金融工程学(期货)第四章：利率期货

1、第四章：利率期货第四章：利率期货 利率理论初步 即期利率和远期利率 N年期即期利率:从今天算起开始计算并持续N 年期限的投资利率 远期利率：由当前即期利率隐含的将来一定期 限的利率 如明年的今天到后年的今天的这个期限之间的 利率 利率期货 一般地：r是T年期的即期利率，r*是T*年期的即期 利率， 且T*T，T*-T期间的远期利率为： rf=(r*T*-rT)/(T*-T) 因为：100erTerf(T*-T)=100er*T* 例：100e0.1*1erf=100e0.105*2 远期利率的计算 年(n) n年投资的即期利率第n年的远期利率 (%p.a.)(%p.a.) 110.0 210.

2、511.0 310.811.4 411.011.6 511.111.5 零息票收益率曲线 收益曲线、 利率期限结构 到期期限 到期期限 比率 比率 远期利率 远期利率 附息债券收益率 附息债券收益率 零息票收益率 零息票 收益率 零息票收益率曲线的确定(息票剥离法) 息票六个月支付一次 债券本金到期期限（年）年息票债券价格 1000.25097.5 1000.5094.9 1001.00090.0 1001.50896.0 1002.0012101.6 1002.751099.8 ln(1) c R Rm m 3个月期的连续复利率为： 4ln(1+2.5/97.5)=0.1013 6个月期的连

3、续复利率为： 2ln(1+5.1/94.9)=0.1047 1年期的连续复利率为： ln(1+10/90)=0.1054 )1ln( m R mR m c 4e-0.1047*0.5+4e-0.1054*1.0+104e-R*1.5=96 R=0.1068 6e-0.1047*0.5+6e-0.1054*1.0+6e-0.1068*1.5+106e-R*2=101.6 R=0.1081 其它，应用线形插值法 应用举例： 一个10年期，息票利率为8%的债券售价为90元。一个10 年期，息票利率为4%的债券售价为80元，问10年期的即 期利率是多少？ 天数计算惯例 实际天数/实际天数（长期国库券）

4、，30/360（ 公用债券和市政债券），实际天数/360（短期 国债） 期限结构理论 预期理论，市场分割理论，流动性偏好理论 远期利率协议(Forward rate agreement, FRA) 是指交易双方约定在未来某一日期，交换 协议期间内一定名义本金基础上分别以合 同利率和参考利率计算的利息的金融合约。 其中，远期利率协议的买方支付以合同利 率计算的利息，卖方支付以参考利率计算 的利息。 特点 一是具有极大的灵活性。作为一种场外交 易工具，远期利率协议的合同条款可以根 据客户的要求“量身定做”，以满足个性 化需求；二是并不进行资金的实际借贷， 尽管名义本金额可能很大，但由于只是对 以名

5、义本金计算的利息的差额进行支付， 因此实际结算量可能很小；三是在结算日 前不必事先支付任何费用，只在结算日发 生一次利息差额的支付 FRA市场报价举例市场报价举例 7月13日美元FRA 36 8.088.14 28 8.168.22 69 8.038.09 612 8.178.23 第三行“69、8.038.09”的市场术语作如下解 释：“69”(6个月对9个月，英语称为six against nine)是表示期限，即从交易日(7月13日)起6个月末(即 次年1月13日)为起息日，而交易日后的9个月末为到期 日，协议利率的期限为3个月期。 “8.038.09”为报价方报出的FRA买卖 价：前者

6、是报价银行的买价，若与询价方 成交，则意味着报价银行(买方)在结算日支 付8.03利率给询价方(卖方)，并从询价方 处收取参照利率。后者是报价银行的卖价 ，若与询价方成交，则意味着报价银行(卖 方)在结算日从询价方(买方)处收取8.09利 率，并支付参照利率给询价方。 FRA的利息计算 首先，计算FRA协议期限内利息差。该利息差就是根据当 天参照利率(通常是在结算日前两个营业日使用LIBOR来 决定结算日的参照利率)与协议利率结算利息差，其计算 方法与货币市场计算利息的惯例相同，等于本金额X利率 差X期限(年)。 其次，要注意的是，按惯例，FRA差额的支付是在协议期 限的期初(即利息起算日)，

7、而不是协议利率到期日的最后 一日，因此利息起算日所交付的差额要按参照利率贴现方 式计算。 最后，计算的A有正有负，当A0时，由FRA的卖方将利 息差贴现值付给FRA的买方；当A0时，则由FRA的买方 将利息差贴现值付给FRA的卖方。 结算金结算金 rr=参照利率 rk=合约利率 A=合约金额 D=合约期间 B=年基准 例题例题 2006年4月10日，某财务公司经理预测从 2006年6月16日到9月15日的3个月（92天 ）的远期资金需求，他认为，利率可能上 升，因此，他想对冲利率上升的风险，便 于4月10日从中国银行买进远期利率协议。 条件：条件： 合约金额：10000000元 交易日：200

8、6年4月10日 结算日：2006年6月16日 到期日：2006年9月15日 合约年利率：6.75% 年基准：360天 如果在结算日6月16日的3个月全国银行业 同业拆借利率（参考利率）为7.25%，高于 合约利率，则按照远期利率协议银行须补 偿公司一定量的现金，运用上面的公式计 算支付金额 结算金= （元） 至此，远期利率协议就终止了，该公 司可以将借款成本锁定在6.75%。 远期利率协议的定价远期利率协议的定价 远期利率协议(Forward rate agreement, FRA) 属于支付已知收益率资产的远期合约。 远期利率协议多方（即借入名义本金的一方） 的现金流为： T时刻：A T*时

9、刻： 这些现金流的现值即为远期利率协议多头的价 值。 )*(TTrK Ae t T* T 为此，我们要先将T*时刻的现金流用T*-T期限的远 期利率 贴现到T时刻，再贴现到现在时刻t，即： 这里的远期价格就是合同利率。根据远期价格的定 义，远期利率就是使远期合约价值为0的协议价格 （在这里为rK）。 因此理论上的远期利率（rF）应等于： )()*()*()(tTrTTrTTrtTr eeAeAef K r )*)()( 1 TTrrtTr K eAe rrF rT KFFRA eTTRRAf )( * 美国的长期国债（T-Bond）期货（10年以上）： 空头方可选择到期日从交付月份第一天起 至

10、少15年且在15年内不可回赎的债券。 中期国债(T-Note)期货（1-10年）： 有效期在6.5-10年之间的任何政府债券都 可交割 短期国债(T-Bill)期货（1年以内）： 标的资产为90天的短期国债 美国长期国债期货（CBOT） 合约规模100，000美元的名义价值，15年期8%息票率的名义美国 国债 交割月份3月、6月、9月、12月 报价对每100美元名义价值进行报价 最小变动价位1/32（31.25美元） 最后交易日交割月最后一个工作日的前7个工作日 交割日交割月份的任何一个工作日 交割标准期限超过合约交割月份第一天15年以上，并从那天起15年 内不能回赎的任何政府债券 长期和中期

11、国债期货 国债的报价（以美元和32分之1美元报出，面值100美元） 报价与购买者所支付的价格并不相同。报价有时称为干净价格 （clean price）,而现金价格称为不纯价格(dirty price)。 现金价格报价+上一个付息日以来的累计利息 例：设现在是1997年3月5日，所考虑的债券息票利率为11%，在2010年 7月10日到期，报价为95-16（即95.50）。由于政府债券累计利息 是基于实际天数/实际天数，并且半年付一次利息。最近的一次付息 日是1997年1月10日，下一次付息日将是1997年7月10日。在1997 年1月10日与1997年3月5日之间的天数是54天，而1997年1月

12、10日 与1997年7月10日之间的天数是181天。一个面值100元的债券，在 1月10日与7月10日支付的利息都是5.5元，1997年3月5日的累计利 息应该均摊7月10日支付给债券持有者的利息，即： 2010年7月10日到期的每100面值债券的现金价格为： 95.5+1.64=97.14 64. 15 . 5 181 54 转换因子转换因子 空头方收到的现金期货报价*交割债券的转换因子+交割债券 的累计利息 转换因子计算：交割月份第一天该债券一美元面值的报价 为便于计算，债券的有效期限和距付息日的时间取整数到期最 近的3个月。如果取整数后，债券的有效期是半年的整数倍， 则假定第一次付息是在

13、6个月后，如果取整数后，债券的有效 期不是6个月的整数倍，则假定在3个月后付息，并减去累计利 息。 计算方法： 第一种情况（取整后的有效期为6个月的倍数）：求现值，除以100 第二种情况（有效期不是6个月的整数倍）：先折现到3个月前；再 折现到当前；最后减去应计利息 例：1、某一债券息票利率为每年14%，距到期日还有20年 零2个月，为了计算转换因子，假定债券距到期日整整 20年。假定6个月后第一次付息。即假定每6个月支付一 次利息，一直到20年后支付本金时为止。假定年贴现率 为8%，每半年计复利一次（每6个月4%），则债券的 价格为： 为了计算转换因子，假定债券距到期日整整20年。 除以债券

14、的面值，转换因子为1.5938 2、某债券息票率为14%，距到期日还有18年4个月。为了计 算转换因子，假定债券距到期日调整为18年3个月。年 贴现率同上例。首先将现金流贴现到距今3月的时点上： 40 1 40 39.159 04.1 100 04.1 7 i i 72.163 04.1 100 04.1 7 36 36 0 i i 其次，将上述现金流折现到当前时刻： 3个月期的利率为 折现值=163.73/1.019804=160.55 减去累计利息3.5得到：157.05 折现因子为：1.5705 %9804.1104.1 交割最便宜的债券 空头方收到的价款为： 期货报价*转换因子+累计利

15、息 购买债券的成本为： 债券的报价+累计利息 交割最便宜的债券是： 债券的报价-期货报价*转换因子 威尔德卡游戏 长期国债期货合约于芝加哥时间下午2点停止交 易；长期国债现货停止交易时间是下午4点，期 货空头方在下午8点以前都可以向交易所下达交 割的通知，交割应付价格是以当天的结算价格 为基础计算 即：空头有一个选择权 期货报价的决定 期货价格F与现货价格S的关系： F=(S-I)er(T-t) 其中：I是期货合约有效期内息票利息的现值， T是期货合约到期时刻，t是现在时刻，r是t和T 期间内适用的无风险利率 期货报价的决定： 根据报价计算交割最便宜的债券的现金价格； 根据现金价格和上述公式计

16、算期货的现金价格； 根据期货的现金价格计算出期货报价； 考虑到交割最便宜的债券与标准的15年期8%的 债券之间的区别，将以上求出的期货报价除以 转换因子 60天 122天（0.3342年） 148天35天 息票支付日 息票支付日 息票支付日 当前时刻 期货合约到期日 例：假定某一国债期货合约，已知交割最便宜的债券息票 利率为12%，半年支付一次利息。转换因子为1.4000交割 在270天后进行。如图，上一次支付利息发生在60天前，下 一次支付利息发生在122天后，再下次支付利息是在305天 后。年利率为10%水平利率期限结构当时债券报价为： $120 a.债券的现金价格：120+60/(60+

17、122)*6=121.978 b.期货到期日前收到利息现值：6e-0.3342*0.1=5.803 c.期货的现金价格:(121.978-5.803) e0.7397*0.1=125.094 d.期货的报价为：125.094-6*148/(148+35)=120.242 e.标准期货合约的报价为：120.242/1.4000=85.887 期货报价的确定 美元短期国债期货（IMM） 合约规模100，000美元 交割月份3月、6月、9月、12月 报价IMM指数=100-期货贴现率 最小变动价 位 001（25美元） 最后交易日新短期国债发行日的前一个工作日 交割日交割月份的第一个工作日 交割标准

18、90至92天短期国债 短期国债利率 贴现债券，不支付利息；假定现在是0时刻，期 货合约的到期期限为年，标的资产国债的到 期期限为*年；今天到和*的无风险连续复 利率分别为和*；期货合约标的国债面值为 $100，其现值为： F=100e-r*T*erT=100erT-r*T*=100e-rf(T*-T) 套利机会 如果短期国债期货价格中隐含的远期利率 不同于短期国债本身所隐含的远期利率， 则存在潜在的套利机会。 例：假设现在（t=0），你可以从现货市场上购买33天后到 期的美国短期国债，你还可以以 的价格购买短期国 债期货合约，该合约在33天后交割90天期的短期国债， 这样，你的两宗交易就相当于

19、购买了一个123天期的美 国短期国债。如果33天期的短期国债、123天期的短期 国债以及期货合约没有正确定价，那么就可以进行无风 险套利。在现实世界中，这一套利机会用隐含回购利率 来描述。用复利所表示的无套利条件是 其中， 是现货市场价格， 为在T时交割的期货价格， r为金融市场的实际利率。如果 则在t=0时，按利率r借款，购买现货 ，并以价格 卖出 期货；在t=T时，偿还贷款 ，用现货交割期货， 得到 。 隐含回购利率为 0 F T T rSF)1 ( 0. 0 0 ST F ,0 T T rSF)1 ( 0. 0 0 ST F , 0 T rS)1 ( 0 T F ,0 1)/( /1 0

20、, 0 T T SFr 例：数据：33天期美国国债短期，贴现率为D=5.77%； 124天期美国短期国债，贴现率为D=6%； 91天期短期国债期货，IMM指数为94.2，贴现率为5.8%。 问（1）计算隐含回购率（2）是否有套利机会 124天期短期国债的价格： 期货报价： 上式是用90天期短期国债表示的期货价格，由于交割的短期国债是91天 期的，因此有期货实际价格： 隐含回购利率： 33天期的实际利率是由33天期的短期国债收益率表示的。 33天期短期国债价格：P=100-5.77（33/360）=99.4711 收益率： 隐含回购利率 ，因此，买入一份124天 期短期国债并卖出期货合约。33天

21、后，124天期短期国债将成为91 天期短期国债，可用做期货交割。 933.97)360/124(6100 0 S 55.98)360/90(8 . 5100 ,0 T F 53.98)360/91(8 . 5100 ,0 T F 0695. 01)/( 33/365 0, 0 SFr T 0604. 01)4711.99/100( 33/365 33 r %04. 6%95. 6rr超过过了实际利率 例： 假设：45天短期国债利率为10%，135天短期国 债利率为10.5%，还有45天到期的短期国债期 货价格对应的隐含远期利率为10.6%短期国债 隐含远期利率为(135*10.5-5*10)/

22、90=10.75% l今天卖空期货合约 l以10%的年利率借入45天资金(卖空45国债) l将借入的资金按利率10.5%进行135天的投资 现金流过程(设国债面值为100元) 今天：借入Fe-rT=100e-rf(T*-T) e-rT (卖空45国债)，存款 Fe-rTer*T*=100e-rf(T*-T) e-rT er*T*至T*(买入135国债), 卖空期货合约(在45交割135到期国债) T天：执行期货合约，卖空国债，偿还借款 拥有存款Fe-rTer*T*=100e-rf(T*-T) e-rT er*T*至T* 将来须偿还国债 T*天：取得存款本息收入 Fe-rTer*T*=100e-

23、rf(T*-T) e-rT er*T* 支付国债面额100元 这天的现金支付情况： 100e-rf(T*-T) e-rT+r*T*-100=100er*T*-rf(T*-T)-rT-10 (由于rf(r*T*-rT)/(T*-T) 注:只要短期国债与国债期货价格隐含的利率不等,就有机 会套利 短期国债的报价 面值为$100的短期国债的标价（计算惯例：实 际天数/360） 假定是面值$100，距到期日还有n天时间的短 期国债的现金价格，其贴现率D为： D=360/n*(100-Y) 短期国债期货的报价方法： 短期国债期货的报价（指数报价）100-D 其中D为贴现率 例：如果6月份交割的期货合约的

24、（指数报价） 为92，则说明贴现率为8%，则实际期货 价格为100-8*90/360=98 如果是短期国债期货的报价，是期货合约 的现金价格，则 Z=100-360/90*(100-Y) 或Y=100-90/360*(100-Z) 例:假定140天的年利率为8%，230天的年利率为 8.25%，则140天到230天期间的远期利率为： (0.0825*230-0.08*140)/90=0.0864 于是：140天后交割的面值为$100的90天的短期 国债期货价格为： 100e-0.0864*90/365=97.89 它的（指数）报价为：100-4*(100- 97.89)=91.56(忽略期货与

25、远期价格之间的差异) 欧洲美元期货 欧洲美元是存放在美国银行的海外银行或存放 在外国银行的美元。 欧洲美元利率是银行之间存放欧洲美元的利息 率，也称为伦敦银行同业借贷利率（LIBOR）。 London InterBank Offered Rate 欧洲美元期货是基于利率的期货合约 短期国债合约是基于短期国债价格期货合约 对长期合约来讲，远期价格与期货价格可能并 不相等 欧洲美元期货合约可以长达10年 90天欧洲美元期货（IMM） 合约规模100，000美元 交割月份3月、6月、9月、12月 报价IMM指数=100-期货收益率 最小变动价 位 001（25美元） 最后交易日交割月份的第3个星期三

26、之前的第2个工作日 交割日在最后交易日进行现金交割 交割标准现金交割 久期 一个债券的价格取决于它的现金流和利率。由于 债券的现金流是事先决定的，利率的波动是债券价格变 化的主要风险来源，利率的变化导致人们对债券要求的 收益率发生变化，也导致债券价格发生变化。 如果以P表示债券的价格，y代表债券的收益率， 债券价格的利率风险可简单表示为： ，它表示收 益率的单位变化导致价格变化的数量。 由于债券价格对利率变化的敏感性，需要一种方 法度量债券价格的利率风险。久期是人们广泛使用的用 来度量债券价格的利率风险的指标。 y P 假定一个10年期债券，面值为100元，息票率 是8%，在不同的收益率下，债

27、券的价格为： 收 益 率 （%） 456 789101112 价 格 132.70123.38114.87107.11100.0093.4987.5482.5777.06 债券价格的变化和收益率的变化近似有关系： 其中 代表价格的变化， 代表收益率的变化。 若以D代表久期，则久期定义为： 反映了收益率的单位变化导致价格的变化率 债券的价格变化=-久期*价格*收益率的变化，或 债券价格变化的百分比=-久期*收益率的变化 y dy dP P Py yP dy dP P P )/( )/(P dy dP D yD P P yPDP 假定一个债券的年息票率是c，到期日前还有N次利 息支付，利息半年支付

28、一次，收益率为y（半年复利 一次的年利率）。现在距离下一次利息支付还有6个 月。 债券的价格为： 其中 ，它是现在距离第个付息日的时间长度（以年计） N k Nk yy c P 1 )2/1 ( 1 )2/1 ( 2/ )2/1 ()2/1 ( )2/( ) 2/1 1 ( )2/1 ( )2/1 ( )2/1 ( )2/)()(2/1 ( 1 1 1 1 N k N N k k N N k k y t y ct y y N y ck dy dP 2 k tk P y t y ct y P y N y ck P dy dP D N k N N k k N N k k / )2/1 ()2/1

29、( )2/( ) 2/1 1 ( / )2/1 ( )2/1 ( )2/1 ( )2/)()(2/1 ( / 1 1 1 1 久期 衡量债券的持有者在收到现金付款之前，平均需要等待 多长时间 假定0时刻，债券持有者在ti时刻收到利息为ci(1in)债 券价格为 债券久期D的定义为（Macaulay久期）： 1 i n yt i i Bc e 1 1 i i n yt yt n i i ii i i tce ce Dt BB 1 i n yt i i Bc e 1 i n yt i i Bc e n i yt i i ecB 1 n i yt i i n i yt ii B ec t B ect

30、 D i i 1 1 债券价格变化的百分比等于其久期乘以收 益率的变化 修正的久期(一年计m次复利频率) B D y B 1/ D ym B D B y n i yt ii i etc y B 1 DB y B yD B B y yBD B 1 m y yBD B 1 m y D 1 Duration of a portfolio A n k A kk A P PVt D 0 B n k B kk B P PVt D 0 P DP P DP D BBAA BA PPP Generally, there are m fixed-income securities with prices and

31、durations of Pi and Di ,respectively, i=1,2,m. Where wi =Pi /P, i=1,2, m. mm m DwDwDwD pppp . . 2211 21 Qualitative properties of duration coupon rate years to maturityyears to maturity 1%1%2%2%5%5%10%10% 1 1 0.9970.9970.9950.9950.9880.9880.9770.977 2 2 1.9841.9841.9691.9691.9281.9281.8681.868 5 5 4.8754.8754.7634.7634.4854.4854.1564.156 1010 9.4169.4168.958.957.9897.9897.1077.107 2525 20.16420.16417.71517.71514.53614.53612.75412.754 5050 26.66626.66622.28422.28418.76518.76517.38417