五年级奥数(仁华版)第十三讲简单的统筹规划问题

1、第十三讲 简单的统筹规划问题 引言 在人们的生产和生活活动中，经常面对这 样的问题：怎样在尽可能节省人力、物力 和时间的前提下，争取获得在可能范围内 的最佳效果。这类问题，我们称之为统筹 问题，也常常叫做最优化问题。 本课时我们将探讨有关物资调运，合理利 用材料，合理利用时间，设计配套方案等 问题。 了解它们的一般原则，解题思路等。 （一）物质调运问题 例1、某工地A处有20 辆卡车，要把60车渣 土从A运到B，把40车 砖从C运到D，（工地 道路图如图所示）问： 如何调运，最节省汽 油？ A D B C 300米 90 米 240 米 360米 原则1、节省跑空车的路程 分析：不论怎样把渣土

2、从分析：不论怎样把渣土从A运到运到B或者把砖从或者把砖从C运到运到D，在装，在装 有货物是都无法节省汽油。只有设法减少跑空车的距离，有货物是都无法节省汽油。只有设法减少跑空车的距离， 才能节省汽油。才能节省汽油。 发挥你的聪明才智，看看怎样安排才能最节省汽油，用发挥你的聪明才智，看看怎样安排才能最节省汽油，用 几种方案试一试，说出你的感受几种方案试一试，说出你的感受 方案一：派20辆车先把60车渣土运完，再派20辆车去 把40车砖运完： 方案二：派这20车从ABCDA跑两圈，运40车 渣土和40 车砖，再派20辆车都从A处运渣土到B处返回。 解：先派20辆车都从A开始运渣土到B，再 空车开往C

3、把砖到D，最后空车跑回A处， 这样，两圈就可以运40车渣土和40车砖， 最后派这20辆车都从A处运渣土到B后空返 回，完成了所有任务。这时空车总共跑了 （240+90）40+30020=19200（米） 2、避免对流原则 例2、一只勘探队在 五个山头A、B、C、 D、E设立了基地， 人数如右图所示。 为了使各基地人数 相同，如何调动就 方便？（调动时不 考虑路程的远近） 17 4 9 14 16 A DC B E 右图叫做物资流 向图，用利用流 向图来表述调运 方案，能直观地 看出调运情况及 有无对流现象。 有对流现象的调 运方案不可能是 最优化方案。 4 4 2 17 4 9 14 16 A

4、 DC B E 1 原则3、小往大处靠原则 例3、在一条公路上，每隔100 千米有一个仓 库，（如图）共5个仓库。一号仓库里有10 吨货物，二号仓库里有20 吨货物，五号仓 库里有40吨货物。其余两个仓库是空的。 现在想把所有的货物集中存放在一个仓库 里，如果每吨货物运输1千米需要0.5元运输 费，那么，怎样运输才能使运费最少？最 少需要多少运费？ 一一 二二 三三 四四 五五 10吨吨20吨吨 40吨吨 我们从最简单的情况开始分析 引例：公路上A、B两个仓库分别存有小麦 10吨和15吨，相距10千米，问：打麦场建 在何处运费最少？ C A B 设：打麦场建在离B第x千米 的C处，每吨小麦每千

5、米的运 费为a元， 则则A库小麦运往库小麦运往C处的费用是：处的费用是：a10（10 x） 100a 10ax（元）（元） B处小麦运往处小麦运往C处的费用为处的费用为a15x 15ax（元）（元） 总费用为总费用为 100a10ax15ax100a5ax （元）（元） 我们看到：当我们看到：当a值确定时，这里值确定时，这里100a是个定值，当是个定值，当x值越大，值越大， 总运费也就越大，所以，只有当总运费也就越大，所以，只有当x=0时即时即B、C重合时总运重合时总运 费最小。由此我们可以得到原则：费最小。由此我们可以得到原则：小往大处靠小往大处靠 解：因为一号与二号仓库的货物共有30吨，

6、比五号仓库的40吨少，所以全部集中在五 号仓库总运费最少，为 0.5104000.520300 200030005000（元） 答： 二、下料问题 例4 、189米长的钢筋要剪成4米或7米两种 尺寸，如何剪法最省材料？ 分析：显然，无余料是最优化方案， 设4米长的截x根，7米长的截y根，根据题 意得：4x+7y=189 然后用不定方程的同余法求出共有7种截法， y27 7y3y1891(mod 4) 例5 、用10米长的竹竿做原材料，来截取3米、4长的甲、 乙两种短竹竿各100根，至少要用去原材料几根?怎么截法 最合算？ 你能看出它与例4 的不同吗？ 解：将10米的竹竿截成3米、4米的竹竿有三

7、种方案： 3、3、4三段（无余料）； 3、3、3三段（余料1米）； 4、4（两段余料2米） 根据无余料原则可知：可以用50根按截法得到100根3 米的，50根4米的，再取25根按截法得到50根4米的。 因此最少要用75根。 1.假设烙一个饼需要4分钟，每一面需要2分 钟，一个烙饼锅每次正好可以烙两个，烙 97张饼需要几分钟？ 用时短的优先 2、学校大扫除，四位同学各拿大小不一的桶一同去打水， 注满这些水桶，A需要5分钟，B需要3分钟，C需要4分钟， D需要2分钟。现只有一个水龙头，应如何安排这四个人 打水次序使他们花费的等候时间总和最少，这个时间等于 多少？ 解根据用最短优先可知打水次序为D、

8、B、C、A时等候的 时间总和最少， 等候时间总和是 24334251898530（分钟） （但最后一人走的时间不变，因此我们仍旧建议按先来后 到较公平） 3、有一个80人的旅游团，其中男50人，女 30 人，他们住的旅馆有11人、7人和5人的 三种房间，男、女分别住不同的房间并且 不能有空床，他们至少要住多少个房间？ 分析：这个问题实际上就是求不定方程 11x+7y+5z=50且满足x+y+z最小的整数解 和不定方程11x+7y+5z=30且满足x+y+z最 小的整数解 11x+7y+5z=50 z= 由 (11x+7y)(x+2y)50 0(mod 5) 及x4 得x=3,y=1,z=2 5

9、 )711(30yx 11x+7y+5z=30 z= 由 (11x+7y)(x+2y) 300(mod 5) 及x2 得x=1,y=2,z=1 5 )711(50yx 解：住房方案如下：男50人住3间11人间、 1间7人间和2间5 人间；女30人住1间11人 间、2间7人间和1间5人间。 所以他们至少要住10间客房。 4、A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F六座居民楼 依次排在一条直线型的马路上，现要在这 条马路上建造一个大型超市，那么应建在 什么地方才能使这个超市到六座居民楼的 总距离最近？ 5.在一条公路上有4个工厂，任意相邻的两 个工厂距离相等（如图所示）。现在要在 这条公路上设一车站，使得这4个工厂的所 有工人步行到车站的总路程最少，这个车 站应设在几号工厂门口？ 1234 100人人120人人80人人 215人人 我们可以分类讨论看是在我们可以分类讨论看是在2、3、还是、还是4处处 解：可以将车站设在3处或4处 设每个工厂之间的路程为单位1，则车站设 在3