高考数学专题训练试题及答案

1、一、填空题1在梯形abcd中，adbc，ad2，bc5，点e、f分别在ab、cd上，且efad，若，则ef的长为_解析：如图所示，延长ba、cd交于点p，adbc，.又，.adef，.又ad2，ef.答案：2一直角三角形的两条直角边之比是13，则它们在斜边上的射影的比是_解析：如图，在直角三角形abc中，bcac13，作cdab于d.由射影定理得bc2bdab，ac2adab，则.故它们在斜边上的射影的比是19.答案：193如图，在直角三角形abc中，bac90，ab4，ac3，过点a作adbc，垂足为d，过点d作deac，垂足为e，则de_.解析：由勾股定理得：bc5.由射影定理得：cd.由

2、三角形面积相等得：ad.又由三角形面积相等得：de.答案：4.(2011高考陕西卷)如图，bd，aebc，acd90，且ab6，ac4，ad12，则be_.解析：ac4，ad12，acd90，cd2ad2ac2128，cd8.又aebc，bd，abeadc，be4.答案：45.如图，在直角梯形abcd中，上底ad，下底bc3 ，与两底垂直的腰ab6，在ab上选取一点p，使pad和pbc相似，这样的点p有_个解析：设apx.(1)若adpbpc，则，即，所以x26x90，解得x3.(2)若adpbcp，则，即，解得x，所以符合条件的点p有两个答案：两6如图，四边形abcd中，dfab，垂足为f，

3、df3，af2fb2，延长fb到e，使befb，连接bd，ec.若bdec，则四边形abcd的面积为_解析：过点e作endb交db的延长线于点n，在rtdfb中，df3，fb1，则bd.由rtdfbrtenb，知，所以en.又bdec，所以en为bcd底边bd上的高，故s四边形abcdsabdsbcdabdfbden336.答案：6二、解答题7(2013南通调研)如图，在直角梯形abcd中，dcab，cbab，abada，cd，点e，f分别为线段ab，ad的中点，求ef的长解：连结de，由于e是ab的中点，故be.又cd，abdc，cbab，四边形ebcd是矩形在rtade中，ada，f是ad

4、的中点，故ef.8.如图，在正三角形abc中，d，e分别在ac，ab上，且，aebe，求证：aedcbd.证明：三角形abc是正三角形，abbcac，.又ac60，aedcbd.9如图，在梯形abcd中，abcd，且ab2cd，e、f分别是ab、bc的中点，ef与bd相交于点m.若db9，求bm的长解：e是ab的中点，ab2eb.ab2cd，cdeb.又abcd，四边形cbed是平行四边形cbde，edmfbm，.f是bc的中点，de2bf.dm2bm，bmdb3.10.如图，abc中，abac，ad是中线，p为ad上一点，cfab，bp的延长线交ac、cf于e、f两点，求证：pb2pepf.

5、证明：如图，连接pc.易证pcpb，abpacp.cfab，fabp.从而facp.又epc为cpe与fpc的公共角，从而cpefpc，.pc2pepf.又pcpb，pb2pepf，命题得证11如图，abcd，abacad5，bc6.(1)求证：cab2dba；(2)求bd的长解：(1)证明：abacad，点b，c，d在以点a为圆心，ab为半径的圆上，cab2bdc.abcd，dbabdc，cab2dba.(2)延长ba交a于点e，连结ed，abacad5，bc6，易知ed6，eb10是a的直径，eddb，bd2eb2ed21026282，bd8.12.如图，在平行四边形abcd中，过点b作b

6、ecd，垂足为e，连接ae，f为ae上一点，且bfec.(1)求证：abfead；(2)若ab4，130，ad3，求bf的长解：(1)证明：abcd，12.又bfec，bfebfacd，bfad，abfead.(2)ae.又，bfad.13如图，abcd中，e是cd的延长线上一点，be与ad交于点f，decd.(1)求证：abfceb；(2)若def的面积为2，求abcd的面积解：(1)证明：四边形abcd是平行四边形，ac，abcd，abfceb，abfceb.(2)四边形abcd是平行四边形，adbc，abcd，defceb，defabf.2，2.又decdab，cedecdde2de3d

7、e.2，2.sdef2，sceb18，sabf8.sabcdsabfscebsdef818224.14.如图，在等腰三角形abc中，abac，底边bc上的高ad10 cm，腰ac上的高be12 cm.(1)求证：；(2)求abc的周长解：(1)证明：在adc和bec中，adcbec90，cc，adcbec，.ad是等腰三角形abc底边bc的高线，bc2bd.又abac，.(2)设bdx，则abx.在rtabd中，adb90，根据勾股定理，得ab2bd2ad2，(x)2x2102，解得x7.5.bc2x15，abacx12.5，abc的周长为40 cm.一、选择题1(2012高考北京卷)如图，a

8、cb90，cdab于点d，以bd为直径的圆与bc交于点e，则()acecbaddbbcecbadabcadabcd2dceebcd2解析：选a.在直角三角形abc中，根据直角三角形射影定理可得cd2addb，再根据切割线定理可得cd2cecb，所以cecbaddb.二、填空题2如图，ab是半圆o的直径，c是半圆o上异于a，b的点，cdab，垂足为d，已知ad2，cb4，则cd_.解析：根据射影定理得cb2bdba，即(4)2bd(bd2)，得bd6.又cd2adbd12，所以cd2.答案：23(2012高考天津卷)如图，已知ab和ac是圆的两条弦，过点b作圆的切线与ac的延长线相交于点d.过点

9、c作bd的平行线与圆相交于点e，与ab相交于点f，af3，fb1，ef，则线段cd的长为_解析：由相交弦定理可得cffeaffb，得cf2.又因为cfdb，所以，得db，且ad4cd，由切割线定理得db2dcda4cd2，得cd.答案：4.如图，四边形abcd内接于o，bc是直径，mn与o相切，切点为a，mab35，则d_.解析：连接bd(图略)，由题意知，adbmab35，bdc90，故dadbbdc125.答案：1255.(2012高考广东卷)如图，圆o的半径为1，a、b、c是圆周上的三点，满足abc30，过点a作圆o的切线与oc的延长线交于点p，则pa_.解析：如图，连接oa.由abc3

10、0，得aoc60，在直角三角形aop中，oa1，于是paoatan 60.答案：6.(2012高考陕西卷)如图，在圆o中，直径ab与弦cd垂直，垂足为e，efdb，垂足为f，若ab6，ae1，则dfdb_.解析：由相交弦定理可知ed2aeeb155.又易知ebd与fed相似，得dfdbed25.答案：5三、解答题7.如图，ab是半圆的直径，c是ab延长线上一点，cd切半圆于点d，cd2，deab，垂足为e，且e是ob的中点，求bc的长解：连接od，db，则oddc.在rtoed中，oeobod，所以ode30.在rtodc中，dco30.由dc2，则oddctan 30.又cdbcod30，所

11、以cdbdco，所以bcbdod，所以bc.8.(2013泉州调研)如图，ab是圆o的直径，直线ce和圆o相切于点c，adce于点d，若ad1，abc30，求圆o的面积解：ce是o的切线，则acdabc30.在rtacd中，sin 30，则ac2.又在rtabc中，abc30，则ab2ac4.圆o的面积s24.9.(2012高考江苏卷)如图，ab是圆o的直径，d，e为圆o上位于ab异侧的两点，连接bd并延长至点c，使bddc，连接ac，ae，de.求证：ec.证明：连接od，因为bddc，o为ab的中点，所以odac，于是odbc.因为obod，所以odbb.于是bc.因为点a，e，b，d都在

12、圆o上，且d，e为圆o上位于ab异侧的两点，所以e和b为同弧所对的圆周角，故eb.所以ec.10.如图所示，以直角三角形abc的直角边ac为直径作o，交斜边ab于点d，e为bc边的中点，连接de.请判断de是否为o的切线，并证明你的结论解：de是o的切线证明如下：如图，连接od、cd，则odoc，ocdodc.又ac为o的直径，adc90.三角形cdb为直角三角形又e为bc的中点，debcce，ecdedc.又ocdecd90，odcedc90，即ode90，de为o的切线11.在abc中，abac，过点a的直线与其外接圆交于点p，交bc的延长线于点d，连结cp.(1)求证：；(2)若ac3，

13、求apad的值解：(1)证明：a、b、c、p四点共圆，cpdabc.又dd，dpcdba，又abac，.(2)abac，abcacbcpd.apccpd180，acbacd180.apcacd.apcacd，.apadac29.12.如图，已知c点在圆o直径be的延长线上，ca切圆o于a点，acb的平分线分别交ae、ab于点f、d.(1)求adf的度数；(2)若abac，求的值解：(1)ac为圆o的切线，beac.又cd是acb的平分线，acddcb，bdcbeacacd，即adfafd.又be为圆o的直径，bae90，adf(180bae)45.(2)beac，acebca，acebca，.

14、又abac，bacb，bacbeac，由bae90及三角形内角和定理知，b30.在rtabe中，tan btan 30.13.如图，o的直径ab的延长线与弦cd的延长线相交于点p，e为o上一点，de交ab于点f，且ab2bp4.(1)求pf的长度；(2)若圆f与圆o内切，直线pt与圆f切于点t，求线段pt的长度解：(1)连接oc，od，oe，由同弧所对应的圆周角与圆心角之间的关系，结合题中条件弧长ae等于弧长ac可得cdeaoc.又cdeppfd，aocpocp，从而pfdocp，故pfdpco，.由割线定理知，pcpdpapb12，故pf3.(2)若圆f与圆o内切，设圆f的半径为r，因为of

15、2r1，即r1.所以ob是圆f的直径，且过p点圆f的切线为pt，则pt2pbpo248，即pt2.14.(2012高考课标全国卷)如图，d，e分别为abc边ab，ac的中点，直线de交abc的外接圆于f，g两点若cfab，证明：(1)cdbc；(2)bcdgbd.证明：(1)因为d，e分别为ab，ac的中点， 所以debc.又已知cfab，故四边形bcfd是平行四边形，所以cfbdad.而cfad，连接af，所以四边形adcf是平行四边形，故cdaf.因为cfab，所以bcaf，故cdbc.(2)因为fgbc，故gbcf.由(1)可知bdcf，所以gbbd，所以bgdbdg.由bccd知，cb

16、dcdb.而dgbefcdbc，故bcdgbd.一、选择题1圆5cos 5sin 的圆心坐标是()a.b.c. d.解析：选a.25cos 5sin ，x2y25x5y0，2252，圆心的直角坐标为，注意圆心在第四象限，化为极坐标为，注意0)的一个交点在极轴上，则a_.解析：曲线c1的直角坐标方程为xy1，曲线c2的直角坐标方程为x2y2a2，c1与x轴的交点坐标为，此点也在曲线c2上，代入解得a.答案：6(2013贵阳调研)已知直线的极坐标方程为sin，则点a到这条直线的距离为_解析：转化为直角坐标来解，直线方程化为xy10，点a化为(，)，再用公式可求得点到直线的距离为.答案：7(2013

17、江西九校联考)在极坐标系中，曲线c1：2cos ，曲线c2：，若曲线c1与c2交于a、b两点，则线段ab_.解析：曲线c1与c2均经过极点，因此极点是它们的一个公共点由得即曲线c1与c2的另一个交点与极点的距离为，因此ab.答案：8(2012高考湖北卷)在直角坐标系xoy中，以原点o为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知射线与曲线(t为参数)相交于a，b两点，则线段ab的中点的直角坐标为_解析：记a(x1，y1)，b(x2，y2)，将转化为直角坐标方程为yx(x0)，曲线的直角坐标方程为y(x2)2，联立上述两个方程得x25x40，x1x25，故线段ab的中点坐标为.答案：三、解答题9设过

18、原点o的直线与圆(x1)2y21的一个交点为p，点m为线段op的中点，当点p在圆上移动一周时，求点m轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线解：圆(x1)2y21的极坐标方程为2cos ，设点p的极坐标为(1，1)，点m的极坐标为(，)，点m为线段op的中点，12，1，将12，1代入圆的极坐标方程， 得cos .点m轨迹的极坐标方程为cos ，它表示原心在点，半径为的圆10在极坐标系下，已知圆o：cos sin 和直线l：sin().(1)求圆o和直线l的直角坐标方程；(2)当(0，)时，求直线l与圆o公共点的极坐标解：(1)圆o：cos sin ，即2cos sin ，圆o的直角坐标方程为：x2

19、y2xy，即x2y2xy0，直线l：sin，即sin cos 1，则直线l的直角坐标方程为yx1，即xy10.(2)由，得，故直线l与圆o公共点的极坐标为.11(2013泉州质检)已知圆o1和圆o2的极坐标方程分别为2，22cos2.(1)把圆o1和圆o2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程解：(1)由2知24，所以x2y24；因为22cos2，所以222，所以x2y22x2y20.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为xy1.化为极坐标方程为cos sin 1，即sin.12在极坐标系中，如果a(2，)，b(2，)为等边三角形abc的两个顶

20、点，求顶点c的极坐标(0,0 2)解：a(2，)，2，xcos 2cos，ysin 2sin，即a点的直角坐标为(，)同理可求b点的直角坐标，x2cos，y2sin，即b(，)设c点的直角坐标为(x，y)，则解之得或即c点的直角坐标为(，)或(，)当x，y，即c在第四象限时，当x，y，即c在第二象限时，即点c的极坐标是或.13(2012高考课标全国卷)已知曲线c1的参数方程是(为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c2的极坐标方程是2.正方形abcd的顶点都在c2上，且a，b，c，d依逆时针次序排列，点a的极坐标为.(1) 求点a，b，c，d 的直角坐标；(2) 设p

21、为c1上任意一点，求|pa| 2|pb|2|pc| 2|pd|2的取值范围解：(1)由已知可得a，b，c，d，即a(1，)，b(，1)，c(1，)，d(，1)(2)设p(2cos ，3sin )，令s|pa|2|pb|2|pc|2|pd|2，则s16cos236sin2163220sin2.因为0sin21，所以s的取值范围是32,52一、填空题1(2012高考北京卷)直线(t为参数)与曲线(为参数)的交点个数为_解析：直线的普通方程为xy10，圆的普通方程为x2y232，圆心到直线的距离d0)，焦点f(，0)，准线x，设准线与x轴的交点为a.由抛物线定义可得|em|mf|，所以mef是正三角

22、形，在直角三角形efa中，|ef|2|fa|，即32p，得p2.答案：26(2012高考广东卷)在平面直角坐标系xoy中，曲线c1和c2的参数方程分别为(为参数，0)和(t为参数)，则曲线c1与c2的交点坐标为_解析：因为0，所以曲线c1的普通方程为x2y25(x0，y0)，把直线的参数方程代入，得到(1t)2(t)25，且，即t2t40(t0)，所以t，此时，所以曲线c1与c2的交点坐标为(2,1)答案：(2,1)二、解答题7以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位已知直线的极坐标方程为(r)，它与曲线(为参数)相交于两点a和b，求ab的长解

23、：极坐标方程(r)对应的直角坐标方程为yx，曲线(为参数)对应的普通方程为(x1)2(y2)24.圆心(1,2)到直线yx的距离为，由半径r2，知弦长为2 .即ab.8求直线被双曲线x2y21截得的弦长解：直线参数方程化为，代入双曲线x2y21得t24t60.设两交点对应的参数为t1，t2，则弦长d|t1t2|2.9已知某条曲线c的参数方程为(其中t是参数，ar)，点m(5,4)在该曲线上(1)求常数a；(2)求曲线c的普通方程解：(1)由题意可知有，故，a1.(2)由已知及(1)可得，曲线c的方程为.由第一个方程得t，代入第二个方程，得y2，即(x1)24y为所求10已知直线l的参数方程为(

24、t为参数)，曲线c的参数方程为(为参数)，若直线l与曲线c相交于a，b两点，求线段ab的长解：因为曲线c的普通方程为x2y216，把代入方程x2y216，得t28t360，则t1t28，t1t236，所以线段ab的长为|ab|t1t2|4.11已知直线l经过点p(1,1)，倾斜角.(1)写出直线l的参数方程；(2)设l与圆(是参数)相交于两点a、b，求点p到a、b两点的距离之积解：(1)直线的参数方程是(t是参数)(2)点a、b都在直线上，可设点a、b对应的参数分别为t1和t2，则点a、b的坐标分别为a、b，将直线l的参数方程代入圆的方程x2y24，整理得t2(1)t20.t1和t2是方程的解

25、，从而t1t22，|pa|pb|t1t2|2|2.12(2012高考辽宁卷)在直角坐标系xoy中，圆c1：x2y24，圆c2：(x2)2y24.(1)在以o为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆c1，c2的极坐标方程，并求出圆c1，c2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆c1与c2的公共弦的参数方程解：(1)圆c1的极坐标方程为2，圆c2的极坐标方程为4cos .解，得2，故圆c1与圆c2交点的坐标为，.注：极坐标系下点的表示不唯一(2)法一：由，得圆c1与c2交点的直角坐标分别为(1，)，(1，)故圆c1与c2的公共弦的参数方程为t.法二：将x1代入，得cos 1，从而.于是圆c

26、1与c2的公共弦的参数方程为.13已知圆c：(为参数)和直线l：(其中t为参数，为直线l的倾斜角)(1)当时，求圆上的点到直线l距离的最小值；(2)当直线l与圆c有公共点时，求的取值范围解：(1)当时，直线l的直角坐标方程为xy30，圆c的圆心坐标为(1,0)，圆心到直线的距离d，圆的半径为1，故圆上的点到直线l距离的最小值为1.(2)圆c的直角坐标方程为(x1)2y21，将直线l的参数方程代入圆c的直角坐标方程，得t22(cos sin )t30，这个关于t的一元二次方程有解，故4(cos sin )2120，则sin2，即sin或sin.又02|x1|，两端平方后解得12x3，即x.答案：

27、4若不等式|a2|1对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是_解析：2，|a2|12，即|a2|1，解得1a3.答案：(1,3)5(2012高考陕西卷)若存在实数x使|xa|x1|3成立，则实数a的取值范围是_解析：|xa|x1|a1|，则只需要|a1|3，解得2a4.答案：2,4二、解答题6求不等式1|x1|3的解集解：由1|x1|3，得1x13或3x11，0x2或4x0的解集解：本题可去绝对值将已知不等式转化为等价的不等式组，即或，分别解之然后取并集即得不等式的解集为.8对于实数x，y，若|x1|1，|y2|1，求|x2y1|的最大值解：|x1|1，1x11，0x2.又|y2|1，1

28、y21，1y3，从而62y2.由同向不等式的可加性可得6x2y0，5x2y11，|x2y1|的最大值为5.9(2013洛阳模拟)已知函数f(x)|x4|x2|.(1)作出函数yf(x)的图像；(2)解不等式|x4|x2|1.解：(1)依题意可知f(x)则函数yf(x)的图像如图所示(2)由函数yf(x)的图像容易求得原不等式的解集为.10已知集合axr|x3|x4|9，bxr|x4t6，t(0，)，求集合ab.解：|x3|x4|9，当x3时，x3(x4)9，即4x4时，x3x49，即40(ar)；(2)若函数f(x)的图像恒在函数g(x)图像的上方，求m的取值范围解：(1)不等式f(x)a10

29、，即|x2|a10.当a1时，不等式的解集是(，2)(2，)；当a1时，不等式的解集是r；当a1a，即x21a，即x3a，解集为(，1a)(3a，)(2)函数f(x)的图像恒在函数g(x)图像的上方，即|x2|x3|m对任意实数x恒成立，即|x2|x3|m对任意实数x恒成立由于|x2|x3|(x2)(x3)|5，故只要m0时，x，得a2.(2)记h(x)f(x)2f()|2x1|2|x1|，则h(x)所以|h(x)|1，因此k1.13已知一次函数f(x)ax2.(1)当a3时，解不等式|f(x)|4；(2)解关于x的不等式|f(x)|4；(3)若不等式|f(x)|3对任意x0,1恒成立，求实数

30、a的取值范围解：(1)当a3时，则f(x)3x2，|f(x)|4|3x2|443x2423x6x2，不等式的解集为.(2)|f(x)|4|ax2|44ax242ax0时，不等式的解集为；当a0，当1x1时，g(x)的最大值为2，求f(x)解：(1)证明：当1x1时，|f(x)|1，取x0，有|c|f(0)|1，即|c|1.(2)证明：g(x)axb的图像是一条直线，只需证明|g(1)|2，且|g(1)|2.由已知|f(1)|1，|f(1)|1，又由(1)知|c|1，|g(1)|ab|f(1)c|f(1)|c|112.|g(1)|2，且|g(1)|2.当1x1时，|g(x)|2.(3)a0，g(

31、x)在(1,1)上是增函数又当1x1时，g(x)的最大值为2，g(1)2.abf(1)c2.1cf(1)2121，cf(0)1.当1x1时，f(x)1，即f(x)f(0)，由二次函数的性质得直线x0为二次函数f(x)的图像的对称轴0，即b0，a2.f(x)2x21.一、填空题1(2013黄冈模拟)若x2y4z1，则x2y2z2的最小值是_解析：1x2y4z，x2y2z2，即x2y2z2的最小值为.答案：2(2013南通调研)若正数a，b，c满足abc1，则的最小值为_解析：由柯西不等式知：(3a2)(3b2)(3c2)2329.3(abc)69，即99.1.当且仅当3a23b23c2，即abc

32、时，取到最小值1.答案：13若x，y是正数，则22的最小值是_解析：22x2y22221214，当且仅当xy时，等号成立答案：44设实数x，y，z满足xy2z6，则x2y2z2取得到最小值时x，y，z的值分别为_解析：(x2y2z2)(121222)(xy2z)236，x2y2z26，当且仅当xy时，取等号又xy2z6，x1，y1，z2.答案：1,1,2二、解答题5已知a，b，cr，且abc1，求证：(1a)(1b)(1c)8(1a)(1b)(1c)证明：a，b，cr且abc1，要证原不等式成立，即证(abc)a(abc)b(abc)c8(abc)a(abc)b(abc)c，也就是证(ab)(

33、ca)(ab)(bc)(ca)(bc)8(bc)(ca)(ab)(ab)(bc)20.(bc)(ca)20，(ca)(ab)20，三式相乘得式成立，故原不等式得证6已知x，y，z均为正数，求证：.证明：因为x，y，z都为正数，所以().同理可得，当且仅当xyz时，以上三式等号都成立将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得.7(2013大连模拟)已知a0，b0，c0，abc.求证：.证明：a0，b0，.而函数f(x)1在(0，)上递增，且abc，f(ab)f(c)，则，所以，则原不等式成立8若a，b，c0，且a2abacbc4，求2abc的最小值解：a2abacbc4，(ab)(ac)4，则2

34、abc(ab)(ac)24，当且仅当bc时，等号成立，当bc时，2abc有最小值4.9设m是|a|，|b|和1中最大的一个，当|x|m时，求证：|m，|x|a|，|x|b|，|x|1，112.0，且abbcca1.求证：(1)abc；(2)()证明：(1)要证abc，由于a，b，c0，因此只需证明(abc)23.即证：a2b2c22(abbcca)3，而abbcca1，故需证明：a2b2c22(abbcca)3(abbcca)即证：a2b2c2abbcca.而这可以由abbccaa2b2c2(当且仅当abc时等号成立)证得原不等式成立(2) .在(1)中已证abc.因此要证原不等式成立，只需证明.即证abc1，即证abcabbcca.而a，b，c.abcabbcca(abc时等号成立)原不等式成立12某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m2，问x、y分别为多少时用料最省？(精确到0.001 m)解：由题意得，xy28，y(0x0)上恒有f(x)x成