新课程下数学理解与促进学生数学理解

1、新课程下数学理解与促进学生数学理解王爱珍【专题名称】中学数学教与学（高中读本）【专 题 号】g35【复印期号】2008年08期【原文出处】中学数学教学参考(西安)2008年5下期第1013,48页【作者简介】王爱珍广东教育学院数学系学生学习数学，不仅要通过感知认识事物的表面现象和外部联系，获得感性认识，而且要在感性认识的基础上，通过理解，逐步达到对事物的理性认识，所以，理解是学生数学学习过程中的一个中心环节1。理解在数学学习中占有重要的地位，没有理解就不会有有意义的学习，只有理解了，才可能有创新，理解是创新的前提与基础。一、对数学教育中“理解”的相关认识1.“理解”是教育目的之一美国教育学家g

2、. m. bleinkin和a. v. kelly曾说过：“教育不在于获得有用的知识或技能，而在于发展求知能力；不在于学习而在于达成理解，不在于获得信息，而在于完成智慧。”2人类经历了几千年的发展进化历程，积累了宝贵的知识经验，而在整个发展进程中，人们又在前人所得到的成果的基础上不断地学习、创新，试图更完美地运用与发展前人的精神财富，这一过程离开了“理解”是无法进行的，人们在不断地学习过程中，注入各自的理解，不断地发展、完善，整个社会才不断地得以前进，教育更是如此。2.“理解”是获得知识的一种重要方式在数学教育界，被广泛接受的一种思想是学生应该要理解数学，其中不乏许多研究，其目标就是推行理解地

3、学习。专家认为，任何知识只有通过理解才能被建构意义，纳入个体的经验中，成为其中的一部分，已有的知识也才能真正地成为个人的知识，才是活的知识，学习者才能对其应用自如；反之，当已有的知识不能与个人的经验有机地融合在一起时，它便不能成为真正的个人的知识，这种知识虽然有可能被学习者占有，但却不能活用，这不是我们所追求的目的。3.“理解”对数学学习的重要性数学学习中，“理解”无疑是第一位的，它已成为继“问题解决”之后当今世界数学教育界所关注的又一中心话题(pme news may 1997 edition. mathe-matics forum)3。美国数学教育专家m. a. bell曾利用实验对理解在

4、数学学习中的重要性给出过很好的证明。教育哲学博士金生鈜曾经指出：“就学生的学习过程而言，理解是学习的基础。任何认知方式都是建立在理解之上的，不论是分析、概括、归纳还是系统化，都需要理解，理解使学习成为可能。在学习过程中，学生进行着对学习情境的理解、对自我的把握以及对学习材料最初意义上的把握等；理解总是渗透到学习活动的各个方面，如动机、情感等，使学习活动得以进行。理解的关键就是把个人的整体经验投向了相关的学习内容，并发生意义关联，这样才可能使学习者的认知活动得以实现。”从学科角度讲，数学具有高度的抽象性和严密的逻辑性，其知识连贯性特别强，如果前面某一个知识点没有理解，那么就有可能引起连锁反应，后

5、面的知识都不能理解。如果离开理解去学习数学，单纯依靠死记硬背，那么只会得到一些机械的、空洞的数学符号、概念等，不可能真正掌握数学知识，更谈不上应用。但学习数学最重要的一个目的就是为了应用，为此，要加深对数学基础知识的理解，达到融会贯通、举一反三，才能掌握数学知识的本质特征，解决实际问题。此外，学习数学不仅仅是学习数学知识，还包括数学思想和方法，而这些也只有在深刻理解数学知识的基础上才能熟练掌握，灵活运用。4.“理解”在课程标准中的重要地位美国、英国等西方国家很早就非常重视学生对数学的“理解”，这一点在美国principles and standards for school mathemati

6、cs以及英国mathematics, guidance of national curriculum中都有很好地体现，其中美国学校数学标准完整地描绘了由学前到12年级的学生所应得到的数学理解，并且对学生们的数学理解作出评价。如今，随着我国数学教育事业的发展和研究的逐步深入，“数学理解”也越来越受到众多专家学者的重视，如在全日制义务教育数学课程标准（实验稿）中对其作了精彩的描述：“义务教育阶段的数学课程，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展”；在“知识技能目标

7、”中，“理解”被描述为“能描述对象的特征和由来；能明确地阐述此对象与有关对象之间的区别和联系”；在课程总体目标中，要求学生通过义务教育阶段地数学学习，能够“体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心”4。由此可见，“数学理解”已引起了我国广大数学教育工作者的普遍关注，其地位已得到充分肯定。二、“数学理解”的含义所谓“数学理解”，从理解的对象来讲，是指学生在学习过程中对数学知识、数学思想、数学方法、数学观及有关数学知识背景等的理解。从心理学意义上讲，是指在学习者现有的认知水平范围内，通过数学学习活动，以目前自身已有的知识和经验，对教材上的知识信息或教师所

8、讲的内容（包括数学思想方法、数学知识的有关背景等）经过思维加工，重新加以解释，重新建构其意义，从而把新的学习内容正确地纳入已有的认知结构，或者改组、扩大原有的认知结构，使新的学习内容成为整个结构的有机组成部分，从而逐步认识其本质和规律的一种思维活动5。从数学教学的角度来说，数学理解的核心就是把握数学概念、性质、思想方法等的本质内涵及它们之间的内在关系，且会应用。三、我国中学生的数学理解现状目前，从总体上讲我国中学数学教学对数学理解的重视程度还不够，主要是受教育体制（如应试教育等）、社会环境以及各种观念的影响。首先，从学校教育的角度讲，在数学教学中，尚未给学生提供足够的理解的时间和机会。其次，在

9、传统的课堂教学中，其时间分配主要有两大部分：第一部分是教师讲授新知识；第二部分就是学生做大量的练习，其中不少是机械、模仿式的练习，这样留给学生动脑思考、理解、消化的时间就很少。值得注意的是，在应试教育的影响下，据教师、学生反映，正规、大型的考试往往题量太大，考生在拿到试题后，一看题目就要知道题目该怎么做，才可能在规定的时间内完成答卷，否则就做不完，所以整个考试过程几乎谈不上对题目作深入的思考与理解。这样，势必给教师产生不良的导向：教学中必须实施“题海战术”，让学生进行“大运动量训练”，否则很难应付这样的考试。久而久之，教师就忽略了学生对基础知识的理解及对其理解能力的培养，学生也就疲于应付作业，

10、无暇深入思考、理解数学知识，从而造成学生理解水平不高。理解水平低下会对数学学习产生很大的影响，导致学习障碍。现在学校教育中出现大量的学困生，很大一部分是由于数学学习不理想而引起的，其中多半是因为学生在数学学习中存在理解困难而导致的。所以亟待采取教学应对措施，促进学生的数学理解，减少数学学困生的数量。四、促进学生数学理解的方法及教学对策1.帮助学生生成正确的数学表象数学表象是人脑对数学物象进行形式结构的特征概括而得到的观念性形象。按材料内容的不同，数学表象可以分为图形表象和图式表象。图形表象是人脑对几何图形感知而形成的表象，图式表象则是对数学式子、结构、关系、模型感知而形成的表象6。在帮助学生理

11、解数学基本概念时，这一教学对策是比较有效的。(1)利用数学图形的多样化，丰富学生的图形变式在几何教学中，数学图形多样化，即：使图形的形状、呈现方式有多种变式，目的是让学生较快地形成正确的表象，这样可使学生视野变宽，不会局限于一种“标准形”。教材上的几何图形往往比较规范、单一，许多教师在进行教学的时候，也往往用最常见的、大家都比较熟悉的图形进行教学，久而久之，学生易形成僵化性思维，遇到具体问题时，头脑中的图形变式不够丰富，只有少数学生能够理解，可以以不变应万变，但多数学生却受到这种思维方式的制约，产生理解障碍”5。笔者认为，这一问题尚未引起许多教师的注意。最常见的例子有：题目要求画三角形或包含三

12、角形的图形时（但没有具体指明是哪一种三角形），教师就经常以锐角三角形作为代表，而很少以钝角三角形、直角三角形为例。再如。画有关“垂直”的图形时，最常画的是如图1(a)的情形，而其他三种情况则极少用到。图1(2)借助实物、模型等丰富的感性材料，增强学生对知识的感性认识理解是以已有的知识经验为基础的。在数学知识学习中，教师向学生提供足以说明有关知识的丰富的感性材料，有助于学生对数学知识的初步理解，在头脑中建立起与数学对象特征相联系的数学表象。数学教材中，数学概念、性质、定理等都具有高度的抽象性和概括性，如果让学生直接理解，一定会存在很大困难，所以，在教学中应该为学生提供或者让学生自己动手制作一系列

13、的实物、模型、教具等，通过让学生观察，使学生从数学的角度观察要理解的数学对象的特征，获得对它们的一些具体、直观的感知，形成正确的表象，有助于学生形成正确的感性认识。2.借助多媒体，注重知识的生成过程，呈现知识的本质含义按生物发生规律，人类个体的认识过程，往往简洁地重复人类的认识过程，因此，数学学习的最佳途径是返璞归真：使学习者在头脑中，经历一个知识（可能的）发生、发展过程（数学概念、公式、定理、法则的提出过程，知识的形成、发展过程，解题思路的探索过程，方法与规律的概括过程等）。然而，知识发生、发展的原始过程，早已消逝在茫茫的数学历史长河中了，怎样去经历、寻找？作为学生，就需要教师为之设计一个知

14、识可能的生长过程，使学生经历这个过程，像历史在戏剧中的重演7。在这方面，多媒体计算机是我们的有力助手。教学实践表明：阐明知识的发生、探索过程，用数学思想方法揭示各概念、命题的本质含义，对于学生理解课本内容是大有帮助的。课本中的概念、定理等的差异、关系通常并未明显叙述出来，都是隐含其中的，这就需要教师引导学生去研究、挖掘，帮助他们真正理解概念、原理的实质以及它们之间的联系与区别，防止死套公式，张冠李戴。在此，多媒体计算机、计算器辅助教学给我们提供了一个良好的平台。课堂教学中，恰当使用多媒体进行教学是非常有帮助的，也很有必要，不仅可以使知识形象化，让学生知道知识的来龙去脉，把握新知识的内涵，而且还

15、可以活跃课堂气氛，调动学生的学习积极性和参与性，利用多媒体的动画、音、色等功能，显示在黑板上难以显示的知识发生、发展等过程，更有利于学生对知识本身的建构、内化。如：例1教授“过三点的圆”时，教师可以利用图形计算器t1-92演示整个教学过程，把定理“不在同一直线上的三个点确定一个圆”的整个生成过程呈现在学生面前；让学生观察如下三个图形的几何动画有何不同，从而逐步从感性认识过渡到理性认识。图2图3图2表示在已知点外任意一点为圆心，以连接已知点和圆心的线段为半径作圆。这样的圆有无数多个。图3表示以连接两个已知点的线段的垂直平分线上任一点为圆心，以圆心与两点中任一点的距离为半径作圆，这样的圆也有无数个

16、。因为拖动圆心o点，则o点在ab的垂直平分线上来回移动，产生无数多个圆。图4（见下页）表示经过三角形的三个顶点可以作圆且只能作一个圆，而且这次作出的圆，利用几何动画，圆心不能被拖动，圆也不动。经过上述三步几何动画演示，学生可以直观地观察到整个定理的生成过程。同时，通过动态展示，也让学生体会到了此定理的深刻意义。图43.运用发散思维，借助对比和联系，帮助学生探明知识点之间的联系与区别所谓发散思维，是指从已知信息中产生大量变化的、独特的新信息的一种沿不同方向、在不同范围、不因循传统的思维方式，又称为求异思维或辐射思维6。通俗地讲，就是由某一条件或事实出发，从各个层面、各个角度纵向、横向思考，提出多

17、种假设，产生多种结论。发散思维具有多端性、灵活性、新颖性的特点。许多学生理解不透数学知识的本质内涵，很大程度上是由于他们不能成功运用发散思维把前后知识联系起来，形成一个相对完整的知识结构网。为此教师在教学时，应有意识地引导学生逐步学会运用发散思维回忆以前学过的相关知识，从多个角度与当前学习内容建立联系，促进学生对数学知识的理解以达到融会贯通、熟练应用的程度。例如，为了深刻理解二次三项式、一元二次方程、一元二次函数和一元二次不等式的知识，必须利用发散思维，在分散学习的基础上，将它们贯通凝集起来对比学习，特别是要通过数形结合，把握它们之间彼此渗透和互相转化的内在联系。又如，高中学生学习了六个“距离

18、”的概念，要弄懂它们之间的区别和联系。两点之间的距离、点到直线的距离、两条平行线之间的距离、点到平面的距离、两平行平面之间的距离、两条异面直线之间的距离。这六个“距离”的共同点是：“距离”都是指两点之间的线段之长；不同点是：相应的两个点的位置取法不同1。概念、原理、法则之间往往具有密切的联系，所以，这一措施对于帮助学生理解概念、定理等是非常重要的。4.通过变式教学、正反辨析教学法揭示知识实质，增强学生对知识理解的准确性和深刻性所谓变式，就是变换同类事物的非本质特征，突出其本质特征，从而更确切地理解事物的本质特征1。变式教学泛指基本概念辨析型变式，定理、公式的深化变式、变式应用，例题、习题的一题

19、多解、一法多用、一题多变、多题归一等。教材中的概念、法则往往指出了数学对象的某些本质属性，而非全部，一般学生容易停留在对这些概念、法则表面意义上的局部理解，或过多关注数学对象的非本质属性，未能挖掘其内在的其他的本质属性，这也是阻碍数学理解的一个重要原因，这就需要教师进行变式教学。另外，举反例也是准确理解数学知识的一条重要途径。一般来讲，教材叙述概念总是采用正面阐述的形式，而学生常常对一些概念的关键词语缺乏深刻的认识，对概念所要求的条件理解不全面。教育心理学家认为：概念或规则的正例传递了最有利于概括的信息，反例则传递了最有利于辨别的信息。在教学过程中，我们不仅要运用正面的实例透彻阐述知识点，而且

20、要运用恰当的反例从另一个角度让学生理解数学概念的本质，弥补正面教学的不足，从而加深学生对数学知识的理解6。因此，在数学教学中，教师应注意对相关概念、原理等构造出一些反例从正反两方面加以比较、辨别、说明，找到容易混淆、模糊的地方，让学生进行辨析、排惑，同时，注意运用反例和特例极其鲜明的直观特征的优势，引起学生注意，易于为学生所接受，这也是促进学生理解的有效方法之一。例2学习“因式分解”时，可举出反例：，这不是对多项式进行因式分解。例3学习“相似三角形和相似多边形”时，教师可以举一些特例提问学生，如：两个相似三角形一定是全等三角形吗？两个不全等三角形一定不是相似三角形吗？底角相等的两个等腰三角形是

21、相似三角形吗？两个正三角形一定是相似三角形吗？任意两个矩形一定相似吗？所有的正方形都相似吗？5.注重数学交流在学校教育环境下，数学交流是指在一切数学活动（包括数学课堂、课外活动）中，学生之间、师生之间以书面或口头方式表达对数学知识的理解情况，并相互交换意见，获得对知识较深层次的理解。增强学生的数学交流意识，培养学生的语言表达能力，也是理解数学知识的一个重要环节，通过交流，(1)可以充分暴露学生理解上的缺陷，知道学生哪些地方理解了，哪些地方没理解，理解的程度如何；(2)可以使学生重新认识、思索那些理解得不很透彻的知识，从而促进对知识的理解；(3)学生在表述的过程中，有一个重新提炼、加工、概括知识

22、的过程，可以获得对知识的更深入的理解；(4)对同一知识，每个学生都有不同角度、不同层次的理解，通过交流，可以相互取长补短；(5)通过交流，发现学生存在的理解上的问题及原因，可以得到及时纠正；(6)通过交流，可以克服学生的数学语言障碍。传统的数学课堂，大部分时间是教师讲，学生听，学生很少有机会发表自己的见解，即使是有机会，也只是做一些简单的回答，而教师从这些简单的回答中很难了解学生的真实理解情况，所以教师应加强与学生的交流，给学生一定的机会，让他们能够就所学内容发表自己的看法，同时，教师也可以从中发现、分析学生的理解情况，做到有的放矢。注重数学交流，无论是理解数学概念，还是性质、定理等，都是一条

23、行之有效的好方法。6.加强学生对数学知识的自主探究、实际应用来提高“理解”的层次数学探究，即数学探究性课题学习，是指学生围绕某个数学问题，自主探究、学习的过程。这个过程包括：观察分析数学事实，提出有意义的数学问题，猜测、探求适当的数学结论或规律，给出解释或证明8。数学探究是数学课程中引入的一种新的学习方式，有助于学生了解数学概念和结论产生的过程，理解数学直观现象和严谨的逻辑证明之间的关系，体验数学研究的过程。通过数学探究课题的多样化以及对数学结果的推广和深入，不同数学内容之间的联系和类比，有助于学生了解与中学数学知识有关的扩展知识及内在的数学思想，促使学生认真思考其中的一些问题，加深对其理解。在日常数学学习中，学生总是对数学知识的现实原型和实际运用发生兴趣，而在现实生活中，有许多生动活泼的数学问题的实例，教师可以引导学生从这些实例出发，挖掘出一些数学探究课题，并引导学生自己动手操作、思考、请教他人或者与同学一起探讨，探索出一些对他们来讲新的知识或规律，这样