第二章 标量衍射理论

1、第二章第二章 标量衍射理论标量衍射理论 光波是电磁波，其传播过程满足电磁波波动方程。光波是电磁波，其传播过程满足电磁波波动方程。 当遇到障碍物时，光波会发生衍射。当遇到障碍物时，光波会发生衍射。 何何为衍射为衍射 索末菲定义：不能用反射或折射来解释的光线对直 线光路的任何偏离。衍射是光传播的普遍属性，是 光的波动性的表现。 惠更斯菲涅尔定义：光波在传播过程中波面受到 限制，使自由完整的波面产生破缺的现象称为衍射 现代定义：光波在传播过程中不论任何原因导致波 前的复振幅分布（包括振幅分布和位相分布）的改 变，使自由传播光场变为衍射光场的现象，都称为 衍射。 衍射问题的解决方式：衍射问题的解决方式

2、： 1 1，电磁波是矢量波，考虑光波的矢量性，严格，电磁波是矢量波，考虑光波的矢量性，严格 电磁场衍射理论必须用矢量波方法求解。数学上很复电磁场衍射理论必须用矢量波方法求解。数学上很复 杂，但是在某些问题杂，但是在某些问题 （如研究高分辨率光栅时）必（如研究高分辨率光栅时）必 须要用这个方法。须要用这个方法。 2 2，标量的方法（基尔霍夫标量衍射理论），一，标量的方法（基尔霍夫标量衍射理论），一 定条件下，可以不考虑电磁场矢量各个分量之间的联定条件下，可以不考虑电磁场矢量各个分量之间的联 系，电磁波矢量方程可以写为分量方程（标量方程），系，电磁波矢量方程可以写为分量方程（标量方程）， 把光作为

3、标量来处理，只考虑电磁场一个分量的复振把光作为标量来处理，只考虑电磁场一个分量的复振 幅。幅。 标量衍射理论条件：标量衍射理论条件： （1 1）衍射孔径比光波长大得多）衍射孔径比光波长大得多; ; （2 2）观察点距离衍射孔足够的远。）观察点距离衍射孔足够的远。 2.12.1 历史引言历史引言 a a. .”衍射衍射”现象现象 最早研究衍射现象的是格里马第最早研究衍射现象的是格里马第( (F.H.Grimaldi)F.H.Grimaldi) 光是能够作波浪式运动的流体，不同颜色代表不同光是能够作波浪式运动的流体，不同颜色代表不同 频率频率 16551655年发表论文年发表论文 b b. .”衍

4、射衍射”的最初定义（索莫菲的最初定义（索莫菲 A.Sommerfeld)A.Sommerfeld) 不能用反射或折射定律来解释的，光线不能用反射或折射定律来解释的，光线 对直线光路的任意偏离现象，称为对直线光路的任意偏离现象，称为衍射衍射。 d d.18.18世纪牛顿在科学领域处于权威地位，由世纪牛顿在科学领域处于权威地位，由 于他摒弃了光的波动理论，使得这一理论停于他摒弃了光的波动理论，使得这一理论停 滞了近一个世纪。滞了近一个世纪。 c c. .惠更斯惠更斯( (F.M.Huygens)F.M.Huygens)子波源假设理论子波源假设理论 -波动说的第一位倡导者波动说的第一位倡导者 波前上

5、每一点起着一个次级波源波前上每一点起着一个次级波源( (子波源子波源) )的的 作用，每一个次级波源发出次级球面波作用，每一个次级波源发出次级球面波( (子子 波波) )，它向着四面八方扩展，所有这些次级波，它向着四面八方扩展，所有这些次级波 的包络面便是新的波前。的包络面便是新的波前。 可解释可解释”衍射衍射”现象，但无法定量分析现象，但无法定量分析 e e. 1801. 1801年年, ,杨氏干涉原理杨氏干涉原理( (T.Young)T.Young)证实了证实了 光的波动性光的波动性振幅叠加振幅叠加 f f.1818.1818年，菲涅耳年，菲涅耳( (A.J.Fresnel)A.J.Fre

6、snel)提出惠更提出惠更 斯斯- -菲涅耳原理。菲涅耳原理。 可可定性定性分析衍射现象，提出了定量初步模型。分析衍射现象，提出了定量初步模型。 g g. .基尔霍夫基尔霍夫( (G.Kirchhoff)G.Kirchhoff)提出了基尔霍夫提出了基尔霍夫 衍射理论，完善了惠更斯衍射理论，完善了惠更斯- -菲涅耳理论。菲涅耳理论。 可可定性、定量分析定性、定量分析衍射现象。衍射现象。 h h. .索末菲利用格林函数理论修正了基尔霍夫索末菲利用格林函数理论修正了基尔霍夫 衍射理论，成为瑞利衍射理论，成为瑞利- -索末菲理论索末菲理论 2.2 从矢量理论到标量理论 光的电磁理论 0 0 E H H

7、 E t E H t 麦克斯韦方程组 介质中无自由电荷 符号： E 电场强度 H 磁场强度 直角坐标系分量(,) xyz EEE 直角坐标系分量(,) xyz HHH ,E Hx y zt 都是位置（ , , ）和时间 的函数 = , , ijk xyz i j kx, y, z 符号 和 代表矢量的叉乘和点乘 为方向的单位矢量 根据矢量理论 2 ()()EEE 若介质是线性、各向同性、均匀、无色散介质是线性、各向同性、均匀、无色散，则 22 2 22 22 2 22 0 0 nE E ct nH H ct 其中 n 为介质折射率，c 为真空中的光速 0 00 1 ,nc 分量Ex , Ey

8、, Ez , Hx , Hy, Hz 的标量波动方程 22 2 22 0 x x En E ct 用一个标量波动方程慨括 和 的各分量的行为E H 22 2 22 ( , , , ) ( , , , )0 nu x y z t u x y z t ct u与位置和时间有关 矢量理论到标量理论 前提条件：介质同时具有线性、各向同性、均匀性 且无色散 结论：电场和磁场的所有分量的行为完全相同，可 由单一的一个标量波动方程描述，标量理论可以完 全准确的代替矢量理论 若介质不具备上述前提，则用标量理论来表征矢量 理论就会引入误差 1678年，惠更斯为解释波的传播提出子波的假设，认 为波面上每一点都可以

9、作为次级子波的波源，后一时刻的 波阵面（相位相同的点组成的平面）波阵面（相位相同的点组成的平面）则可看作是这些子波 的包络面 1818年，菲涅耳引入干涉概念对惠更斯原理进行了补 充，认为子波源应当是相干的，后空间光场是子波干涉的 结果。 惠更斯作图法加上干涉原理，就称为惠更斯-菲涅尔 原理 ds r e KPUCQU jkr )()()( 0 2.3 基尔霍夫基尔霍夫标量标量衍射理论衍射理论 2.3.1 惠更斯-菲涅耳原理与基尔霍夫衍射公式 1、 惠更斯-菲涅耳原理 p p S S * * Q Q dU(Q)dU(Q) r p p dSdS S(S(波前波前) ) 设初相为零设初相为零 n n

10、 主要问题： 1 该理论缺乏严格的理论依据。 2常数c中应包含exp(-j/2)因子，惠更斯-菲 涅尔原理无法解释。 3K()的具体函数形式难以确定。 衍射理论所要解决的问题 光场中任一点光场中任一点Q的复振幅的复振幅 能否用光场中其它各点的复能否用光场中其它各点的复 振幅表示出来？振幅表示出来？ 例如能否由如图孔径平面例如能否由如图孔径平面 上的场分布计算孔径后面任上的场分布计算孔径后面任 一点一点Q处的复振幅？这是一处的复振幅？这是一 个根据边界值求解波动方程个根据边界值求解波动方程 的问题。的问题。 Q 入射光入射光 基尔霍夫利用数学工具格林定理，通过基尔霍夫利用数学工具格林定理，通过

11、假定衍射屏的边界条件，求解波动方程，假定衍射屏的边界条件，求解波动方程， 导出了更严格的衍射公式导出了更严格的衍射公式 ，从而把惠更，从而把惠更 斯斯菲涅耳原理置于更为可靠的波动理论菲涅耳原理置于更为可靠的波动理论 基础上基础上 。 2、 基尔霍夫衍射理论 基尔霍夫衍射理论基尔霍夫衍射公式 Q P n P0 r0 r P0点的单色点光源点的单色点光源 P为孔径平面上任一点，为孔径平面上任一点，Q为孔径为孔径 后方的观察点。后方的观察点。 r和和r0分别是分别是Q和和P0到到P的距离，二的距离，二 者均比波长大得多。者均比波长大得多。 n表示衍射屏面法线的正方向。表示衍射屏面法线的正方向。 在单

12、色点光源照明下，平面孔在单色点光源照明下，平面孔 径后方光场中任一点径后方光场中任一点Q的复振幅为的复振幅为 0 00 0 cos( , )-cos( , )1 ( ) 2 jkrjkr a en rn re U Qds jrr 基尔霍夫衍射公式 孔径平面上的复振幅分布是球面波，有 代入基尔霍夫衍射公式，有 其中： 若 并代入衍射公式，该公式与惠更斯-菲涅尔 衍射公式完全相同。 0 0 0 0 () jkr a UPe r 0 1 ( )( )( ) jkr e U QUP KdS jr 1 c j 0 cos( , )-cos( ,) ( ) 2 n rn r K 基尔霍夫衍射公式说明： 上

13、述基尔霍夫衍射公式仅仅是单个点光源发射上述基尔霍夫衍射公式仅仅是单个点光源发射 的球面波照明孔径的情况作出的讨论，但衍射公式的球面波照明孔径的情况作出的讨论，但衍射公式 却适用于更普遍的却适用于更普遍的任意单色光波照明孔径任意单色光波照明孔径的情况。的情况。 因为任意复杂的光波可分解成简单的球面波的因为任意复杂的光波可分解成简单的球面波的 线性组合，波动方程的线性性质允许对每一单个球线性组合，波动方程的线性性质允许对每一单个球 面波分别应用上述原理，把所有点源在面波分别应用上述原理，把所有点源在Q点的贡献点的贡献 叠加。叠加。 因此，因此， 基尔霍夫衍射公式中基尔霍夫衍射公式中 可以理解为在可

14、以理解为在 任意单色光照明下在孔径平面产生的光场分布任意单色光照明下在孔径平面产生的光场分布 0 U (P) 基尔霍夫衍射公式 根据基尔霍夫对平面屏幕假设的边界条件，孔径外根据基尔霍夫对平面屏幕假设的边界条件，孔径外 的阴影区内的阴影区内 ，则衍射公式的积分限可以扩展，则衍射公式的积分限可以扩展 到无穷，从而有：到无穷，从而有： 这里省略常数项这里省略常数项c。 0 ()0UP 0 1 ()()() jkr e U QUP KdS jr 衍射与障碍物衍射与障碍物 不论以什么方式不论以什么方式改变光波波面改变光波波面 （1）限制波面范围限制波面范围 （2）振幅以一定分布衰振幅以一定分布衰 减减，

15、（，（3）以一定的空间分布使复振幅）以一定的空间分布使复振幅相位延相位延 迟迟，（，（4）相位与振幅相位与振幅两者兼而变化，都会引两者兼而变化，都会引 起衍射，均称为衍射。起衍射，均称为衍射。 所以障碍物的概念，除去不透明屏上有所以障碍物的概念，除去不透明屏上有 开孔这种情况以外，还包含具有一定复振幅开孔这种情况以外，还包含具有一定复振幅 的透明片。把能引起衍射的障碍物统称为的透明片。把能引起衍射的障碍物统称为衍衍 射屏。射屏。 衍射屏处光场衍射屏处光场 描写衍射屏自身宏观光学性质的物理量描写衍射屏自身宏观光学性质的物理量复振幅复振幅 透过率：透过率： ：衍射屏前表面的复振幅或照射到衍射屏上的

16、：衍射屏前表面的复振幅或照射到衍射屏上的 光场的复振幅；光场的复振幅； ：是衍射屏后表面的复振幅。：是衍射屏后表面的复振幅。 若衍射屏是具有开孔的不透明屏，则公式中的若衍射屏是具有开孔的不透明屏，则公式中的 既可理解为衍射屏前表面的复振幅，也可理解既可理解为衍射屏前表面的复振幅，也可理解 为衍射屏后表面的复振幅，因为积分范围为为衍射屏后表面的复振幅，因为积分范围为。 若将衍射过程看作衍射屏后表面光振动若将衍射过程看作衍射屏后表面光振动到观察面到观察面 的传播，则的传播，则 ( ) ( ) ( ) t i U P P U P t () i UP () t UP 0 ()UP 0( ) ( )(

17、)( ) ti UPU PU Pt P 2.3.2 基尔霍夫衍射与叠加积分 基尔霍夫衍射公式基尔霍夫衍射公式 令令 有有 1 ( ,)( ) jkr e P QK jr h 0 1 ( )( )( ) jkr e U QUP KdS jr 0 ( )( ) ( ,)U QUPP Q dS h 物理意义 衍射屏面上任一点P ，其复振幅为 P点处的小面元dS对观察点Q的贡献 表示在P点有一个单位脉冲即 时， 在观察点Q造成的复振幅分布，称为脉冲响应或点扩 散函数。 由上面衍射公式可知，观察点Q的复振幅，是上所 有面元的光振动在Q点引起的复振幅的相干叠加。 如果把衍射过程看作是一种变换，衍射公式便是

18、将函 数 变换成 的变换式。 按照系统的观点，衍射过程或传播过程也可以等效为 一种线性系统的线性变换， 代表了这个系统 的全部特性 0( ) UP 0( ) UP 0 ( )( ) ( ,)dU QUPP Q dsh ( ,)P Qh 0 ( )( ) ( ,)U QUPP Q dS h 0( ) 1UP dS ( )U Q ( ,)P Qh ( ,)P Qh 光波传播的线性性质不仅存在于单光波传播的线性性质不仅存在于单 色光波在自由空间中的传播，同样色光波在自由空间中的传播，同样 存在于孔径和观察平面之间是非均存在于孔径和观察平面之间是非均 匀媒质的情况，如两者之间存在有匀媒质的情况，如两者

19、之间存在有 光学系统，则线性系统的脉冲响应光学系统，则线性系统的脉冲响应 函数函数h（P，Q）有不同的形式而已）有不同的形式而已 2.3.3 相干光场在自由空间传播的平移不变性 对于近轴有： 1K 2 0 2 0 2 yyxxzr r e K j yxyxh jkr 1 ,;, 00 则： zj yyxxzjk 2 0 2 0 2 exp 00 ,yyxxh 故有： 000000 , ( , )( , ) U x yU xyh xxyydx dy U x yh x y 00, y xU 00 ,yyxxh 即：观察平面上光场的复振幅分布，等于孔 径平面上透射光场的复振幅 与脉冲响应 的卷积 2

20、.1.6 因此，衍射系统可以等效于一个线 性空不变系统，故可用线性系统理论 分析衍射现象， 这一结论是傅里叶变换与光学互相 结合的纽带之一。 2.3.4 相干光场在自由空间传播的脉冲响应的近似表达式 2 1 2 0 2 0 2 0 2 0 2 1 z yy z xx zyyxxzr 当 时1),cos(rn 2 0 z xx 和 2 0 z yy 都是小量 4 2 2 0 2 0 2 2 0 2 0 82 1 z yyxx z yyxx zr 2 0 2 0 2 0 2 0 2 2 1 2 1 1 z yy z xx zyyxxzr 菲涅耳近似或傍轴近似菲涅耳近似或傍轴近似 2 0 2 000

21、 2 exp )exp( ),(yyxx z k j zj jkz yyxxh 脉冲响应可表示为脉冲响应可表示为： 000000 ,U x yU xyh xxyydx dy 代入 00 2 0 2 0000 2 exp),( )exp( ),(dydxyyxx z k jyxU jkz jkz yxU 菲涅耳衍射 如果在菲涅耳衍射的基础上进一步限定 的线度远远小于传 播距离z，以至于 小到可以忽略不计；而观察范围的线度 与z相比尽管很小，但还未小到可以略去 的程度， z yx 2 )( 2 0 2 0 z yx 2 )( 22 2 0 2 0 2 0 2 0 2 2 1 2 1 1 z yy

22、z xx zyyxxzr 可以进一步简化得出： z yyxx z yx zr 00 22 2 这一近似称为夫琅禾费近似或远场近似夫琅禾费近似或远场近似，在这一条 件下，脉冲响应可进一步简化为： 00 22 00 exp)( 2 exp )exp( ),;,(yyxx z k jyx z k j zj jkz yxyxh 不再具有空间平移不变性。不再具有空间平移不变性。 2.4 2.4 衍射的角谱理论衍射的角谱理论 2.4.1 单色平面波与本征函数 如果不考虑夫琅禾费近似，则相干光场在给定的 二平面间的传播过程就是通过一个二维线性空不 变系统。在1.6.4节中，形如 的函数应该是这种系统的本征函

23、数，在1.7节中 我们知道 的函数 表示振幅为1的平面波在xy平面上形成的复振幅 分布。 空间频率分量 表示单色 平面波的传播方向。 )(2expyxj )(2expyxj cos/,cos/ 2.2.22.2.2角谱的传播角谱的传播 衍射角谱分析方法衍射角谱分析方法 0 x 0 y x y z z 000 ( ,0)U x y ( , , )U x y z 0 coscos (,0)A coscos (, )Az 000000 coscoscoscoscoscos ( , ,0)(,0)exp 2 ()U x yAjxy dd coscoscoscoscoscos ( , , )(, )ex

24、p 2 ()U x y zAzjxy dd 000000 (,0)( , ,0)exp 2 ()UxyAjxyd d ( , , )( , , )exp 2 ()U x y zAzjxy d d 令： coscos , 如果能够找到 和的关 0 coscos (,0)A coscos (, )Az 系，就知道了每一平面波的分量在传播过程中振 幅和位相发生的变化，自然也就可以确定整个光 场由孔径平面传播到观察平面所发生的变化。 由于在所有无源点上， 必须满足亥 姆霍玆方程 ),(zyxU 22 0kU 将上式代入亥姆霍玆方程： coscoscoscoscoscos ( , , )(, )exp

25、2 ()U x y zAzjxy dd 2 222 2 coscos2coscos (, ) () 1 coscos (, )0 d AzAz dz coscos (, )Az 在空域坐标系中仅是z的函数， 解这个二阶齐次偏微分方程，得到这个方程的基本解为： 22 coscos (, ) coscos (,)exp(1 coscos) Az cjkz 式中 由边界条件决定，在 处，即为孔径平面，角谱是 。因此 ) cos , cos ( c 0z 0 coscos (,0)A 0 coscoscoscos (,)(,0)cA 22 0 coscos (, ) coscos (,0)exp(1

26、coscos) Az Ajkz 上式表明，我们只要知道 平面上光场 的角谱就可以求出观察面的角谱，然后通过 傅里叶逆变换可以求出观察面的复振幅分布。 0z ),(H coscoscoscoscoscos ( , , )(, )exp 2 ()U x y zAzjxy dd 1exp ),( ),( , 22 0 jkz A A H ),(),(),( 0 HAA 相移 当 时，1coscos 22 式中 对应这些传播方向波动分量称为倏逝波倏逝波 平方根是虚数 )exp(),(),( 0 zAA 1coscos 22 k 该系统的传递函数是低通滤波器，截止频率 为 。在频率平面上，这个滤波器的半

27、径 为 的圆孔。 1 1 这一结论告诉我们，对于孔径中比波长还小的 精细结构，或者空间频率高于 的信息， 在单色平面波照明下不能沿 方向向前传播。 1 z 22 22 2 1 exp1 ( , ) 0 jkz H 其他 基尔霍夫理论和角谱理论的比较 球面子波干涉叠加的衍 射理论 衍射的平面波理论 线性不变系统 空域 频域 孔径平面上的光场看做点 源的集合 观察平面上的光场等于球 面子波的相干叠加 球面子波在观察平面上 复 振幅分布就是系统的脉冲 响应 孔径平面光场分布看成许多 不同方向平面波的线性组合 观察平面上的场分布仍然等 于这些平面波分量的相干叠 加。但每个平面波分量引入 一个相移 相移

28、的大小决定于系统的传 递函数 2.2.3 孔径对角谱的影响 ),(),(),( 0000000 yxtyxUyxU i ），（），（），（ coscoscoscoscoscos i0 TAA 000000 ) coscos (2exp),( coscos dydxyxjyxt T ），（ 用单位振幅的平面波垂直照射衍射屏时 ），（），（ coscoscoscos 0 A 因而 ），（ ），（），（），（ coscos coscoscoscoscoscos T TA 通过衍射屏后，由 函数所表征的入射光场的角谱变成 了孔径函数的傅里叶变换，显然角谱分量大大增加了。因 此，从空域看，孔径的作用限制

29、了入射波面的大小，从频 域看则是展宽了入射光场的角谱 2.3.2.3. 菲涅耳衍射和夫琅禾费衍射菲涅耳衍射和夫琅禾费衍射 2.3.1菲涅耳衍射 22 000000 1 ,exp,exp 2 k U x yjkzU x yjx xy ydx dy j zz 将 r 展开： 2 1 2 0 2 0 2 yyxxzr 2 1 2 0 2 0 1 z yy z xx z 2 22 22 00 00 2 11 1 28 xxyyxxyy z zzz 令略去第三项-菲涅耳近似 2 0 2 0 2 1 2 1 1 z yy z xx zr 得菲涅耳公式为: 22 000000 1 ,exp,exp 2 k

30、U x yjkzU x yjx xy ydx dy j zz 在指数项中，被略去的第三项不应引起明显的 位相误差，即 2 8 3 2 2 0 2 0 z yyxx k 移项得： 2 2 0 2 0 3 8 1 yyxxz （2.3.1） 2.3.2 000000 ,U x yU xyh xxyydx dy 上式称为菲涅耳衍射成立的充分条件，但不是必要条件。 取菲涅耳近似的目的是要能够用公式2.3.1来等效以 下积分公式 实际上，当z较小时，上述条件虽不满足，也能观察到 菲涅耳衍射 从角谱理论出发，对描述光波传播的传递函 数H做出近似，导出菲涅耳衍射公式 ) cos , cos () cos ,

31、 cos () cos , cos ( 0 HAA 观察面上和孔径面上的光扰动关系式 22 coscos1exp,jkzH 传递函数 2.3.5 2.4.7 当 时，可对位相因子中的根 式作二项式展开，即 1coscos 22 222 22 2 1 22 )cos(cos 8 1 )cos(cos 2 1 1)cos(cos1 若上式中第三项所贡献的位相远小于 ，则上 式中第三项都可以忽略不计，即z 应满足 2 1)cos(cos 8 2 max 22 z 2.5.7 z yy z xx 00 cos,cos 代入2.5.7 2 2 0 2 0 3 8 1 yyxxz 傍轴近似下：傍轴近似下：

32、 在菲涅耳衍射区内 2222 coscos 2 1 1coscos1 22 coscos1exp,jkzH 代入 )cos(cos 2 exp exp cos , cos 22 kz j jkzH 由于 ，传递函数也可表示为 cos,cos )(expexp, 22 zjjkzH ) cos , cos () cos , cos () cos , cos ( 0 HAA 对下式作逆傅里叶变换 000000 ,U x yU xyh xxyydx dy 22 00 00 22 00 (,)exp()exp() exp2 ()() exp() exp 2 h xxyyjkzjz jxxyyd d j

33、kzk jxxyy j zz 上式积分过程使用到高斯积分公式：上式积分过程使用到高斯积分公式： 2 ax edx a 2.3.3 2.3.3 菲涅耳衍射与傅里叶变换的关系菲涅耳衍射与傅里叶变换的关系 一般情况：一般情况： 22 000000 1 ,exp,exp 2 k U x yjkzU xyjxxyydx dy j zz 指数项展开得 00 2 0 2 0 22 2 0 2 0 2yyxxyxyxyyxx )( 2 exp),()exp( 1 22 yx z k jyxUjkz zj 代入上式整理得： 22 2 expexp 1 ,yx z k jjkz zj yxU 22 0000000

34、0 2 ,expexp 2 jkj U xyxyxxyydx dy zz 22 2 expexp 1 yx z jk jkz zj 22 0000 ,exp 2 jk U xyxy z -菲涅尔衍射公式的傅里叶变换表达形式 尤其当照明衍射屏是汇聚球面波时， 中将包含关于 的二次位相因子， 在一定条件下可以与 相消。这时的菲涅耳衍射计算变得比较简 单。 ),( 000 yxU ) 2 exp( 0 2 0 2 z yx jk 00, y x 频率取离散值的无穷多个平面波的叠加 现讨论与物平面相距为z的观察平面上的光 场分布，这是一个菲涅耳衍射问题。对这个 问题从频域研究比从空域研究更为方便 )(

35、)( 0 d n cG n n 由菲涅耳衍射传递函数的表达式得： )exp()exp()( 2 zjikzH 观察平面上得到的场分布的频谱为： )exp()exp()( )exp()exp()( )()( 2 2 0 ）（ ）（ d n zjikz d n c zjikz d n c HGG n n n n 000000 ( , ) (,)(,) (,)f x yxxyyf xyxxyy 当z满足条件 )3 , 2 , 1( 2 2 m md z 则有 1)exp( 2 ）（ d n zj 在这种情况下 )exp()()(ikz d n cG n n 对上式作傅里叶逆变换得到观察平面上的场分

36、布为 )exp()()( 000 jkzxgxg 其强度分布与物体相同，即 2 00 2 00 )()()(xgxgxI 于是在 的整数倍距离上，可观 察到物体的像。 成为泰伯距离 2 2dzT T z 2.5.3 夫琅和费衍射公式夫琅和费衍射公式 000000 ,dydxyyxxhyxUyxU 式中: jkr e rj yyxxh 1 , 00 r 的简化： 2 1 2 0 2 0 2 yyxxzr 2 1 2 0 2 0 1 z yy z xx z 2 22 22 00 00 2 11 1 28 xxyyxxyy zc zzz 22 00 11 1 22 xxyy z zz 2222 00

37、00 1 2() 2 zxyxxyyxy z 令略去第三项- 菲涅耳近似 2222 0000 1 2() 2 zxyxxyyxy z 22 00 2 xxyyxy z zz -夫琅和费近似 代入U(x,y)式得夫琅和费衍射公式为： 22 1 ( , )expexp 2 k U x yjkzjxy jzz 000000 2 ,exp j U xyxxyydx dy z -夫琅和费衍射公式 夫琅和费近似条件及范围 令 2 2 )(2 2 0 2 0 z yx )( 2 1 2 0 2 0 yxz 2.5.4 简单孔径的夫琅和费衍射（举例）简单孔径的夫琅和费衍射（举例） 求几个简单孔径的夫琅和费衍射

38、(单位振幅的平面波照明：透过 孔径的场等于振幅透过率) 矩形孔的衍射 矩形孔的复振幅透过率为： b y rect a x rectyxt 00 00, 得： 2 00 0000 , xy jf xf yxy t xyrectrectedx dy ab 0 0 0 22 0000 y x yx jfja f ba xxyy arectedbrected aabb 11 22 2 2 11 22 11 y x jbf y ja f x aedx bedy 1 2 2 12 2 x jaf x x a e ja f cossincossin 2 xx x a a fja fa fja f jaf c

39、oscossinsin 2 x a afafjafjaf jaf 2 sin 2 x x a ja f ja f sin sin x x x aa f ac a f a f sinsin xy ac afbc bf 根据夫琅和费衍射公式得： 22 00 1 ,exp()exp(,) 2 k U x yjkzjxyt xy j zz 00 ,t xy 22 1 exp()expsinsin 2 xy k jkzjxyabc a fc b f j zz z by c z ax cyx z k jjkz zj ab sinsin 2 exp)exp( 22 得衍射平面的光强度为： 2 22 ,sin

40、sin abaxby I x ycc zzz 光强在x方向的分布如图 中央（0级）最大光强为： 当 0, 0yx时， sin (0) 1c 有 2 0 , 0 z ab I 由 csin函数的定义知： sin ( )0c x 1x 2 3当 ， 时， 因此： 当 1 z xa 时， IU, 有零值，故得中央亮斑的宽度为： a z x 2 b z y 2 单缝的衍射 单缝的复幅透过率为： 0 0 x t xrect a 得： 0 sin ax t xac z 2 0 1 exp()exp() 2 k U xjkzjxt x j zz z ax cax z k jjkz zj sin 2 exp)

41、exp( 1 2 得强度分布为： 2 22 sin0 sin aaxax I xcIc zzz 2.贝塞尔函数的性质 )()( 1 0 0 JdJ （1） )()cos(exp 2 1 0 2 0 Jdj （2） )( )( 0 1 J d Jd （3） 圆孔衍射 圆孔的复振透过率为： 其它 1 0 1 0 0 0 a r a r circrt 圆对称，其付氏变换用傅里叶-贝塞尔变换表示 由（1） 00000 0 2( )2circ rcirc r r Jrdr 1 0000 0 212r Jrdr 2 0 0 2 22 rdr Jr rdrJr 2 0 0 2 2 1 22 2 1 1 2

42、J 2 1 J （2）由 2 r r ga G a a 得： 122 0 2Jar circacirc aa aa 1122 222 2 22 JaJa aa aa 故得圆孔夫琅和费衍射为： )( 2 exp)exp( 1 )( 0 2 rtr z k jjkz zj rU 122 22/1 exp()exp 22/ r z Jarzk jkzjra j zzarz zkar zkarJ r z jk jkz zj ka / /2 2 exp)exp( 2 12 2 强度分布为： 2 1 2 2 / /2 2 zkar zkarJ z ka rI 对于一阶贝塞尔函数有： 当0r时， 1 0 /

43、1 lim /2 r Jkar z kar z 因此，衍射斑中心的强度分布为（光强） 22 2 22 1 02 222 kaka I zz 故得： 1 2/ 0 / Jkar z I rI kar z 2.6 2.6 透镜的傅里叶变换性质透镜的傅里叶变换性质 u要在衍射屏后面的自由空间观察夫琅禾费衍射，要在衍射屏后面的自由空间观察夫琅禾费衍射， 其条件相当苛刻，要想近距离观察夫琅禾费衍射，其条件相当苛刻，要想近距离观察夫琅禾费衍射， 是借助会聚透镜实现的。是借助会聚透镜实现的。 u研究光场复振幅经过透镜后的横向光场分布（与研究光场复振幅经过透镜后的横向光场分布（与 普通光学中的区别）普通光学中

44、的区别） u在单位振幅的平面波垂直照射衍射屏的情况下，在单位振幅的平面波垂直照射衍射屏的情况下， 夫琅禾费衍射就是屏函数的傅里叶变换。对透射夫琅禾费衍射就是屏函数的傅里叶变换。对透射 物体进行傅里叶变换运算的物理手段是实现它的物体进行傅里叶变换运算的物理手段是实现它的 夫琅禾费衍射（即：透射物体后面加会聚透镜）。夫琅禾费衍射（即：透射物体后面加会聚透镜）。 2.6.3 2.6.3 透镜的一般变换特性透镜的一般变换特性 2.6.1 2.6.1 透镜的相位变换作用透镜的相位变换作用 2.6.2 2.6.2 透镜的透镜的FTFT特性特性 本节包含：本节包含： 透镜：透镜：光密介质（玻璃、塑料等）光密

45、介质（玻璃、塑料等），v v 0 凸凸透镜，指数位相因子显示为透镜，指数位相因子显示为负负， 为为会聚会聚球球 面波，面波，向透镜后方向透镜后方 f 处的焦点处的焦点F F会聚的球面波。会聚的球面波。 f 0 凹凹透镜，指数位相因子显示为透镜，指数位相因子显示为正正， 为为发散发散 球面波，球面波，由透镜前方由透镜前方 处的虚焦点发散球面波。处的虚焦点发散球面波。f 发散透镜发散透镜 f 0 f 22 1 ( , )exp() 2 k Ux yjxy f 1 ( , )Ux y 1 ( , )Ux y 球面透镜将平面波变换成球面波（波前经过透镜发生变化）球面透镜将平面波变换成球面波（波前经过透

46、镜发生变化）, 在在 很大程度上依赖于傍轴近似。很大程度上依赖于傍轴近似。 ),(yxp 表示孔径函数 ， ， 0 1 ),(yxp 透镜孔径内 其它 )( 2 -exp),(),( 22 yx f k jyxpyxt 透镜的位相变换因子可写作透镜的位相变换因子可写作 会聚透镜除具有成像性质外，另一个最突出和会聚透镜除具有成像性质外，另一个最突出和 最有用的性质就是它能够进行二维最有用的性质就是它能够进行二维FTFT。 正因如此，傅立叶分析方法才得以用于光学。正因如此，傅立叶分析方法才得以用于光学。 2.6.22.6.2透镜的傅里叶变换特性透镜的傅里叶变换特性 s s pq 1 p 2 p )

47、,(yx ),( 00 yx 0 d 0 p ),(yx 1. 物在透镜之前 物的前表面上造成的光场分布物的前表面上造成的光场分布 )(2 )( exp 0 2 0 2 0 0 dp yx jkA 透过物体，输出面上的光场分布透过物体，输出面上的光场分布 )(2 )( exp),( 0 2 0 2 0 000 dp yx jkyxtA 0 0 0 exp() A cik pd pd 22 000000 1 ,exp,exp 2 k U x yjkzU xyjxxyydx dy j zz 根据菲涅耳衍射到达透镜平面，其复振幅分布：根据菲涅耳衍射到达透镜平面，其复振幅分布： 00 0 2 0 2

48、0 0 22 00 0 2 exp )(2 exp),(),( 00 0 dydx d yyxx jk dp yx jkyxt dj A yxU ydxd q yyxx jk f yx jkyxU dj yxU l 2 exp 2 exp),( 1 ),( 22 22 0 光源光源s s的共轭面上的光场分布：的共轭面上的光场分布： ydxddydx k jyxt qd A yxU yx p 00 00 0 2 0 )( 2 exp),(),( 0 把把 代入代入),(yxU 先将先将 积出积出 p U )(exp )( 2 exp 00 22 00 yyxx a f jk yx a df jk

49、 a fqdj U p 00 )(fddfqa 其中其中， 00 00 00 00 00 22 0 )( )( exp),( )( 2 )( exp, dydx fddfq yyxxf jkyxt fddfq yxdf jkcyxU ）（ 1. 1.输入平面位于透镜前焦面输入平面位于透镜前焦面 fd 0 00 00 00 )exp(),(,dydx f yyxx jkyxtcyxU ）（ 计算光源共轭面上场分布的一般公式计算光源共轭面上场分布的一般公式 0( , ) T 衍射物体衍射物体的的复振幅透过率复振幅透过率与与衍射场衍射场的的复振幅分布复振幅分布存在准确存在准确 的傅里叶变换关系，并且

50、只要照明光源和观察平面满足共的傅里叶变换关系，并且只要照明光源和观察平面满足共 轭关系，与照明光源的具体位置无关。也就是说，不管照轭关系，与照明光源的具体位置无关。也就是说，不管照 明光源位于何处，均不影响观察面上空间频率与位置坐标明光源位于何处，均不影响观察面上空间频率与位置坐标 的关系，始终为的关系，始终为 f x f y s s ),(yx ),( 00 yx ),(yx 观察平面上坐标观察平面上坐标 (x, y)处的光场的振幅和相位，由衍射物体中处的光场的振幅和相位，由衍射物体中 频率为频率为 的傅立叶分量的傅立叶分量 的振幅和相位决定。的振幅和相位决定。 0( , ) T ( , )

51、 （2 2）输入面紧贴透镜）输入面紧贴透镜0 0 d 00 00 00 22 exp),( 2 exp, dydx q yyxx jkyxt q yx jkcyxU ）（ 衍射物体的复振幅透过率与观察面上的场分布，衍射物体的复振幅透过率与观察面上的场分布， 不是准确的傅里叶变换关系，有一个二次位相因不是准确的傅里叶变换关系，有一个二次位相因 子子, ,但对强度分布不影响但对强度分布不影响 。 0( , ) T 观察面上的空间座标与空间频率的关系为 q x q y 对光信息处理的应用将带来一定的灵活性。 并且也有利于充分利用透镜孔径 强度分布为强度分布为: : 2 200 o00 () (,)(

52、 , ) exp fff x xy y Ixyctx yjkdx dy q 0( , ) T s s pq 1 p 2 p ),(yx ),(yx 0 d 0 p ),( 00 yx 物在透镜之后的变换 2.物在透镜的后方 透镜前表面的场 ) 2 (exp 22 0 p yx jkA 透镜的出射场为 ) 2 (exp) 2 (exp 2222 0 f yx jk p yx jkA ydxd d yyxx jk f yx jk P yx jk dj A yxU p 2 exp 2 exp 2 exp),( 0 2 0 2 0 2222 0 0 000 透过物体后的出射光场为透过物体后的出射光场为

53、 ),(),(),( 00000000 yxUyxtyxU 这个光场传输到观察平面这个光场传输到观察平面 上造成的场分上造成的场分 布为布为： ),(yx 00 0 2 0 2 0 00000 0 )(2 exp ),(),( )( 1 ),( 0 dydx dq yyxx jk yxUyxt dqj yxU ydxddydx k j yxt dqd A yxU yx p 00 00 00 2 0 )( 2 exp ),(),( 0 不管衍射物体位于何种位置，只要观察面是照明光源的共轭不管衍射物体位于何种位置，只要观察面是照明光源的共轭 面，则物面和观察面之间的关系是傅里叶变换关系，即面，则物

54、面和观察面之间的关系是傅里叶变换关系，即观察观察 面是物的频谱面面是物的频谱面，即观察面上的衍射场都是夫琅禾费型。物，即观察面上的衍射场都是夫琅禾费型。物 从两面紧贴透镜都是等价的。从两面紧贴透镜都是等价的。 22 00 0000 00 ()() ( , )exp(,)exp 2() x xy yxy U x ycjkt xyjkdx dy qdqd 3. 3.考虑孔径效应考虑孔径效应 物在透镜前，相干平行光照明的特殊情况物在透镜前，相干平行光照明的特殊情况 00 00 0 0 0 000 2 22 0 exp ),(),( 2 exp, dydx f yyxx jk y f d yx f d xpyxt f yxdf jkcyxU ）