第6章 振动jd2013

1、x m o AA a 机械振动机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动：物体在一定位置附近作来回往复的运动. 机械振动机械振动 电磁振动电磁振动 振动有各种振动有各种 不同的形式不同的形式 广义振动：广义振动： 任一物理量任一物理量( (如位移、电流等如位移、电流等) )在某一数值附在某一数值附 近反复变化。近反复变化。 一、简谐运动一、简谐运动(简谐振动、谐振动简谐振动、谐振动)的定义：的定义： 物体振动时，离开平衡位置的位移物体振动时，离开平衡位置的位移x(或角位移或角位移 ) 随时间随时间t 变化可表示为余弦函数或正弦函数的振动。变化可表示为余弦函数或正弦函数的振动。 )cos( t

2、Ax 弹簧弹簧物体系统物体系统) 6-1(2) 6-1(2) 简谐运动简谐运动 x x m o 平衡位置平衡位置：振动物体所受合外力为零的位置振动物体所受合外力为零的位置 振动特点：振动特点：物体所受合外力始终指向平衡位置物体所受合外力始终指向平衡位置-回复力回复力 kxF 并且：并且： 由第二定律可得物体的瞬时加速度由第二定律可得物体的瞬时加速度: : x m k m F a 0 2 2 x m k dt xd 22 dtxda 简谐振动振动方程简谐振动振动方程 简谐振动微分方程简谐振动微分方程 其通解为：其通解为：)cos( tAx 2 两式均为物体作谐振动的特征表述。两式均为物体作谐振动

3、的特征表述。 简谐振动振动方程简谐振动振动方程 kxF x dt xd a 2 2 2 0 2 2 2 x dt xd 回复力回复力 运动学特征运动学特征 动力学特征动力学特征 -两种特征表述是等价两种特征表述是等价 )cos( tAx kxF 0 2 2 2 x dt xd 或或 2.小球在半径很大的光滑凹球面底小球在半径很大的光滑凹球面底 部作小幅振动部作小幅振动 mg O 2 2 dt d RRa mamg t t sin 切向运动切向运动 sin很很小小 2 2 dt d mRmg 0 2 2 R g dt d R g 2 令令 0 2 2 2 dt d 简谐振动简谐振动 判断下列运动

4、是否为简谐运动判断下列运动是否为简谐运动 1.乒乓球在地面上的上下跳动乒乓球在地面上的上下跳动 例题例题1 判断判断运动是否为简谐运动运动是否为简谐运动 2 2 0 dg dtl 在角位移很小的时候，单摆的振动是简谐运动。在角位移很小的时候，单摆的振动是简谐运动。 g l T l g 2 2 0 0 gm f sin当当 时时 2 2 d mg sinmlml dt 例题例题2 角频率角频率,振动的周期分别为：振动的周期分别为： 振动的角频率、周期完全由振动系统本身来决定。振动的角频率、周期完全由振动系统本身来决定。 -固有频率、固有周期。固有频率、固有周期。 2.速度速度 3.加速度加速度)

5、cos( 2 tAdtdva )cos()( am tata dtdx )2cos( tA )sin( tA )cos()( tt m )cos( tAx 1.位移位移 注意：注意： a =-2Acos(t+ ) = -2 x 简简谐振动是一种变加速运动谐振动是一种变加速运动 速度也是简谐的速度也是简谐的 也是简谐的也是简谐的 )cos( 2 tA )cos(tAx )sin(tAv )cos( 2 tAa x a 2 3 4 o ,xav, t A A A 2 4.振动曲线振动曲线 v 由振动曲线可判某一时刻的振动方向。由振动曲线可判某一时刻的振动方向。 t t o o T T A A x

6、-物体完成一次全振动所需时间。物体完成一次全振动所需时间。 对弹簧振子：对弹簧振子： 物体在单位时间内完成振动的次数。物体在单位时间内完成振动的次数。 T1 2 2 T k m T 2 m k 2 谐振动物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。谐振动物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。 决定振动物体的运动状态决定振动物体的运动状态 相位相位 t+ = 0 x=A v=0 a=-2A 相位相位 t+ = / 2 x=0 v=-A a=0 a 0 v v 0 a OAX OAX ( t + )是是 t 时刻的相位时刻的相位 是是t t=0=0时刻的相位时刻的相位 初相初相 )cos( tAx ;cos

7、0 0 Axt 时时 sin 0 Av 0 0 x v tan 2 0 2 0 )( v xA ( (或或 . .T). ). A 和和 三个特征量确三个特征量确 定，则谐振动方程就唯一确定。其定，则谐振动方程就唯一确定。其 中中 ( (或或 . .T) )由系统本身的性质决由系统本身的性质决 定，定，A 和和 由初条件决定由初条件决定 若已知：若已知： 则可求得则可求得 1.描述简谐振动的方法有三种：描述简谐振动的方法有三种： （1） 解析法解析法 （2）曲线法）曲线法 ox m x0 = 0 = /2 o A -A t x T 由由 )cos( tAx 已知表达式已知表达式 A, , 已知

8、已知A, , 表达式表达式 已知曲线已知曲线 A, , 曲线曲线 已知已知 A, , 六、简谐运动的描述方法六、简谐运动的描述方法 通常上述两种方法合并使用。通常上述两种方法合并使用。 m x o x 例题例题1 如图一竖直轻弹簧的下端挂一小球，如图一竖直轻弹簧的下端挂一小球， 试证明试证明此振动为简谐振动，并取开始振动时为此振动为简谐振动，并取开始振动时为 计时零点，写出运动方程；计时零点，写出运动方程； 弹簧被拉长弹簧被拉长 l0=9.8cm平衡，再向上压缩平衡，再向上压缩 9.8cm后松手，小球开始振动，后松手，小球开始振动，v0=0； 解：解：取平衡位置为原点，建立坐标。 取平衡位置为

9、原点，建立坐标。 )cos( tAx 设向下有位移设向下有位移 x, 则合外力则合外力 : 满足简谐振动的动力学特征满足简谐振动的动力学特征是简谐振动，是简谐振动， 平衡位置：平衡位置： mg=k l0 k=mg/ l0 设运动方程为设运动方程为 )( 0 xlkmgF kx m x o x )cos( tAx设运动方程为设运动方程为 0 10 kg rad / s ml 由初条件由初条件 (t=0) x0=Acos = -0.098 v0= - A sin =0 mA098. 0 解得：解得： = 运动方程为运动方程为： x=9.8 10 -2cos(10t+ ) m 例题例题2已知某简谐振

10、动的已知某简谐振动的 位移与时间的关系曲线如图位移与时间的关系曲线如图 所示，试求其振动方程。所示，试求其振动方程。 431. 431. 715. 715. 0 1)(st )(cmx 解：解： )cos( tAx 振动方程为：振动方程为： 由图可知：由图可知： cmA431. A.x 2 1 715 0 t =0时时: 即有：即有： AAx 2 1 cos 0 0 0 sinAv又又 AA 2 1 cos 0sin A 3 2 解得：解得： 0 0 v 2715 1 A.x t =1s时时: 0 1 v AAx t 2 1 ) 3 2 cos( 1 0)32sin( 1 Av t )32co

11、s(314. 0 tx 振动方程：振动方程： t = 0 x=Acos( t+ ) A A t + t = t X o 参考圆参考圆 -借助矢量的性质及方法描述振动借助矢量的性质及方法描述振动 方法：方法： 自自ox轴的原点作一矢轴的原点作一矢 量量 (A为振幅大小为振幅大小)， 绕绕o点以点以逆时针匀角逆时针匀角 速度转动，设速度转动，设t=0 时，时， 矢量矢量 与与ox轴夹角为轴夹角为， 则任一时刻，矢量则任一时刻，矢量 与与ox轴夹角为轴夹角为(t+)， 矢量矢量 端点在端点在ox轴上投轴上投 影点的位置影点的位置 tcosAx A A A A 因此，旋转矢量因此，旋转矢量 的端点投影

12、点在的端点投影点在 X X 轴上的运动，轴上的运动， 可以用来表示物体在可以用来表示物体在OXOX轴上的简谐运动轴上的简谐运动 A x (3)(3)简谐运动的旋转矢量简谐运动的旋转矢量 )tcos(Ax 旋转矢量旋转矢量 的端点在的端点在 轴上的投影点的运动轴上的投影点的运动 为简谐运动为简谐运动. . xA （1） 确定初相位确定初相位 要求条件：已知要求条件：已知 x0 与与A的关系，初速度的方向。的关系，初速度的方向。 已知一物体做简谐振动。已知一物体做简谐振动。1）t=0时，时，x0=(1/2)A且向且向 位移的负方向运动；位移的负方向运动； 2） t=0时，时，x 0= 0且向位移的

13、且向位移的 正方向运动。试求两种情况下的初相。正方向运动。试求两种情况下的初相。 X = /3 X = - /2 A / 2 例例 题题 2、旋转矢量的应用、旋转矢量的应用 （2）研究质点的运动）研究质点的运动 例例 题题 已知一质点做简谐振动。已知一质点做简谐振动。t = 0 时的运动状态为时的运动状态为 过过1/2最大位移处且向位移的负方向运动。已知最大位移处且向位移的负方向运动。已知 周期为周期为T=2s，求再次通过求再次通过1/2最大位移处且向最大位移处且向 位移的正方向运动的时刻。位移的正方向运动的时刻。 x o / /3 34 4/ /3 32 2- - 2 4 4/ /3 3s

14、s tt0 / /3 3 振幅矢量旋转角度振幅矢量旋转角度 问题转化为：已知旋转问题转化为：已知旋转2 需要需要T 时时 间，问旋转间，问旋转 4 /3 需要多少时间？需要多少时间？ t / T 342 2 st 3 4 解：解： 0 0A tA 解：解： 用旋转矢量法辅助求解。用旋转矢量法辅助求解。 0 , 2/7 .15:0 0 v Axt x o 3 2 431. 431. 715. 715. 0 1)(st )(cmx 0 , 2/7 .15:1 0 v Axst 3 5 t )tcos(.x 3 2 3140 例例 题题 已知某简谐振动的已知某简谐振动的 位移与时间的关系曲线如图位移

15、与时间的关系曲线如图 所示，试求其振动方程。所示，试求其振动方程。 t=0 t=1 例题例题2已知某简谐振动的已知某简谐振动的 位移与时间的关系曲线如图位移与时间的关系曲线如图 所示，试求其振动方程。所示，试求其振动方程。 431. 431. 715. 715. 0 1)(st )(cmx 解：解： )cos( tAx 振动方程为：振动方程为： 由图可知：由图可知： cmA431. A.x 2 1 715 0 t =0时时: 即有：即有： AAx 2 1 cos 0 0 0 sinAv又又 AA 2 1 cos 0sin A 3 2 解得：解得： 0 0 v 2715 1 A.x t =1s时

16、时: 0 1 v AAx t 2 1 ) 3 2 cos( 1 0)32sin( 1 Av t )32cos(314. 0 tx 振动方程：振动方程： （3） 比较两个同频率谐振动的振动步调比较两个同频率谐振动的振动步调 x1 = A1 cos( t + 1) x2 = A2 cos( t + 2) 21 = ( t + 2 ) - ( t + 1) = 2 - 1 两个谐振动的相位差：两个谐振动的相位差： 称振动称振动2超前振动超前振动1 ； 若若 2 1： 称振动称振动2落后振动落后振动1 。 若若 2 1： 取小于取小于 的值。的值。 X 2 0t 1 2 A 1 A 当当 = 2 1=

17、 0 , 两振动步调相同两振动步调相同, ,称称同相同相 同相和反相同相和反相 t x o A1 -A1 A2 - A2 x1 x2 T 同相同相 X x1 = A1 cos( t + 1) x2 = A2 cos( t + 2) 2 1 当当 = 2 1= , 两振动步调相反两振动步调相反, ,称反相称反相 x2 T x o A1 -A1 A2 - A2 x1 t 反相反相 X 1 0t 2 x1 = A1 cos( t + 1) x2 = A2 cos( t + 2) )cos()cos( tatAa m 2 )cos( tAx )cos()sin( 2 tvtAv m 谐振动的位移、速度

18、、加速度之间的相位关系谐振动的位移、速度、加速度之间的相位关系 x t+ o t = t A m v m a 0 90 0 90 由图可见：由图可见： 2 va 超前超前 2 xv 超超前前 a与与x反相反相 x a 234 o ,xav, t A A A 2 v o , xav, t x v a 练习：练习：图中三条曲线分别表示简谐振动中的位移，图中三条曲线分别表示简谐振动中的位移， 速度和加速度，试判断出哪一条是速度和加速度，试判断出哪一条是x， v， a？ 谐振动系统的能量谐振动系统的能量=系统的动能系统的动能Ek+系统的势能系统的势能Ep 某一时刻，谐振子速度为某一时刻，谐振子速度为v

19、，位移为位移为x )sin( tAv)cos( tAx 2 2 1 mvE k )(sin 2 1 22 tkA 2 2 1 kxE p )(cos 2 1 22 tkA 谐振动的动能和势能是时间的周期性函数谐振动的动能和势能是时间的周期性函数 )t(sinAm 222 2 1 6-3 简谐运动的能量简谐运动的能量 简谐运动系统的能量特点简谐运动系统的能量特点: : (1) (1) 动能动能 2 2 1 mEk )(sin 2 1 22 tkA (2) (2) 势能势能 2 2 1 kxEp )(cos 2 1 22 tkA 情况同动能。情况同动能。 minmax , pp EE 0 min

20、k E 分析：分析： 2 max 2 1 kAEk (3) (3) 机械能机械能 2 2 1 kAEEE pk 简谐运动系统机械能守恒简谐运动系统机械能守恒 周期性变化 Ep Ek kp EE E x t p E)(cos 2 1 22 tkA k E)(sin 2 1 22 tkA P Tt t kk EkAdtE T E 2 4 11 t T E O (1/2)kA2 一、阻尼振动一、阻尼振动 阻阻 尼尼 振振 动动 能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。 摩擦阻尼摩擦阻尼：系统克服阻力作功使振幅减小，系统克服阻力作功使振幅减小， 系统的动能转

21、化为热能。系统的动能转化为热能。 辐射阻尼辐射阻尼：振动以波的形式向外传播，使振振动以波的形式向外传播，使振 动能量向周围辅射出去。动能量向周围辅射出去。 t 欠阻尼欠阻尼 )(tx 欠阻尼欠阻尼 阻尼较小的阻尼运动。阻尼较小的阻尼运动。 振幅衰减较慢，接近于振幅衰减较慢，接近于 谐振动。谐振动。 过阻尼过阻尼 t )(tx 过阻尼过阻尼 阻尼过大，在未完成一次振动以阻尼过大，在未完成一次振动以 前，能量就以消耗掉，振动系统前，能量就以消耗掉，振动系统 将通过非周期运动回到平衡位置将通过非周期运动回到平衡位置 临界阻尼临界阻尼 t )(tx 临界阻尼临界阻尼 使系统能以最短时间返回平衡位使系统

22、能以最短时间返回平衡位 置，而恰好不作往复运动的阻尼置，而恰好不作往复运动的阻尼 应用于天平调衡应用于天平调衡 ot x 过阻尼过阻尼 临界阻尼临界阻尼 欠阻尼欠阻尼 二、二、 受迫振动受迫振动 振动系统在周期性外力持续作振动系统在周期性外力持续作 用下进行的振动。用下进行的振动。 强迫力强迫力 O A t x 振动周期与周期性外力的周期相同振动周期与周期性外力的周期相同 受迫振动振幅的大小，不决定于系统的初始条件，而与受迫振动振幅的大小，不决定于系统的初始条件，而与 (固有角频率、质量固有角频率、质量)、和和 有关。有关。 当阻尼很小，策动力频率等于当阻尼很小，策动力频率等于 固有频率时振幅

23、最大固有频率时振幅最大-共振。共振。 大阻尼 小阻尼 0阻尼 p A 0 三、共振三、共振 1940年年7月月1日美国塔科马海峡大桥因强风引起的日美国塔科马海峡大桥因强风引起的 桥身共振而坍塌桥身共振而坍塌 202101 202101 cosAcosA sinAsinA tg )tcos(Ax 1011 )tcos(Ax 2022 21 xxx )tcos(Ax )cos(AAAAA 102021 2 2 2 1 2 两个同方向同频率两个同方向同频率简谐简谐振动的合成仍为振动的合成仍为简谐振动。简谐振动。 x 20 x 0 x 10 x P . A ot M 2 A 1 A A 2 A 1 A

24、 6-6 同一直线上同频率简谐运动的合成同一直线上同频率简谐运动的合成 结论：结论： 20 10 讨论两个特例讨论两个特例 (1)两个振动同相两个振动同相 ,k 2 1020 ,.2, 1, 0 k )cos(AAAAA 102021 2 2 2 1 2 由由 2121 2 2 2 1 2AAAAAA )cos(AAAAA 102021 2 2 2 1 2 由由 (2)两个振动反相两个振动反相 2121 2 2 2 1 2AAAAAA ,)k( 12 1020 ,.2, 1, ok 如果如果 21 AA 则则 A=0 t o 2 T T 2 3T 2T x 2 x 1 x 合成振动合成振动 x

25、 t o 2 T T 2 3T 2T 合成振动合成振动 21 或或 221 121 AA AA 一般情况一般情况 为其他任意值，则：为其他任意值，则： )( 2121 AAAAA 上述结果说明上述结果说明两个振动的相位差两个振动的相位差对合振动起着对合振动起着 重要作用。重要作用。 合成振动合成振动 t 2 T T 2 3T 2T x o )cos(AAAAA 102021 2 2 2 1 2 -仍为仍为简谐振动简谐振动 -为为一复杂运动一复杂运动 同方向、同频率两个同方向、同频率两个简谐简谐振动的合成振动的合成 同方向、不同频率两个同方向、不同频率两个简谐简谐振动的合成振动的合成 6-7 6-7 同一直线上不同频率简谐运动的合成同一直线上不同频率简谐运动的合成 位移位移 x x t t o o 2 T T T 2 3T 2 2T T 分振动分振动1 1 分振动分振动2 2 合振动合振动 12 2 tA 2 cos2 12 tcos 2 21 21 xxx )tcos(Ax 11 )tcos(Ax 22 设两振动振幅相同，并且它们的初相位相同设两振动振幅相同，并且它们的初相位相同 振幅周期性变化振幅周期性