高中数学 第一章 导数及其应用 1.2 导数的计算（1）学案（含解析）2-2

1、学必求其心得，业必贵于专精第一课时几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则基本初等函数的导数公式已知函数：（1）yf(x)c；（2）yf（x）x；（3)yf(x）x2；（4)yf（x)；(5）yf(x)。问题1：函数yf(x）c的导数是什么?提示：0，yli 0。问题2：函数(2)（3)（4)(5）的导数分别是什么？提示：由导数的定义得(2）（x）1，（3)（x2）2x,(4），（5)（)。问题3:若（1）(2）中的函数表示路程关于时间的函数，则其导数的意义是什么？提示：y0说明某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态；y1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动问题4：

2、函数(2）(3）(5)均可表示为yx(q)的形式,其导数有何规律?提示:（2)（x)1x11，(3）（x2）2x21，（5）()（x）x，(x）x1.基本初等函数的导数公式原函数导函数f（x）c（c为常数)f(x)0f(x)x（q)f(x)x1f（x)sin xf（x）cos_xf(x)cos xf（x）sin_xf（x)axf（x）axln_af(x)exf（x)exf（x）logaxf（x）f（x）ln xf（x）对公式（logax）与（ax)axln a的理解和记忆（1）区分公式的结构特征，从纵的方面“（ln x)与(logax)”和“(ex)与(ax）”的区分，又要从横的方面“(log

3、ax）与(ax)”的区分找出差异,记忆公式(2）对公式(logax)，用（ln x)和复合函数求导法则证明来帮助记忆,即求证对数函数导数公式(logax)logae.证明如下：（logax)logae.这样就能知道logae的来历，对于记忆和区分很有必要.导数运算法则已知f(x）x，g（x）。问题1:f（x)，g（x)的导数分别是什么？提示：f（x)1，g（x）。问题2：试求q（x）x，h（x）x的导数提示:y（xx)x，1，q(x）1。同理h(x)1。问题3：q（x），h(x)的导数与f（x），g(x）的导数有何关系?提示：q(x)的导数等于f(x)，g（x）的导数的和,h（x)的导数等于f

4、（x），g（x)的导数的差问题4：f(x）g(x)对吗？提示：不对，因为f（x）g（x）1，0，而f(x）g（x）1。导数运算法则1f（x）g（x)；2f（x)g（x)f(x）g（x)；3。（g（x）0)导数的运算法则的认识1在两个函数积与商的导数运算中，不能认为f(x)g（x）以及.2注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数公式中是“”，而商的导数公式中分子上是“”3（1）f1(x)f2（x)fn(x)；（2)cf(x）,也就是说，常数与函数的积的导数等于常数乘函数的导数利用导数公式直接求导求下列函数的导数：（1)y10x；(2)ylg x；(3）ylogx；(4)y；(5)y

5、21。（1）y（10x)10xln 10;(2）y(lg x）；(3)y(logx)；(4)y()(x)x;（5）y21sin22sincoscos21sin x,y(sin x)cos x.应用求导公式应注意的问题求函数的导数，一般不再用定义,而主要应用导数公式,这就要求必须熟记常见的求导公式，应用公式时一般遵循“先化简，再求导的基本原则在实施化简时，首先要注意化简的等价性,避免不必要的运算失误求下列函数的导数:（1)yx；(2）yx；（3）ylg 5;（4）y3lg；（5)y2cos21。解：（1)yxlnex；(2)yxln10xln 10；(3）ylg 5是常数函数，y（lg 5)0;

6、(4）y3lglg x，y(lg x)；（5)y2cos21cos x,y（cos x）sin x.利用导数的运算法则求函数的导数求下列函数的导数：(1)yx3ex；(2)yxsincos;（3)yx2log3x；（4)y。(1）y（x3)exx3（ex）3x2exx3exx2（3x）ex。（2)yxsin x，yx(sin x)1cos x.(3）y（x2log3x)(x2）（log3x）2x.(4)y。利用运算法则求导数的方法对一个函数求导时,要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式在不宜直接应用导数公式时，应先对函数进行化简，然后求导这样可以减少运算量,优化解题过程求下列函数的导数

7、:（1）y;（2）yxsin x;（3）y;(4）ylg x。解：(1)y.（2)y(xsin x)（）sin xxcos x。（3)y2,y。(4）y(lg x)。导数几何意义的应用(1）(广东高考)曲线y5ex3在点(0,2)处的切线方程为_(2）在平面直角坐标系xoy中，点p在曲线c：yx310x13上,且在第一象限内，已知曲线c在点p处的切线的斜率为2，则点p的坐标为_(1)y5ex，所求曲线的切线斜率kyx05e05，切线方程为y（2)5(x0)，即5xy20.(2）设点p的坐标为（x0，y0），因为y3x210，所以3x102，解得x02。又点p在第一象限内，所以x02.又点p在曲

8、线c上，所以y023102131，所以点p的坐标为(2,1)答案：（1)5xy20（2)(2,1)导数几何意义的应用根据导数的几何意义，可直接得到曲线上一点处的切线的斜率需注意直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征当问题中涉及相切但未出现切点坐标时，要设出切点坐标，然后根据已知条件求出切点坐标若曲线f（x)acos x与曲线g(x）x2bx1在交点（0，m)处有公切线，则ab_.解析:f（x)asin x，g（x）2xb，曲线f（x）acos x与曲线g（x)x2bx1在交点（0，m)处有公切线,f（0）ag(0)1，且f(0)0g（0）b，ab1。答案：1已知ar，函数f（x)x33x23

9、ax3a3,求曲线yf(x）在点（1，f（1）)处的切线方程由已知得f（x）3x26x3a，故f（1)363a3a3，且f（1)133a3a31.故所求切线方程为y1（3a3）（x1），即3（a1）xy43a0.1利用导数研究切线问题是一个很重要的知识点，它突出表现了导数几何意义的价值，也是高考的常考内容利用导数求解切线方程常常要先求出原函数的导函数，再利用导数的几何意义求出切点或斜率，最后借助直线方程的点斜式写出所求的切线方程2本题比较简单，属于“已知切点求切线方程问题，只要求出导数，再利用点斜式方程求解即可另外，高考对切线的考查还有以下几种方式：已知斜率,求切线方程此类问题可以设出切点，利

10、用导数与已知直线的斜率关系来确定切点，进而求出切线方程例：求与直线x4y10垂直的曲线f（x）2x21的切线方程解：因为所求切线与直线x4y10垂直，所以所求切线的斜率k4.设切点坐标为(x0，y0)，则f(x0)4x04，即x01，所以切点坐标为(1，1),故所求切线方程为y14(x1)，即4xy30。：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线,该点不一定是切点，故应先设出切点，再利用该点在切线上来确定切点,进而求出切线方程例：求过曲线f（x）x32x上的点（1，1）的切线方程解:设切点坐标为（x0,y0）因为f（x）3x22,所以f(x0）3x2,且y0f(x0）x2x0,所以切线方

11、程为yy0（3x2)（xx0）,即y（x2x0）(3x2)（xx0)因为切线过点（1，1),故1(x2x0）(3x2)（1x0），即2x3x10，解得x01或x0，故所求切线方程为xy20或5x4y10。：已知过曲线外一点,求切线方程这一题型要设出切点，再利用斜率公式及导数的几何意义列方程求出切点，从而求出切线方程例：已知函数f(x)x33x,过点a（0,16)作曲线yf(x)的切线，求切线方程解：由题意知点a（0,16)不在曲线f(x)x33x上,设切点坐标为m(x0,y0)，则f（x0)3x3，故切线方程为yy03(x1)（xx0）又因为点a(0，16)在切线上，所以16（x3x0）3(x

12、1)(0x0），化简得x8，解得x02，即切点为m（2，2)，故切线方程为9xy160。1给出下列结论：（cos x)sin x；cos；若y，则y；。其中正确的个数是（）a0b1c2d3解析：选b(cos x)sin x,所以错误；sin，而0，所以错误；2x3，所以错误；x，所以正确2函数ysin xcos x的导数是（)aycos2xsin2x bycos2xsin2xcy2cos xsin x dycos xsin x解析：选by（sin xcos x）cos xcos xsin x（sin x)cos2xsin2x.3若f(x）（2xa）2，且f（2）20，则a_。解析:f(x)4x

13、24axa2，f（x)8x4a，f（2)164a20，a1。答案:14(全国卷)已知函数f（x）ax3x1的图象在点(1，f(1）)处的切线过点（2，7），则a_.解析：f(x)3ax21,f(1）3a1.又f(1)a2，切线方程为y(a2）（3a1）(x1）切线过点（2,7)，7（a2）3a1，解得a1.答案:15求下列函数的导数:(1)yx；（2）y；（3）y(4xx)（ex1）解：（1）yxx31，y3x2。(2)y.（3）法一：y（4xx）（ex1）4xex4xxexx，y（4xex4xxexx)（4x)ex4x（ex)(4x)xex4xln 44xex4xln 4exxex1ex（4

14、xln 44x1x)4xln 41。法二:y(4xx）（ex1)（4xx)（ex1)（4xln 41)(ex1）(4xx)exex（4xln 44x1x)4xln 41.一、选择题1函数yx3cos x的导数是（)ay3x2cos xx3sin xby3x2cos xx3sin xcy3x2cos xdyx3sin x解析：选by（x3cos x）(x3)cos xx3（cos x）3x2cos xx3(sin x)3x2cos xx3sin x，故选b.2对任意的x，有f(x)4x3，f(1）1，则此函数解析式为()af(x)x3 bf（x）x42cf（x）x31 df(x)x41解析：选b

15、由f（x）4x3知，f(x)中含有x4项，然后将x1代入选项中验证可得3已知曲线y3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（)a3 b2c1 d.解析：选a因为y，所以根据导数的几何意义可知,解得x3(x2不合题意,舍去）4曲线y在点m处的切线的斜率为(）a b。c d。解析：选by,把x代入，得导数值为，即为所求切线的斜率5已知直线y3x1与曲线yax33相切，则a的值为()a1 b1c1 d2解析：选a设切点为(x0，y0），则y03x01，且y0ax3，所以3x01ax3.对yax33求导,得y3ax2，则3ax3，ax1，由可得x01，所以a1。二、填空题6（天津高考)已知函数f

16、(x）axln x，x(0,）,其中a为实数，f(x)为f（x)的导函数若f（1）3，则a的值为_解析:f（x）aa(1ln x)由于f（1）a（1ln 1)a，又f(1）3，所以a3。答案:37已知函数f(x)fcos xsin x，则f_。解析：f（x)fsin xcos x，ff ，得f 1，f(x）（1）cos xsin x，f1。答案：18若曲线f(x)ln xax存在与直线2xy0平行的切线，则实数a的取值范围是_解析：f（x）a，曲线f(x）ln xax存在与直线2xy0平行的切线，a2有解,即2a有解又x0，2a0，a2。答案：(,2）三、解答题9求下列函数的导数:（1）y3x2xsin x；(2)y(x23）(exln x);(3）y.解:(1）y(3x2)(xsin x）6xsin xx(sin x）6xsin xxcos x.（2)y（x23）(exln x)（x23）(exln x）2x(exln x)(x23)ex（x22x3)2xln xx.（3）y。10设f(x）x3ax2bx1的导数f（x)满足f（1）2a，f(2)b，其中常数a，br.求曲线yf(x）在点(1，f(1）处的切线方程解