第三章 离散时间系统的变换域

1、 2 3 4 5 ( )( )* ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( ) Z y nx nh nY zX z H z Y z H z X z 变换 H(z) 6 0 00 0 ( ) ( )( )( )(3.2) ( ) M r rNM kr r krN k kr k k bz Y z Y za zX zbzH z X z a z n可见，可见，H(z)与与h(n)是一对是一对z变换变换 M r r N k k rnxbknya 00 )()( ( )Z ( )( ) n n H zh nh n z 7 n单位脉冲响应单位脉冲响应h(n) : ( )( )* ( )y nx nh n

2、 n差分方差分方程程: : M r r N k k rnxbknya 00 )()( ( )Z ( )( ) n n H zh nh n z 8 因果离散时间系统的差分方程因果离散时间系统的差分方程y(n)-3y(n-1)+2y(n- 2)= x(n)+2x(n-1)，求单位脉冲响应，求单位脉冲响应h(n)。 121 ( ) 3( )2( )( )2( )Y zz Y zz Y zX zz X z 展开为部分分式展开为部分分式 12 122 ( )122 ( ) ( )1 3232 Y zzzz H z X zzzzz 34 12 zz H z zz ( )( 3 4 2 ) ( ) n h

3、nu n h(n)为因果序列。对为因果序列。对H(z)取逆取逆z变换，得变换，得 9 1 1 1 1 (1) ( )(3.4) (1) M r r N k k c z H zA d z 10 n 若有若有d=，则分母多项式中有因子，则分母多项式中有因子(z-)，所，所 对应的单位脉冲响应序列形式为对应的单位脉冲响应序列形式为 n 若有若有 ，则，则D(z)有因子有因子 ， 所对应的单位脉冲响应序列形式为所对应的单位脉冲响应序列形式为 ，其，其 中中K，为常数，与零点的分布有关。为常数，与零点的分布有关。 ( ) n Ka u n j ea 22 2coszaza cos() ( ) n Kan

4、u n 11 12 n 若有若有d=，则分母多项式中有因子，则分母多项式中有因子(z-)， 所对应的单位脉冲响应序列形式为所对应的单位脉冲响应序列形式为 n 若有若有 ，则所对应的单位脉冲响应序列，则所对应的单位脉冲响应序列 形式为形式为 ，其中，其中i= 0，1，2，r-1。 ( ) in i K n a u n j ea cos() ( ) in i K n anu n 13 14 n一个因果稳定系统的系统函数一个因果稳定系统的系统函数H(z)的收敛域必须在某个圆的收敛域必须在某个圆 的外部，该圆经过的外部，该圆经过H(z)的离原点最远的极点，而且收敛域的离原点最远的极点，而且收敛域 必须

5、包含单位圆。必须包含单位圆。 15 1 12 1 1 2 ( ) 31 1 48 z H z zz 1 11 11 1() 22 ( ) 1111 (1)(1)()() 4242 zz z H z zzzz 16 n 如果收敛域是极点如果收敛域是极点-0.5所在的圆的外部区域，收敛域所在的圆的外部区域，收敛域 包含包含点，有点，有 ，因此系统是因果的。系统函数，因此系统是因果的。系统函数 的收敛域为的收敛域为0.5|z|+ ，而且包含单位圆，所以对应系，而且包含单位圆，所以对应系 统是稳定的。统是稳定的。 n 如果收敛域是极点如果收敛域是极点-0.25所在的圆的内部区域，所在的圆的内部区域，

6、有有 ，因此系统是逆因果的，收敛域为，因此系统是逆因果的，收敛域为0|z| 0.25。收敛域不包含单位圆，所以对应系统不是稳定的。收敛域不包含单位圆，所以对应系统不是稳定的。 n 如果收敛域是极点如果收敛域是极点-0.25和和-0.5所在的两个圆之间的环所在的两个圆之间的环 域，即域，即0.25|z|0.5，收敛域不包含，收敛域不包含点，单位圆也没有点，单位圆也没有 位于收敛域内，所以对应系统是非因果且不稳定的。位于收敛域内，所以对应系统是非因果且不稳定的。 lim( )1 z H z 0 lim( )0 z H z 17 18 j ()jj ( )( )( )( )ee(e )(3.7) n

7、 kn k y nh nx nh kH j-j (e )( )e(3.8) k k Hh k 19 j -j j 1 e -j 1 (1e) (e )( )|(3.9) (1e) M r r N z k k c HH zA d 20 jjj RI (e )(e )j(e )HHH j jjjarg(e) (e ) |(e )|e H HH j2j2j RI j j I j R |(e )|(e )(e ) (e ) arg(e )=arg (e ) HHH H H H 的幅度响应和相位响应的幅度响应和相位响应 21 00 j-jj-j 0 ( )cos()e eee 22 nn AA x nA

8、n 00 jjj 1( ) (e)e e 2 n A y nH 00 -j-j-j 2( ) (e)ee 2 n A y nH 0000 0 jj-j-jj-j j 0 ( )(e) e e(e) ee 2 (e)| cos() nn A y nHH A Hn 22 n根据式根据式(3.9)得知，系统的频率响应完全由得知，系统的频率响应完全由H(z)的零、的零、 极点确定。由式极点确定。由式(3.9) 得系统的频率响应得系统的频率响应 j jj() 1 j 1 (e) (e)e(3.14) (e) M r NM r N k k c HA d j e k kk BB r j e rr AA 23

9、 r j( ) jj ()jj ( ) 1 j( ) 1 e (e )e|(e )| e(3.15) e k M r N M r N k k A HAH B 11 ( )() ( )( )(3.17) MN rk rk NM j 1 1 |(e )|(3.16) M r r N k k A HA B 24 25 26 27 ( )1 N H zz 1 ( ) 1 N N N z H zz z 28 1 1 ( ) 1 ap za Hz az （3.18） -jj j-j -j-j e1e (e )e 1e1e ap aa H aa （3.19） 12 012 12 12 0 ( ) 1 N N

10、 i NNNi iN apN N i N i i a z za za za Hz a za za z a z (3.21） 111 111 11 ()() ( ) 1(1)(1) kr MM kkr ap ii rkk zezezd Hz d ze ze z （3.20） 29 2 2 24 ( ) 11 24 zz H z zz 2 2 24 ( )4 421 zz H z zz jj 33 1,21,2 131 1j 32e,je 442 cd j 22jj j 22jj e jj jj 24e2e4 (e )44 4214e2e1 e2 4e(5cos2)j3sin 44 4e2 e(5cos2)j3sin z zz H zz j 3sin |(e )| 4,( )2arctan 5cos2 H 30 31 1 01 1 01 ( ) ( )(3.29) ( ) M M N N bb zb zB z H z A zaa za z 32 1 12 21.5 ( ) 10.5 z H z zz 33 34 ,03 ( ) 0, nn x n 其它 1 12 123 2( ) ( )( )( )(20.25) 1 0.750.250.1875( ) zB z Y zH z X zzz zzzA z 12 (