第2讲 代数运算的同态和同构

1、 2 1-4 运算性质运算性质 定义定义 设设 为为 S 上的二元运算上的二元运算, (1) 如果对于任意的如果对于任意的 x, y S 有有 x y = y x, 则称运算在则称运算在 S 上满足上满足交换律交换律. (2) 如果对于任意的如果对于任意的 x, y, z S 有有 (x y) z = x (y z), 则称运算在则称运算在 S 上满足上满足结合律结合律. (3) 如果对于任意的如果对于任意的 x S 有有 x x = x, 则称运算在则称运算在 S 上满足上满足幂等律幂等律. 3 实例分析实例分析 Z, Q, R分别为整数、有理数、实数集；分别为整数、有理数、实数集；Mn(R

2、)为为 n 阶实阶实 矩阵集合矩阵集合, n 2；P(B)为幂集；为幂集；AA 为为 A上上A，|A| 2. 4 二元运算的性质（续）二元运算的性质（续） 定义定义 设设 和和 为为 S 上两个不同的二元运算上两个不同的二元运算, (1) 如果如果 x, y, zS 有有 (x y) z = (x z) (y z) z (x y) = (z x) (z y) 则称则称 运算对运算对 运算满足运算满足分配律分配律. 5 实例分析实例分析 Z, Q, R分别为整数、有理数、实数集；分别为整数、有理数、实数集；Mn(R) 为为 n 阶实阶实 矩阵集合矩阵集合, n 2；P(B)为幂集；为幂集；AA为

3、为 A上上A，|A| 2. ,Sm TnS T SmS 1.设问从 到 的映射、满射、单射、 一一映射各有多少个？ 2.设，问 上的变换、满变换、单变换、一 一变换各有多少个？ 补充题补充题 : ) !; !; ) ! m n n m mn m nmn mnm mn m nmn mnn C C 解1时,可能存在单射； = 时,单射个数为 ！ 时,单射个数为 3 时,可能存在满射； = 时,满射个数为 ！ ！; 时,满射个数为. 目录 复习代数运算及运算律复习代数运算及运算律 1.8 同态、同构同态、同构 1.9同态、同构同态、同构 练习题 判断下列定义在有理数集合上的代数运算判断下列定义在有理

4、数集合上的代数运算 是否适合结合律、交换律？是否适合结合律、交换律？ a b a b ab ； ;a b a 2 ;()a ba b 3 .a b b 1 问题的提出 结合律和交换律是只同一种代 数运算发生关系,而分配律是同两种 代数运算发生关系的一种规律. 1.6 与两种代数运算发生关系的运算律 分配律 2 第一(左)分配律 12 1212 . , ()()(), BAA A bBA a a bbb aaaa 已知是到 的代数运算, 是一个集合 上的代数运算如果 ，都有 则称代数运算对于适合第一 (左)分配律. Z, Q, R分别为整数、有理数、实数集；分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)

5、为为n阶实矩阵集阶实矩阵集 合合，n 2；P(S)为幂集为幂集；AA为从为从A到到A的函数集的函数集，|A| 2 . 集合集合运算运算分配律分配律 Z,Q,R 普通加法普通加法+与乘法与乘法 对对+可分配可分配 +对对 不分配不分配 Mn(R) 矩阵加法矩阵加法+与乘法与乘法 对对+可分配可分配 +对对 不分配不分配 P(S) 并并与交与交 对对可分配可分配 对对可分配可分配 交交与对称差与对称差 对对 可分配可分配 例题 12n 1n1n 1 BbAaaa baab ab a 定理 假如适合结合律，而且 ， 适合第左分配律， 那么对于 的任何 ， 的任何 ， ，来说， （）（）（） 证完 ）

6、（）（ ）（）（）（ ）（）（ ）（ ）（ 情形。这时 时的个，现在我们看有个的时候，定理是对的的个数只有 ，假定，当的时候，定理是对的。，当证明：我们用归纳法。 n n-1n1 n-1n n-1n n i abab ababab abaab aaab aab anna an 1 1 1 1 2 1 1 21 3 第二(右)分配律 21 1221 . , ()()() A BA A bBA a a bbb aaaa 已知是到 的代数运算, 是一个集合 上的代数运算如果 ，都有 则称代数运算对于适合第二 (右)分配律. 12 12 12 ,2, () ()()(). n n n A A BA b

7、BnA a aa b aaa bbb aaa 假如 上的代数运算适合 结合律,而且到 的代数运对于 适合第二(右)分配律,那么 ， （）都有 与代数运算发生关系的映射 同态映射（8-9节） 1 同态映射 2 同态满射 3 同构映射 4 自同构映射 5 举例 1.最初的思想最初的思想 如何比较两个代数系统如何比较两个代数系统? 回忆两个三角形全等的定义回忆两个三角形全等的定义:经过运动经过运动,顶点可以重合顶点可以重合.这这 里涉及两个步骤里涉及两个步骤:第一第一,点间有一个对应点间有一个对应(映射映射);第二第二,对应对应 后可以重合后可以重合. 我们比较两个代数系统我们比较两个代数系统 和和

8、 . 第一第一,我们需要一个映射我们需要一个映射 ; 第二第二, 这个映射还能够使这个映射还能够使“运算重合运算重合”或曰：保持运算或曰：保持运算.具具 体的说体的说,假如假如 和和 是是 的两个元的两个元,那么那么 和和 都有意都有意 义义,都是的元都是的元.保持运算即下面等式成立保持运算即下面等式成立: AA :fAA ab A ()f a b( )( )f af b ()( )( )f a bf af b a ba b 上面的等式即: xx 换一种表示，假定在 之下的像，f AA fAA是 到 的映射 A A A 是 上 的 代 数 运 算 A 是 上 的 代 数 运 算 fAA是 到

9、的映射 A A 2 同态映射与性质同态映射与性质 注: 同态映射简称为态射态射. 所有整数, 的代数运算是普通加法. , 的代数运算是普通乘法. AA 1, 1A A 定义定义1 一个 到 的映射 称为对于代数运算 和 的同态映射同态映射,假如, ,都有: AA , a bA ()( )( )a bab 定义与例子定义与例子 例例1 证明证明 ( 是 的任一元) 是一个到的同态映射. 证明证明 1 :1aaA 例例2 : , 若是偶数若是偶数 , 若是奇数若是奇数 证明证明: 是一个是一个 到到 的满射的同态映射的满射的同态映射. 2 1a 1a 2 AA 证明证明: 显然显然, 是是 到到

10、的满射的满射.对于对于 的任意两的任意两 个整数个整数 和和 来说来说,分三种情况分三种情况: 2 AAA ab (1)若 , 都是偶数,那么 也是偶数 , , 所以, ab ab 2( ) 1a2( ) 1b 2( )1ab 222 ()( )( )abab (2)若 , 都是奇数ab (3)若 和 奇偶性相反,.ab 例例3 : ( 是 的任一元) 固然是一个 到 的映射,但不是同态映 射.因为,对于任意 的 和 来说, 2 1a a a A A A A b 1,1ab 1( 1)( 1)ab 定义定义2 (1)单同态:同态+单射 (2)满同态: (3)同构映射: 进一步的定义进一步的定义

11、 性质性质1 设 是三个代数系统,并且 是两个同态映射(单同态、满同态、 同构映射).那么, 仍然是 同态映射(单同态、满同态、同构 映射) , , A A A :, g: AfAAA :gfAA 性质性质 性质性质2 设设 是一个同构. 那么， 也是一个同构. :fAA 1 :fAA 证明: (1) 是双射 (2) 保持运算. 看一个关键等式 1 f 111 11 () ( )( ) () ( )( ) fa bff af bff a b a bfafb 性质1 （1）反身性: （2）传递性: 注: 对称性不成立 AA 3 同态的代数系统同态的代数系统 定义定义 和 是两个代数系统,如果存在

12、存在 一个 到 的同态满射同态满射 ,就称 和 同 态. 记号: A AA A AA AA f 5 举例 :( , )( 1,0,1, ), . Z 证明其中“”是数 的乘法运算 :(1, 1, , )( 1,1, ). . ii 证明其中 “”是数的乘法运算 41234 12 2 34 24 ( ,)(1,2,3,4), ( )(1,2,3,4), :(, )( ), ) i i F iF Va a a aa aa FiF aM aa F VM 设 是一个数域， 证明 4 可单向传递的性质可单向传递的性质 定理定理1 假定,对于代数运算 和 来说, 到 同态.那么, （1）若 适合结合律,

13、也适合结合律； （2）若 适合交换律, 也适合交换律. AA ()()() ()()()() abcfabcfabc fabcfafbcabc 于是 证明证明 我们用 来表示 到 的同态满射. （1）假定 是 的任意三个元. 由于 是同态满 射,我们在 里至少找得出三个元 , , 来,使得 在 之下, f , ,a b c A A A A f f ,aa bb cc abc (2)同学们按照上面的方法,给出证明. 注: 这种通过同态映射过渡的方法在证明具有这种通过同态映射过渡的方法在证明具有 一般性一般性 定理定理2 假定, 都是集合 的代数运算, 都是 集合 的代数运算,并且存在一个 到 的

14、满射 , 使得 与 对于代数运算 来说同态,对于代数 运算 来说也同态.那么 (1) 若 适合第一分配律, 也适合第一分配律. (2) 若 适合第二分配律, 也适合第二分配律. , , , , , , A A A A A A , , 证明证明 注: , 由 的性质可以推出 具有同样的 性质; 反过来不成立. AAAA 5 同构的代数系统及其意义同构的代数系统及其意义 定义定义 定义定义 和 是两个代数系统,如果存在存在一个 到 的同构映射同构映射 ,就称 和 同态. AAAA fAA 记号: AA 自同态、自同构的概念可以自然的给出，同学们自己 做。 同构的代数系统意味什么同构的代数系统意味什

15、么 0A ， 1 ， 23A ， 4 ， 5例例1 , 0 1 2 0 1 2 1 2 0 2 0 1 3 4 5 3 4 5 3 4 5 4 5 3 5 3 4 0 1 2 各 是 与的代数运算 与 的表AA 请比较两个运算表,方向异同之处? 在A的运算表, 进行变换: 03,14,25 变成了什么? 它们可以用统一成为一个运算表. 同构的两个代数系统由运算所带来 的规律性是相同的,因此,同构的两个代 数系统尽管可能有这样或那样的差别, 但从近世代数的宗旨来看,我们自然认 为:它们的差别是表面上的,次要的,而 它们的共同点运算所体现的规律 性则是本质的,主要的.于是,我们需要 阐明近世代数的

16、观点是:凡同构的凡同构的代数 系统都认为是都认为是(代数代数)相同的相同的. 同构的两个集合之间关系的结论 在上述的观点下,一个代数系统经同构 映射而保持不变的性质叫做它的代数性质. 于是,由代数运算所表述的任意一个性质都 是代数性质.我们将代数体系的代数性质的 总合统称为它的代数结构.因此,同构的代数 体系由于完全相同的代数结构.研究代数体 系的首要目的就是确定所有互不同构的的 代数结构.而为了确定一个代数结构,只须 让它与一个已经清楚的代数结构同构则可. , , , (). , . AA AA 假定对于代数运算 和来说 集合 与 同构 那么对于代数运算 和 来说与 这两个集合 抽象地来看

17、没有 什么区别 只是命名上的不同 若一个集 合有一个只与这个集合的代数运算有关 的性质 那么另一个集合有一个完全类 似的性质 1.9 自同构 .的自同构的 来说对于间的同构映射叫做一个与集合 来说的一个集合和对于代数运算 A A A 同态同态 映射映射 同态同态 满射满射 单射单射 同构同构 映射映射 满射满射 自同态自同态 映射映射 AA AA 自同态自同态 满射满射 自同构自同构 映射映射 AA 满射满射 单射单射 作业3: P23: 1 P26:1,3 Z abab-1 a bab-ab 1 2 补充：在 上规定： （）每一种运算是否满足结合律？ （ ）两种运算是否满足分配律？ 1 (,

18、 )(, ); N N 试证: 2 (Z,+)( , ); Z 3 (, )( , ); QQ 4 (, )( , ) N N (,) ( ,) (,) ( ,), 1), 2),( )( ) ( ) 0,( ) 0,2, (2)0(,(2 )(2) ( ) 0 (2 )( )(2 )( ) 0. N N NN NN x yxyxy N Naa NN baa a aaaa 1 假设则存在映射 : 是一一映射 有 由于则存在0使得 是一一映射)则 由于0且 是一一映射, 则与发生矛盾 2 (Z,+)( , ) (Z,+)( , ), 1), 2),()( ) ( ) 2),()( ) ( ) (0)(00)(0) (0)(0)0(0)1 (0)00,( )(0)( ) (0)0 ( )0, Z ZZZ x yZxyxy x yZxyxy xZxxx x 假设则存在映射 : 是一一映射 有 由有可知 =或者 若,则有 则与 是一一映射. (0)10, 0( )0 (2 )()( ) ( )0 ( )0(2 )0(20) ZxZx xxxxx xxxxxZ 发生矛盾 若,对于有 且, 这与 是一一映射发生矛盾. 3 (, )( , ); (,)( , ), 1), 2),()( )( ) 2),()( )( ) (1)(1 1)(1)(1)(1)0 1, ()( 1)( 1)(