高中数学 第一章 导数及其应用 1.2 导数的计算（2）学案（含解析）2-2

1、学必求其心得，业必贵于专精第二课时复合函数求导及应用复合函数已知y(3x2）2，ysin.问题1：这两个函数是复合函数吗？提示：是复合函数问题2：试说明y(3x2)2是如何复合的提示：令ug（x）3x2，yf（u)u2，则yf（u）f(g(x)(3x2）2。问题3:试求y（3x2）2，f(u)u2,g（x）3x2的导数提示：y（9x212x4）18x12，f(u）2u,g（x）3.问题4：观察问题3中的导数有何关系提示：yf(u)g（x）1复合函数的概念对于两个函数yf(u)和ug(x），如果通过变量u，y可以表示成 x的函数,那么称这个函数为函数yf(u）和ug(x）的复合函数，记作yf(g

2、(x）)2复合函数的求导法则复合函数yf（g（x)的导数和函数yf（u），ug（x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积对复合函数概念的理解（1)在复合函数中，内层函数的值域必须是外层函数定义域的子集（2）对于复合函数，中间变量应该选择基本初等函数判断一个函数是基本初等函数的标准是:运用求导公式可直接求导简单的复合函数求导问题求下列函数的导数：(1）y；（2）yesin x；(3）ysin；(4）y5log2（2x1）(1）设yu，u12x2，则y（u)(12x2）（4x）(12x2） (4x) 。(2)设yeu，usin x，则yxyuuxeuco

3、s xesin xcos x。(3)设ysin u,u2x,则yxyuuxcos u22cos。（4)设y5log2u，u2x1，则y5（log2u)u(2x1)x.复合函数的求导步骤求下列函数的导数：（1)y（2x1)4；（2）y102x3；（3）ysin4xcos4x.解：(1)令u2x1，则yu4，yxyuux4u3（2x1)4u328(2x1)3。（2)令u2x3，则y10u，yxyuux10uln 10(2x3)2ln 10102x3.（3）ysin4xcos4x(sin2xcos2x)22sin2xcos2x1sin22x1（1cos 4x）cos 4x。所以ysin 4x。复合函

4、数与导数的运算法则的综合应用求下列函数的导数：(1)yx；(2）yxcossin。(1)y（x)xx() 。（2）yxcossinx（sin 2x)cos 2xxsin 4x，ysin 4xcos 4x4sin 4x2xcos 4x。复合函数求导应注意的问题（1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数,可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的(2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程,直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导求下列函数的导数：(1)ysin2；(2）ysin3xsin

5、 x3；(3)yxln（12x)解:(1）y2sin 2sin cos sin 。（2)y(sin3xsin x3）（sin3x）（sin x3）3sin2xcos xcos x33x23sin2xcos x3x2cos x3.（3)yxln（12x)xln(12x） .复合函数导数的综合问题设f(x)ln（x1)axb（a，br，a，b为常数)，曲线yf（x)与直线yx在(0，0)点相切,求a，b的值由曲线yf(x）过（0,0)点,可得ln 11b0,故b1.由f（x）ln（x1）axb，得f（x）a，则f（0)1aa，此即为曲线yf（x）在点（0，0)处的切线的斜率由题意，得a，故a0.解

6、决复合函数求导与导数几何意义综合问题的方法正确求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件,求出参数，解决已知经过一定点的切线问题,寻求切点是解决问题的关键有一把梯子贴靠在笔直的墙上,已知梯子上端下滑的距离s（单位：m)关于时间t（单位:s）的函数为ys(t)5.求函数在t时的导数，并解释它的实际意义解：函数y5可以看作函数f（x)5和x(t)259t2的复合函数，其中x是中间变量由导数公式表可得f(x）x，(t)18t.再由复合函数求导法则得yts（t)f（x)(t)(18t)，将t代入s(t）,得s0.875(m/s）它表示当t时，梯子上端下滑的速度为0。875

7、m/s。函数yxe12x的导数为_ye12xx(e12x）e12xxe12x(12x）e12xxe12x(2）(12x）e12x。y（12x)e12x1本题易发生对e12x的求导不按照复合函数的求导法则进行，导致求导不完全，得出ye12xx（e12x)e12xxe12x（1x）e12x的错误结论2复合函数的求导法则通常称为链条法则，因为它像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的任何一环函数yln在x0处的导数为_解析:ylnln exln(1ex）xln(1ex),则y1。当x0时，y1。答案：1函数y（2 0178x)3的导数y等于(）a3（2 0178x）2b24xc24（2 01

8、78x)2 d24（2 0178x）2解析：选cy3（2 0178x）2(2 0178x)3（2 0178x)2（8）24（2 0178x）2.2函数yx2cos 2x的导数为（)ay2xcos 2xx2sin 2xby2xcos 2x2x2sin 2xcyx2cos 2x2xsin 2xdy2xcos 2x2x2sin 2x解析：选by(x2）cos 2xx2(cos 2x)2xcos 2xx2（sin 2x)（2x）2xcos 2x2x2sin 2x。3已知f（x)ln（3x1），则f(1）_。解析：f(x）(3x1)，f（1）.答案：4设曲线yeax在点(0，1）处的切线与直线x2y10

9、垂直,则a_.解析:令yf（x），则曲线yeax在点（0，1)处的切线的斜率为f(0），又切线与直线x2y10垂直，所以f（0)2。因为f（x）eax,所以f（x）(eax）eax（ax)aeax，所以f（0)ae0a，故a2.答案：25求下列函数的导数：（1)ycos（x3)；(2）y（2x1）3;（3)ye2x1。解：（1)函数ycos（x3)可以看作函数ycos u和ux3的复合函数，由复合函数的求导法则可得yxyuux（cos u）(x3）sin u1sin usin（x3)(2）函数y(2x1）3可以看作函数yu3和u2x1的复合函数,由复合函数的求导法则可得yxyuux(u3)（2

10、x1)3u226u26(2x1)2.（3）ye2x1（2x1）2e2x1.一、选择题1函数y（x21）n的复合过程正确的是（）ayun，ux21by(u1)n，ux2cytn,t(x21)ndy(t1）n,tx21答案：a2函数y5的导数为(）ay54by54cy54dy54解析：选c函数y5是函数yu5与ux的复合函数，yxyuux54。3函数yxln（2x5）的导数为（）aln(2x5)bln(2x5)c2xln(2x5)d。解析：选byxln（2x5）xln(2x5）x（2x5)ln(2x5).4(新课标全国卷）设曲线yaxln(x1）在点（0,0）处的切线方程为y2x，则a的值为(）a

11、0b1c2 d3解析：选dya,由题意得yx02，即a12，a3。5曲线yln(2x1)上的点到直线2xy30的最短距离是（）a。 b2c3 d0解析:选a设曲线yln（2x1)在点（x0，y0）处的切线与直线2xy30平行y,yxx02，解得x01，y0ln(21)0，即切点坐标为（1，0)，切点(1,0）到直线2xy30的距离为d，即曲线yln（2x1）上的点到直线2xy30的最短距离是。二、填空题6函数ysin 2xcos 3x的导数是_解析：ysin 2xcos 3x，y（sin 2x)cos 3xsin 2x(cos 3x）2cos 2xcos 3x3sin 2xsin 3x.答案：

12、2cos 2xcos 3x3sin 2xsin 3x7已知f(x)且f（1）2，则a的值为_解析：f(x）(ax21），f(x)(ax21）(ax21）。又f（1）2，2，a2.答案：28函数ysin2x的图象在点a处的切线的斜率是_解析：ysin2x，y2sin x(sin x）2sin xcos xsin 2x,ksinsin.答案：三、解答题9求下列各函数的导数：(1）y(1x2）5；(2）y（23x2);（3)yln 。解：(1)y5（1x2)4(1x2)10x（1x2）4。(2）y6x（23x2)6x（23x2）.(3)yln（1)ln(1)，y(1）(1)。10求曲线ye2x1在点（0,2)处的切线与直线y0和yx围成的三角形的面积解:依题意得ye2x（2)2e2x，y|x02e202，故曲线ye2x1在点（0,2)