指针向左反向偏转时，则表明端钮4为线圈为线圈2的实际高电位端。的实际高电位端。 d d 1 21 t i Mu 7.2 含耦合电感电路的相量法分析含耦合电感电路的相量法分析 本节着重讨论正弦稳态下含耦合电感电路的相量分析法，分别本节着重讨论正弦稳态下含耦合电感电路的相量分析法，分别 为方程分析法和等效分析法。根据大纲要求主要讲解方程分析法。为方程分析法和等效分析法。根据大纲要求主要讲解方程分析法。 7.2.1 方程分析法方程分析法 分别对两个回路列写分别对两个回路列写KVL方程，设定各回路电流的参考方向，并认方程，设定各回

21、路电流的参考方向，并认 为各元件的电压与电流参考方向关联，可得：为各元件的电压与电流参考方向关联，可得： 12 1 11 21 22 0 s L didi R iLMu dtdt didi R iLM dtdt 在正弦稳态情况下，由上式可得出以下相量方程：在正弦稳态情况下，由上式可得出以下相量方程： 1112 122 0 s L RjLIjM IU jM IRjLI 将上式写成一般形式，得：将上式写成一般形式，得： 111122 211222 0 s ZIZIU ZIZI 上式中上式中 1111 222 1221 L ZRjL ZRjL ZZjM Z11是初级回路的自阻抗；是初级回路的自阻抗；

22、Z22是次级回路的自阻抗。是次级回路的自阻抗。 Z12是反映耦合电感次级回路对初级回路影响的互阻抗，是反映耦合电感次级回路对初级回路影响的互阻抗， (2)当两个回路电流均从当两个回路电流均从异名端流入异名端流入或流出（磁通相消）时取或流出（磁通相消）时取 -jM。 注意互阻抗取值有两种情况：注意互阻抗取值有两种情况： (1)当初、次级回路电流均从当初、次级回路电流均从同名端流入同名端流入或流出（磁通相助）时或流出（磁通相助）时 取取jM； Z21则是反映耦合电感初级回路对次级回路影响的互阻抗。则是反映耦合电感初级回路对次级回路影响的互阻抗。 综上所述，用方程分析法分析含耦合电感的正弦稳态电路，

23、综上所述，用方程分析法分析含耦合电感的正弦稳态电路， 只需通过观察电路，确定只需通过观察电路，确定Z Z11 11、 、Z Z22 22、 、Z Z12 12和 和Z Z21 21，就可以直接列出回路 ，就可以直接列出回路 方程，然后解方程组得到初、次级电流。如果需要，再通过方程，然后解方程组得到初、次级电流。如果需要，再通过 ， 求得电路中的电压或功率。求得电路中的电压或功率。 1 I 2 I mA 【例7.2-1】含耦合电感电路如图所示，已知 0 I0 4 s 1 I 2 U 试用方程分析法计算电路中的 。 根据初、次级回路电流的参考方向，结合电路列出回路方程：根据初、次级回路电流的参考方

24、向，结合电路列出回路方程： 0 12 12 5005005020 50550 jIjI jIjI o 1 18.4 mA 2.53I A4 .1539 .17 2 mI 【解】：先将恒流源【解】：先将恒流源 和并联的和并联的500电阻变换电阻变换 成恒压源成恒压源 和和500电阻串联。电阻串联。 S I S U 00 050050020 V 0.00 4 SS UI V4 .1535 .895 22 mIU 7.3 理想变压器理想变压器 7.3.1 7.3.1 理想变压器的条件理想变压器的条件 条件条件1：耦合系数：耦合系数k = 1，即全耦合。，即全耦合。 条件条件2：自感系数自感系数L1，

25、L2无穷大无穷大，且，且L1/L2等于常数。根据耦合系等于常数。根据耦合系 数定义并考虑条件数定义并考虑条件1，可知，可知 也为无穷大。此条也为无穷大。此条 件可简称为参数无穷大。件可简称为参数无穷大。 条件条件3 3：无损耗无损耗。认为绕制线圈的金属漆包线无任何电阻，或者。认为绕制线圈的金属漆包线无任何电阻，或者 说，绕线的金属漆包线的电阻率说，绕线的金属漆包线的电阻率 ，制造铁心的铁制造铁心的铁 磁性材料的导磁率磁性材料的导磁率 。 12 ML L 7.3.27.3.2 理想变压器的基本特性理想变压器的基本特性 111111211112 222222122221 NNN NNN 考虑全耦合

26、（考虑全耦合（k = 1）的理想条件，则有）的理想条件，则有 12222111 , 1. 变压特性变压特性 主磁通依次通过初、次级线圈分别产生感应电压主磁通依次通过初、次级线圈分别产生感应电压 1 11 2 22 dd uN dtdt dd uN dtdt 将上式两行相比，得出将上式两行相比，得出 11 22 uN n uN 其中其中n称为变压器的变比（即初、次级线圈的匝数之比）。称为变压器的变比（即初、次级线圈的匝数之比）。 如果如果u1、u2参考方向的参考方向的“+”极性端设在极性端设在异名端异名端，则，则u1、u2异号，异号， 其其u1与与u2之比等于负的之比等于负的N1与与N2之比，即

27、之比，即 11 22 uN n uN 有效值有效值U1，U2之比之比: 11 22 UN n UN 如果如果u1、u2参考方向的参考方向的“+”极性端设在极性端设在同名端同名端 注：在进行变压关系计算时电压之比是正是负还是取决于注：在进行变压关系计算时电压之比是正是负还是取决于 电压参考方向的极性与同名端的位置，与初、次级电流参电压参考方向的极性与同名端的位置，与初、次级电流参 考方向如何设定无关。考方向如何设定无关。 11 22 uN n uN 如果如果u1、u2参考方向的参考方向的“+”极性端设在极性端设在异名端异名端 11 22 uN n uN 2. 变流特性变流特性 由图耦合电感模型，

28、写得初级电压由图耦合电感模型，写得初级电压: 12 11 didi uLM dtdt ， 对上式两端作对上式两端作0t的积分，并设的积分，并设 ， 得：得： 1 00i 2 00i 112 0 11 1 t M itudtit LL 参照上图，结合参照上图，结合M，L1的定义，并考虑的定义，并考虑k = 1条件，有条件，有: 221211 21112 111111 111 11 NN MiiNM NN LLN ii 将上式代入上积分式并考虑到理想条件将上式代入上积分式并考虑到理想条件 1 L 于是得于是得: 2 12 1 N itit N 12 21 1iN iNn 上式表明：当初、次级电流上

29、式表明：当初、次级电流i1、i2分别从分别从同名端同名端同时流入（或同时流同时流入（或同时流 出）时，则出）时，则i1与与i2之比等于负的之比等于负的N2与与N1之比。之比。 若若i1、i2的参考方向从变压器的的参考方向从变压器的异名端异名端流入，则其流入，则其i1与与i2之比为之比为: 12 21 1iN iNn 12 21 1iN iNn i1、i2的参考方向从变压器的的参考方向从变压器的同名端同名端流入，流入， i1、i2的参考方向从变压器的的参考方向从变压器的异名端异名端流入，流入， 12 21 1iN iNn 注：在进行变流关系计算时电流之比是正是负还是取决于注：在进行变流关系计算时电流之比是正是负还是取决于电流参考电流参考 方向与同名端的方向与同名端的位置，与初、次级电压的参考方向如何设定无关。位置，与初、次级电压的参考方向如何设定无关。 设初、次级线圈的电压、电流为关联参考方向，则同名端如设初、次级线圈的电压、电流为关联参考方向，则同名端如 图所示的理想变压器，有图所示的理想变压器，有 对于同名端位置如图所示的理想变压器，则有对于同名端位置如图所示的理想变压器，则有 ti n ti 21 1 tnutu 21 ti n ti 21 1 tnutu 21 理想变压器的瞬时吸收功率为理想变压