2021-2022版高中数学 第二章 数列 2.2.2 等差数列的性质学案 新人教A版必修5

1、2021-2022版高中数学 第二章 数列 2.2.2 等差数列的性质学案 新人教a版必修52021-2022版高中数学 第二章 数列 2.2.2 等差数列的性质学案 新人教a版必修5年级：姓名：第2课时等差数列的性质必备知识自主学习导思1.等差数列有哪些常用的性质?2.由等差数列可构成哪些新的等差数列?3.等差数列的单调性与公差有什么关系?1.等差数列中项与序号的关系(1)两项关系.an=am+(n-m)d(m,nn*)(2)多项关系.若m+n=p+q(m,n,p,qn*)则an+am=ap+aq.特别地,若m+n=2p(m,n,pn*),则am+an=2ap. (1)由an=am+(n-m

2、)d(m,nn*)mn,如何求出公差d?其几何意义是什么?提示:d=.等差数列通项公式可变形为an=dn+(a1-d),其图象为一条直线上孤立的一系列点,(n,an),(m,am)都是这条直线上的点.d=为直线的斜率.(2)如何证明若m+n=p+q(m,n,p,qn*),则am+an=ap+aq?提示:因为am=a1+(m-1)d,an=a1+(n-1)d.所以am+an=2a1+(m+n-2)d.同理,ap+aq=2a1+(p+q-2)d,因为m+n=p+q,所以am+an=ap+aq.2.由等差数列构成的新等差数列(1)条件.an,bn分别是公差为d1,d2的等差数列(2)结论.数列结论c

3、+an公差为d1的等差数列(c为任一常数)can公差为cd1的等差数列(c为任一常数)an+an+k公差为2d1的等差数列(k为常数,kn*)pan+qbn公差为pd1+qd2的等差数列(p,q为常数)3.等差数列的单调性等差数列an的公差为d,(1)当d0时,数列an为递增数列.(2)当d0,递减等差数列d0,所以解得a=,d=,此等差数列为-1,2,5,8或-8,-5,-2,1.类型三等差数列的应用(数学建模、数学运算)角度1与其他知识的综合应用【典例】等差数列an中,a2+a5+a8=9,那么关于x的方程x2+(a4+a6)x+10=0()a.无实根b.有两个相等实根c.有两个不等实根d

4、.不能确定有无实根【思路导引】根据等差数列的性质和题目条件可求a4+a6,判断判别式的符号可得方程实数根的情况.【解析】选a.由于a4+a6=a2+a8=2a5,而3a5=9,所以a5=3,方程为x2+6x+10=0,=62-4104),则=-,解得a=10,三边长分别为6,10,14.所以sabc=610=15.答案:15课堂检测素养达标1.等差数列an中,a100=120,a90=100,则公差d等于()a.2b.20c.100d.不确定【解析】选a.因为a100-a90=10d,所以10d=20,即d=2.2.(教材二次开发:练习改编)由公差d0的等差数列a1,a2,an组成一个新的数列

5、a1+a3,a2+a4,a3+a5,下列说法正确的是()a.新数列不是等差数列b.新数列是公差为d的等差数列c.新数列是公差为2d的等差数列d.新数列是公差为3d的等差数列【解析】选c.因为(an+1+an+3)-(an+an+2)=(an+1-an)+(an+3-an+2)=2d,所以数列a1+a3,a2+a4,a3+a5,是公差为2d的等差数列.3.在等差数列an中,若a3+a9=6,则a6=.【解析】由等差数列的性质可知,a3+a9=2a6=6,所以a6=3.答案:34.已知直角三角形的三条边的长度成等差数列,则最短边与最长边长度的比等于.【解析】设这个直角三角形的三边长分别为a-d,a

6、,a+d(d0),根据勾股定理,得(a-d)2+a2=(a+d)2,解得a=4d,于是这个直角三角形的三边长分别是3d,4d,5d,即这个直角三角形最短边与最长边长度的比是35.答案:355.甲虫是行动较快的昆虫之一,如表记录了某种类型的甲虫的爬行速度:时间t/s123?60距离s/cm9.819.629.449? (1)你能建立一个等差数列的模型,表示这种类型的甲虫的爬行距离和时间之间的关系吗?(2)利用建立的模型计算,这种类型的甲虫1 min能爬行多远?它爬行49 cm需要多长时间?【解析】(1)由题目表中数据可知,该数列从第2项起,每一项与前一项的差都是常数9.8,所以是一个等差数列模型.因为a1=9