2017-2018学年高中数学 第二章 参数方程 第2节 第1课时 椭圆的参数方程教学案 -

1、学必求其心得，业必贵于专精第1课时椭圆的参数方程核心必知椭圆的参数方程中心在原点，焦点在x轴上的椭圆1的参数方程是（是参数)，规定参数的取值范围是0，2）问题思考1中心在原点，焦点在y轴上的椭圆1的参数方程是什么？提示:由得即参数方程为(为参数）2圆的参数方程中参数的意义与椭圆的参数方程中参数的意义相同吗？提示:圆的参数方程：（为参数）中的参数是动点m（x，y)的旋转角，但在椭圆的参数方程（为参数)中的参数不是动点m（x，y)的旋转角，它是点m所对应的圆的半径oaa（或obb）的旋转角,称为离心角，不是om的旋转角已知椭圆1有一内接矩形abcd,求矩形abcd的最大面积精讲详析本题考查椭圆的参

2、数方程的求法及应用解答此题需要设出a点的坐标,然后借助椭圆的对称性即可知b、c、d的坐标，从而求出矩形的面积的表达式椭圆方程为1,可设a点的坐标为（10cos ，8sin )则|ad|20cos |，ab|16sin |，s矩形|ab|ad2016|sin cos 160|sin 2.|sin 2|1，矩形abcd的最大面积为160.利用椭圆的参数方程求函数(或代数式）最值的一般步骤为：(1)求出椭圆的参数方程；（2)利用椭圆中的参数表示已知函数（或代数式);（3）借助三角函数的知识求最值1已知实数x，y满足1，求目标函数zx2y的最大值与最小值解:椭圆1的参数方程为（为参数）代入目标函数得z

3、5cos 8sin cos （0)cos (0）（tan 0）所以目标函数zmin，zmax。已知a，b分别是椭圆1的右顶点和上顶点，动点c在该椭圆上运动，求abc的重心g的轨迹方程精讲详析本题考查椭圆的参数方程及轨迹方程的求法解答此题需要先求出椭圆的参数方程，即c点的坐标,然后利用重心坐标公式表示出重心g的坐标即可求得轨迹由题意知a(6，0)、b（0，3）由于动点c在椭圆上运动，故可设动点c的坐标为（6cos ，3sin ），点g的坐标设为（x，y）,由三角形重心的坐标公式可得即消去参数得到（y1)21。利用椭圆的参数方程求轨迹，其实质是用表示点的坐标，再利用sin2cos21进行消参，本题

4、的解决方法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性,运用参数方程显得很简单，运算更简便2设f1、f2分别为椭圆c:1（ab0）的左、右两个焦点(1)若椭圆c上的点a到f1，f2的距离之和等于4，写出椭圆c的方程和焦点坐标；(2)设点p是(1）中所得椭圆上的动点，求线段f1p的中点的轨迹方程解：(1）由椭圆上点a到f1，f2的距离之和是4，得2a4，即a2.又点a(1，）在椭圆上，因此1,得b23，于是c2a2b21，所以椭圆c的方程为1，焦点坐标为f1(1，0）,f2(1，0）（2）设椭圆c上的动点p的坐标为(2cos ，sin ）,线段f1p的中点坐标为（x，y）,则x，y,所以xcos

5、 ，sin 。消去,得（x）21.已知椭圆y21上任一点m(除短轴端点外）与短轴两端点b1、b2的连线分别交x轴于p、q两点，求证：|opoq为定值精讲详析本题考查椭圆的参数方程的求法及应用解答本题需要先确定b1、b2两点的坐标，并用椭圆的参数方程表示出m点的坐标，然后用参数表示出op|oq即可设m(2cos ，sin )，为参数,b1(0,1），b2(0，1）则mb1的方程：y1x，令y0，则x,即|op。mb2的方程：y1x，oq|.op|oq|4。即op|oq4为定值(1)利用椭圆的参数方程可把几何问题转化为三角问题，便于计算或证明(2)利用参数方程解决此类问题时，要注意参数的取值范围3

6、求证：椭圆(ab0)上一点m与其左焦点f的距离的最大值为ac（其中c2a2b2）证明：m、f的坐标分别为（acos ，bsin ）、（c,0）|mf|2（acos c)2（bsin )2a2cos 22accos c2b2b2cos 2c2cos 22accos a2(accos ）2当cos 1时，mf2最大，mf|边最大，最大值为ac.椭圆的参数方程及参数方程在求最值中的应用，是高考命题的重点考查对象，新课标全国卷以解答题的形式考查了椭圆参数方程在求最值中的应用，是高考命题的一个新动向考题印证（新课标全国卷)已知曲线c1的参数方程是（为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标

7、系，曲线c2的极坐标方程是2.正方形abcd的顶点都在c1上，且a，b，c,d依逆时针次序排列，点a的极坐标为.（1）求点a，b，c，d的直角坐标；（2)设p为c1上任意一点，求|pa2pb|2pc2|pd2的取值范围命题立意本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、椭圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想解(1)由已知可得a（2cos ,2sin ），b（2cos （)，2sin(），c（2cos （），2sin（），d(2cos ()，2sin(），即a（1，)，b（，1），c(1，)，d（，1)（2）设p(2cos ,3sin )，令spa2pb2pc2|pd|2，则s

8、16cos 236sin 2163220sin 2。因为0sin 21,所以s的取值范围是32，52一、选择题1椭圆(为参数）的离心率为（)a。b.c. d。解析：选b由椭圆方程知a5，b4，c29，c3，e。2椭圆（为参数),若0,2,则椭圆上的点（a，0)对应的()a b。c2 d.解析：选a点(a,0）中xa，aacos 。cos 1.。3若p(x,y)是椭圆2x23y212上的一个动点，则xy的最大值为()a2 b4c。 d2解析：选d椭圆为1，设p（cos ，2sin ），xycos sin 2sin （)2.4已知曲线（为参数，0)上一点p，原点为o，直线po的倾斜角为，则p点坐标

9、是(）a(3，4) b.c（3，4) d.解析：选d因为tan tan 1，所以tan 。所以cos ，sin ，代入得p点坐标为（，)二、填空题5二次曲线（是参数)的左焦点的坐标是_解析：原方程消去参数，得普通方程为1。它是焦点在x轴上的椭圆，a225，b29，c2a2b216，c4。所以左焦点坐标是(4，0)答案：(4,0）6已知椭圆的参数方程为（t为参数)，点m、n在椭圆上，对应参数分别为，则直线mn的斜率为_解析：当t时，即m（1,2）,同理n(，2)kmn2。答案：27对任意实数，直线yxb与椭圆(02)，恒有公共点，则b的取值范围是_解析：将(2cos ，4sin )代入yxb得：

10、4sin 2cos b恒有公共点,以上方程有解令f（)4sin 2cos 2sin（）(tan）2f（)2.2b2。答案：2,28直线xy2被椭圆（为参数)截得的弦长为_解析：把代入xy2得cos sin 。即sin ()，于是0或,得两交点m（2，0），n（，）,mn。答案:三、解答题9(福建高考)在直角坐标系xoy中，直线l的方程为xy40，曲线c的参数方程为（为参数)（1)已知在极坐标系(与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点o为极点,以x轴正半轴为极轴)中，点p的极坐标为，判断点p与直线l的位置关系；(2)设点q是曲线c上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值解：(1)把极坐标系

11、下的点p(4，)化为直角坐标，得p（0，4）因为点p的直角坐标(0，4)满足直线l的方程xy40，所以点p在直线l上(2）因为点q在曲线c上，故可设点q的坐标为(cos，sin)，从而点q到直线l的距离为dcos()2。由此得,当cos（)1时，d取得最小值，且最小值为.10p为椭圆1上的点，求p到直线l:3x4y240的距离的取值范围解：设p的坐标为（4cos ，3sin ），则p到l的距离为d当cos ()1时，d取最大值为；当cos （）1时，d取最小值为.所求的取值范围为，11椭圆1上一动点p（x，y)与定点a(a，0)（0a3)之间的距离的最小值为1，求a的值解:设动点p（3cos ，2sin )，则|pa|2（3cos a)24sin 25(c