第三章 平面任意力系(Y)

1、四、平面平行力系的平衡方程四、平面平行力系的平衡方程 平面任意力系实例平面任意力系实例 平面任意力系实例平面任意力系实例 1 1、力的平移定理、力的平移定理 A B d A B 作用于刚体上作用于刚体上A点的力点的力F可以平行移到任一点可以平行移到任一点B，但必须同时附加，但必须同时附加 一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点对新作用点B的矩。的矩。 A B d 2 2、平面任意力系向作用面内一点的简化、平面任意力系向作用面内一点的简化主矢和主矩主矢和主矩 3333 2222 1111 FMmFF FMmFF FMmFF O O O 32132

2、1 321321 FMFMFMmmmM FFFFFFF OOOO R 平面任意力系向作用面内任一点平面任意力系向作用面内任一点O简化，可得一个力和一简化，可得一个力和一 个力偶，这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心。个力偶，这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心。 这个力偶的矩等于力系对于点这个力偶的矩等于力系对于点O 的主矩。的主矩。 iiR FFF )( iOiO FMMM 主矢主矢( (矢量矢量) ) 主矢主矢平面任意力系中所有各力的矢量和。平面任意力系中所有各力的矢量和。 主矩主矩平面任意力系中所有各力对简化中心之矩的代数和。平面任意力系中所有各力对简化中心之矩的代数和。 主

3、矩主矩( (代数量代数量) ) 若选取不同的简化中心，对主矢、主矩有无影响？若选取不同的简化中心，对主矢、主矩有无影响？ YFFF XFFF iyiyRy ixixRx 如何求出主矢、主矩如何求出主矢、主矩? ? 主矢大小主矢大小 方向方向 作用于简化中心上的作用于简化中心上的主矩主矩 )( iOO FMM R R R R RyRxR F Y F X YXFF ),cos(,),cos( )()( 2222 jFiF F iiR FFF 0 R F 0 O M 0 R F 0 O M 0 R F 0 O M 0 O M0 R F （1 1） （2 2） （3 3） （4 4） 不平衡不平衡 平

4、衡平衡 n i iOO MM 1 )(F 因为力偶对于平面内任意一点的矩都相同，因此当力因为力偶对于平面内任意一点的矩都相同，因此当力 系合成为一个力偶时，主矩与简化中心的选择无关。系合成为一个力偶时，主矩与简化中心的选择无关。 0 R F 0 O M（1 1） 0 R F 0 O M 合力作用线过简化中心。合力作用线过简化中心。 （2 2） O FR O FR OO d FR FR d R O F M d FR O Mo O 0 R F 0 O M 合力作用线通过简化中心合力作用线通过简化中心 的另一侧，合力的作用线到简化中心的距离的另一侧，合力的作用线到简化中心的距离d。 （3 3） 平面

5、任意力系的合力平面任意力系的合力FR 对作用面内任一点之矩对作用面内任一点之矩 等于力系中各力对同一点之矩的代数和。等于力系中各力对同一点之矩的代数和。 iORO FMFM O O d R F = iOO FMM ioORRO FMMdFFM F1 F2 F3 O O O R F o M = 4 4、合力矩定理、合力矩定理 （1 1）当力臂不好确定时，将该力分解后求力矩；）当力臂不好确定时，将该力分解后求力矩； （2 2）求分布力的合力作用线位置。）求分布力的合力作用线位置。 已知：已知：在长方形平板的在长方形平板的O，A，B，C点上分别作用着有点上分别作用着有 四个力：四个力：F1=1=1k

6、N，F2=2=2kN，F3= =F4=3=3kN。 试求：试求：以上四个力构成的力系对以上四个力构成的力系对O点的简化结果，以及点的简化结果，以及 该力系的最后合成结果。该力系的最后合成结果。 求向求向O点简化结果点简化结果 三、平面任意力系的平衡条件和平衡方程三、平面任意力系的平衡条件和平衡方程 平面任意力系平衡的充要条件是：平面任意力系平衡的充要条件是： 力系的主矢和对任意点的主矩都等于零。力系的主矢和对任意点的主矩都等于零。 0 0 o Ry Rx R M YF XF F 22 )()(YXFR 0)( iOO FMM 0 0 Y X 0)( 0 0 1 1 1 n i iO n i i

7、 n i i M Y X F 所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别 等于零，以及各力对于任意一点矩的代数和也等于零。等于零，以及各力对于任意一点矩的代数和也等于零。 平面任意力系的平衡方程平面任意力系的平衡方程 平面任意力系平衡方程的三种形式平面任意力系平衡方程的三种形式 一般式一般式 0 0 0 o M Y X 二矩式二矩式 0 0 0 B A M M X A、B 两点的连线，不得与投影轴两点的连线，不得与投影轴 x 垂直垂直 0 A M 平面任意力系对任意点的主矩等于零。平面任意力系对任意点的主矩等于零。 0 B M 合力的作用线通过

8、合力的作用线通过AB两点的连线。两点的连线。 0X 力与力与x轴垂直时，力在轴上的投影为零轴垂直时，力在轴上的投影为零 不平蘅不平蘅 三矩式三矩式 0 0 0 C B A M M M A、B、C三点不共线三点不共线 0 A M 平面任意力系对任意点的主矩等于零。平面任意力系对任意点的主矩等于零。 0 B M 合力的作用线通过合力的作用线通过AB两点的连线。两点的连线。 0 c MA、B、C三点共线时，合力的作用线三点共线时，合力的作用线 通过通过AB两点的连线。两点的连线。 四、平面平行力系的平衡方程四、平面平行力系的平衡方程 0X 平面平行力系的方程为两个，有两种形式平面平行力系的方程为两个

9、，有两种形式 0 0 A M Y 各力不得与投影轴垂直各力不得与投影轴垂直 0 0 B A M M A，B 两点连线不得与各力平行两点连线不得与各力平行 已知：已知：M=Pa 求：求：A、B 处约束反力。处约束反力。 x y 020PaMaF,)(M BA F F PFB PFPF AxAx 0 PF Ay 0 BAy FF 0X 0Y 020)( 020)( 00 MPaaFM PaMaFM PFX AyB BA Ax F F F F PFPFPF BAyAx 解法解法2 2 PF PF PF B Ay Ax PFPFPF BAyAx 解法解法3 3 PF PF PF B Ay Ax 020

10、)( 020)( 020)( MaFaFM MPaaFM PaMaFM BAxC AyB BA F F F F F F 解：解：取取AB 梁为研究对象梁为研究对象 已知：已知： 求：求：固定端的反力。固定端的反力。 0 2 0 cosFl l qlM,)(M AA F F cosFqlFAy 00 sinFF,X Ax sinFFAx 00 cosFqlF,Y Ay 2 2 1 qlcosPlM A ，Flq 030cos0)( 0 MaFM CA F F a M F C 3 32 F D E C B A a a a P 已知已知: : 求：求：三杆对三角平板三杆对三角平板ABC 的约束反力。

11、的约束反力。 解：解：取三角形板取三角形板ABC 为研究对象为研究对象 P A C a a a B aPM， 33 32P a M FB 0 2 30cos 0)( 0 a PMaF M B C F F 0 2 30cos 0)( 0 a PMaF M A B F F 33 32P a M FA P A C a a a B P A C a a a B P A D E B C r FBx FBy FA P A D E B C aa r a 已知已知: : a=4m，r=1m，P=12kN 求：求：A、B 处的反力。处的反力。 解：解：取整体为研究对象取整体为研究对象 0FM B 043 .FP

12、A kNFA9 0X0 BxA FF kNFF ABx 9 0Y0 PFBy kNPFBy12 D 1m2m1m ABC F q 解：解：取梁取梁ABCD 为研究对象为研究对象 01210 FFP,(F)M NAB N3750 NB F 已知：已知：F = 2kN，q = 1kN/m 求：求： A、B 支座反力。支座反力。 FF P kNqlP5.1 2 1 N250 NA F 00 PFFF,Y NBNA FTE P AD B r FAx FAy FB 45 已知：已知：a=4m，r=1m，P=12kN 求：求：A、B 处的反力。处的反力。 解：解：取整体梁为研究对象取整体梁为研究对象 0F

13、M A 0452 raPrFsinaF TEB o kNFB26 0X045 o cosFFF BTEAx kNFAx18 0Y045 o sinFPF BAy kNFBy6 A B q 3m 1m M 1m D F P 已知：已知：P = 100 kN ， F = 400 kN ， M = 20 kNm ，q = 20 kN /m 求：求：支座支座A的约束力的约束力 A B 3m 1m M 1m D F P q F 1m 解：解： kNlqF ACq 30 2 1 分布力的合力分布力的合力 作用位置如图作用位置如图 A B 3m 1m M 1m D F P q F 1m Ax F Ay F

14、A M P = 100 kN ， F = 400 kN ， M = 20 kNm ，q = 20 kN /m kNFq30 对对ABD杆列平衡方程杆列平衡方程 0 x F 0600sinFFF qAx 0 y F 0600cosFPFAy 0 A M01603601 00 cosFsinFFMM qA mkNMkNFkNF AAyAx 11883004 .316 0X 0Y （1 1）满载时，其限制条件是：）满载时，其限制条件是：FNA0 ba lPPe P lPPebaP M B 1 2 12 0)( 0)(F F P2 P1 AB P b e a l 求：求：欲使起重机满载和空载时均不翻倒

15、，平衡锤的重量。欲使起重机满载和空载时均不翻倒，平衡锤的重量。 解：解：取起重机为研究对象取起重机为研究对象 满载时，满载时，, 0 A F为不安全状况为不安全状况 已知：已知：起重机自重为起重机自重为P，平衡锤重量为，平衡锤重量为P2，载重量为，载重量为P1。 （2 2）空载时，其限制条件是：）空载时，其限制条件是：FNB0 a beP P bePaPM A )( 0)(, 0)( 2 2 F F P2 P1 AB P b e a l a beP P ba lPPe)( 2 1 因此，因此，P2 必须满足：必须满足： 空载时，空载时， , 0 B F 为不安全状况为不安全状况 0 1 P 五

16、、物体系的平衡五、物体系的平衡 静定和静不定问题静定和静不定问题 静定体系：未知量数目等于独立平衡方程数目静定体系：未知量数目等于独立平衡方程数目 超静定体系：未知量数目多于独立平衡方程数目超静定体系：未知量数目多于独立平衡方程数目 P ABC FAFB FC P AB FBFA D 1m2m1m ABC F q E P A Q C B DE 求：求：A、C 的约束反力和的约束反力和DC 杆内力。杆内力。 解解: : (1)(1)取杆取杆DH 和圆盘和圆盘为研究对象为研究对象 0 FM B PFDC2 PF 1 045 1 raFPrsinaFDC o 0 FM A 02 1 raFarPaF

17、 C PFC （2 2）取图示部分为研究对象）取图示部分为研究对象 0X 0 1 FFAxPFAx 0Y0 PFF CAY 0 Ay F 已知已知: : a=2m，q=3kN/m 求：求：支座支座A、D的反力。的反力。 q A B FBy FBx 解解：（1 1）取取AB部分为研究对象部分为研究对象 0 FM B 0 2 1 Ay aFaqa FAy FAx kNFAy3 q A B C D a a a q A B C D FAy FAx FDy FDx kNFDx9 02 aqFF DxAY 0Y kNFDx6 0 DxAx FF 0X kNFAx6 022 AyAx aFaFaqa 0FM

18、 D （2 2）取整体为研究对象）取整体为研究对象 q A B C D a a a A BC P D r E 已知：已知：绳索绳索BC水平水平, ,ABl 。 求：求：绳索的拉力绳索的拉力T。 解解： (1)(1)取球为研究对象取球为研究对象 P D E FE FD 0Y sin P FPsinF DD 0 (2)(2)取取AB杆为研究对象杆为研究对象 ) 2 (r.ctgAD cos 2 sin2 2 l Pr T 0cos0,)( .AD-FT.AB.FM DA AD r tg) 2 ( A BC P D r E 已知：已知：OA= =R, , AB= = l , , 当当OA水平时，冲压

19、力为水平时，冲压力为F时，时， 不计物体自重与摩擦不计物体自重与摩擦, ,系统在图示位置平衡系统在图示位置平衡; ; 求求: :力偶矩力偶矩M 的大小，轴承的大小，轴承O处的约束力，连杆处的约束力，连杆AB 受力，受力， 冲头给导轨的侧压力。冲头给导轨的侧压力。 解解: :取冲头取冲头B, ,画受力图画受力图. . 0cos B FF 22 cos Rl FlF FB 22 tan Rl FR FN 0X 0Y 取轮取轮, ,画受力图画受力图. . 0sin AO FX 22 Rl FR X O 0cos AO FY FYO 0 O M0cosMRFA FRM 0X 0Y 已知已知: : F=

20、20kN,q=10kN/m,20mkNMl=1m; 求求: : A, ,B 处的约束力处的约束力. . 解解: : 取取CD 梁梁, ,画受力图画受力图. . 0 c M 0230cos 2 60sin 00 lF l qllFB FB=45.77kN 30 60 30 60 kNFAx89.32 030cos260sin 00 FqlFF BAy kNFAy32. 2 0 A M 0430cos360sin22 00 lFlFlqlMM BA kNM A 37.10 取整体取整体, ,画受力图画受力图. . 030sin60cos 00 FFF BAx 0Y 0X 30 60 30 60 r

21、 F 解解: : 取塔轮及重物取塔轮及重物C, ,画受力图画受力图. . 0 B M0RFPr 1 10 P R Pr F 0 20tan F Fr 1 0 64. 320tanPFFr 0 rBx FF 0X1 64, 3PFBx r F 0 2 FPPFBy 1 32PFBy 0Y 取轮取轮I I，画受力图。，画受力图。 已知已知: : DC=CE=CA=CB=2l ,R=2r =l ,450P, 各构件自重不计。各构件自重不计。 求求: : A, E 支座处约束力及支座处约束力及BD 杆受力。杆受力。 解解: : (1)(1)取整体取整体, ,画受力图。画受力图。 R r 0 E M 0

22、)2( 245sin245cos 00 rlP lFlF AA PFA 8 25 045cos 0 AEx FFPFEx 8 5 0X 045sin 0 AEy FPFPFEy 8 13 0Y 整体受力分析整体受力分析 (2)(2)取取DCE 杆杆, ,画受力图画受力图. . 0 C M 02245cos 0 lFlTlF ExDB PFDB 8 23 ( (拉拉) ) PT 2 1 已知：已知：q , a , M , 2 ,Mqa且 P 作用于销钉作用于销钉B上；上； 求：求：固定端固定端A 处的约束力和销钉处的约束力和销钉B 对对BC 杆杆, , 销钉销钉B 对对AB 杆的作用力。杆的作用

23、力。 解解:(1):(1)取取CD 杆，画受力图。杆，画受力图。 0 D M 0 2 Cx a Faqa 1 2 Cx Fqa (2)(2)取取BC杆（不含销钉杆（不含销钉B ) )，画受力图。，画受力图。 0 BCxCx FF 1 2 BCx Fqa 0 C M 0 BCy MFa 0X BCy Fqa 2 ,Mqa且 (3)(3)取销钉取销钉B ，画受力图。，画受力图。 0 ABxBCx FF 0X 1 2 ABx Fqa 1 2 ABx Fqa 0 AByBCy FFP 0Y ABy FPqa() ABy FPqa (4)(4)取取AB 杆（不含销钉杆（不含销钉B），画受力图。），画受力

24、图。 1 30 2 AxABx FqaF Ax Fqa 0 AyABy FF Ay FPqa 0 A M () A MPqa a 0X 0Y 033 2 1 aFaFaaqM AByABxA 已知：已知： P , a , ,各杆重不计；各杆重不计； 求：求：B 铰处约束反力。铰处约束反力。 解解: (1) 取整体，画受力图取整体，画受力图 0 C M20 By Fa 0 By F a B C D A G E F aa a F FCx F FCy F FBx F FBy a B C D A G E F aa a (2)(2)取取DEG杆，画受力图杆，画受力图 0 D Msin4520 E FaF

25、a sin452 E FF cos450 EDx FF cos452 DxE FFF 0X 0Y045sin 0 FFF DyE FFDy F D G E Dx F Dy F B a B C D A G E F aa a F FCx F FCy F FBx F FBy (2)(2)取取ADB 杆，画受力图杆，画受力图 0 A M20 BxDx FaFa Bx FF a B C D A G E F aa a F FCx F FCy F FBx F FBy B D A FDy FDx FBx FBy FAx FAy F D G E Dx F Dy F B 已知：已知： a , b , P, 各杆重

26、不计，各杆重不计， C, ,E 处光滑；处光滑； 求证：求证： AB杆始终受压，且大小为杆始终受压，且大小为P。 解解: (1) 取整体，画受力图。取整体，画受力图。 0 Ax F 0 E M()0 Ay PbxFb () Ay P Fbx b 0X 0 B M 0 C FbPx (2)(2)取取BC，画受力图。，画受力图。 C x FP b (3)(3)取销钉取销钉A，画受力图，画受力图 0X 0 AxADCx FF 0 ADCx F 0Y0 ABAyADCy FFF 0 AB xx FPPP bb 0 D M 0 22 ADCyC bb FF ADCyC x FFP b 对销钉对销钉A 0

27、 ABAyADCy FFF 0 AB xx FPPP bb ( AB FP 压） (4)(4)取取ADC 杆，画受力图。杆，画受力图。 0Y 已知：已知：荷载与尺寸如图；荷载与尺寸如图； 求：求：每根杆所受力。每根杆所受力。 解解: (1)取整体，画受力图。取整体，画受力图。 0 Ax F 0 B M 85*8 10*6 10*4 10*20 Ay F 20 Ay FkN 400 AyBy FF 20 By FkN 0X 0Y 取节点取节点 取节点取节点 取节点取节点 取节点取节点A A 0 0 iyAD ixAC FF FF (2)(2)求各杆内力求各杆内力 求：求： ，杆所受力。，杆所受力

28、。 解：解：求支座约束力求支座约束力 0 A M A y F By F 从从1 1，2 2，3 3杆处截取左边部分杆处截取左边部分 2 F 0 C M 1 F 3 F 已知：已知：P1, P2, P3, 尺寸如图。尺寸如图。 0X 0Y 0Y 取节点取节点 5 F 4 F 若再求若再求, ,杆受力杆受力 0Y 0X E q aa a a a AB C D FAy FAx FB 求：求：A、B 的约束反力的约束反力 和和BC 杆内力。杆内力。 C D q FDx FDy 解：解：(1) (1) 取整体为研究对象取整体为研究对象 05 . 1, 0)( 0, 0 0, 0 aqaaFM qaFFY

29、 FX AyB EAy Ax F F 045sin5 . 00)( aFaqaFM CD (2) (2) 取曲杆取曲杆CD为研究对象为研究对象 FC 500N D C E FDx FDy FEx FEy 500N 500N A H D C G E B 2m2m2m 2m2m2m FAx FAy FB 求：求：D、E 的约束反力。的约束反力。 解：解：(1)(1)取取CDE 为研究对象为研究对象 00 05000 0450020)( ExDx EyDy DyE FFX FFY FMF F N500,N1000 EyDy FF (2)(2)取整体为研究对象取整体为研究对象 06500250040)

30、( BA FMF F N1000 B F P PP P A BC D aaaa2a 2a P P F FBx F FBy F FCy F FCx B C By F F FAy P P Bx F F FAx A B 求：求：A、D的约束反力。的约束反力。 解：解：(1)(1)取取BC杆为研究对象杆为研究对象 ) 3(0, 0 )2(0, 0 ) 1 (02, 0)( CxBx CyBy ByC FFX PFFY aFPaMF F PFF CyBy 5 . 0 (2)(2)取取AB杆为研究对象杆为研究对象 0, 0 022, 0)( 0, 0 BxAx AyAxB ByAy FFX PaaFaFF

31、M PFFY PFPFPF BxAyAx ,5 . 1, 代入（代入（3 3）式解得：）式解得： PFCx C D PP A BC D aaaa2a 2a P FBx FBy FCy FCx B C PFPFF CxCyBy ,5 . 0 By F FAy P Bx F FAx A B (3)(3)取取CD杆为研究对象杆为研究对象 022, 0)( 0, 0 0, 0 aFaFMFM FFY FFX CyCxDD CyDy CxDx PaM PF PF D Dy Dx 5 . 0 Cx F Cy F By F FAy P Bx F FAx A B PP A B C FCy FCx FAx FA

32、y 0 FMB PP A BC D aaaa2a 2a 022 a.Fa.Fa .P AyAx 0 FMC 0423 a.Fa.Fa.Pa .P AyAx FAy FAx FAx=P FAy=1.5P 解解: : (1) (1)取取AB为研究对象为研究对象 (2)(2)取取ABC为研究对象为研究对象 (3)(3)取整体为研究对象取整体为研究对象 0 X0 DxAx FF 0 Y 0 DyAy FPPF 0 FMD 0356 DAy Ma.Pa.Pa.F PFDx P.FDy50 PaMD 已知已知：P8kN，m4kN.m 求：求：A、B 处的反力。处的反力。 解：解：取刚架取刚架AB 为研究对象为研究对象 P m A B FB FAx FAy 0X0 Ax FP kNPF