随机过程-习题--02

1、设有图题4-19所示的电路，其中佻&）为输入的随机过程，屁3为标准维纳过程（即 中的z，且其0 = 1）;其输出为郭）现-屁（L1）。求郭）的均值和相关函数。%图题419解:由于（方）为标准维纳过程,则M（）=0o因此耳歹=曰 (/) %(/-1) = 0（/）的相关函数为心(/,2) = E Wo (f 1) - W()(/ -1) Wo )-1)1假设十“2。当冰&T时，Al,珀和力-1,幻是两个互不交叠的区间，由标准维 纳过程为独立增量过程的性质可得隔 a I,2) = E【 a I) - vv0 -1) EW0(r2 )-%(/2-i)=o当2&T时，力-1,和和他T,纭是两个交叠的区

2、间。分别用月，B, C表示区间右T,鸟T、血T,钥和右,t2于是)(W2)= E(A + B)(B + C)=EAEB + EAEC + EB2+ EBEC= EB2= EVV0(rI)-VV0(z2-l)2)=)+ EW(t2 -1)-2( )WQ(t2 -1)=P/ + 0(S -l)-20min(q,/2 1)m)i即7?l-lrl lrll盹2)= 0, lrl0,Q0, ()()代表标准维纳过程，称纟为0rnstein-Uhlenbeck过程，求纟的均值和相关函数。解：显然，均值为Elt) = aeatElWQ(e2a,其中，()为标准维纳过程，其均值为0。于是EWQ(e2ott )

3、 = 0相关函数为伦(22)=砧(勺)徹2)=即严仆2)凤(严_)%(如2 _1)由于标准维纳过程的相关函数为所以,心(W2)= b2“计2)0価/创 一1/叫 一 1=十严(仆2)02amin(q 七)_1)设有随机过程和),它的均值为“ g(/),相关函数为怒心)；若有随机过程()=火)烫)+如。其中，d(f)、b(f)是确定性函数，求“的均值和相关函数。解：均值为(/) = Ea(t)(t) + (/)= “化(/) + b(t)相关函数为陽(/12)=血)郭1) + b(tx)a(t2 屜)+ 的 2)=a(t)a(t2)7?隽2)+1 )b(，2)g(i) +2)b(/】)“g(t2

4、)+ b(t)b(t2)设有平稳随机过程(/),其相关函数为心(C = A 厂如(1 + alfl)其中，A,。为常数，a0。求咽)=也的相关函数。(It解：当t no时，Rt(r)= Aear (l + ar)于是,9=一-Aaear (1 + a r) + dr丄k/h= Aa2ear(-ar)同理可证，当rvO时R(f) = Aa2ear ( + at)所以，Z?7(r) = Aa2e_alrl(l-a|r|)图(a) (b) (c)分别给出了傀(r)、/?4(r)和Rr)的示意图。(a)(c)此外，还可以用功率谱的方法解决这类问题。设有平稳随机过程纟(0,它的自协方差函数为/ 、C(r

5、) = Aer cos/7r+si/7l t P 其中，A, 0,为常数。又(/)= 凹，求 (/)的自协方差函数及方差。dr解：因为()为平稳随机过程，其均值为常数，所以d /O (0于是，“a)的自协方差函数与其自相关函数相等，即%巧=-皆)其中,/?(r) = Q(r) + /|为常数。因此，/)的自协方差函数为Cff(T)= -C?T)= Ae-ar a2+/?2cos/?r- a/3+ sin0lrl方差为(/)=血+02设有随机过程(/),它的相关函数为R勞,)；若另有随机过程77(/)、歹定义如下：(/) = 4 歹(/) + /?仝at其中，8、b、C、f为常数。试求 (/)和

6、飢f)的互关函数尺加心)。解：首先，r 忆,2)=日(/)财=e砖)+舛 “)PFcwrO=Eactt2) +) + bctt2) +)根据公式冬叫创，2)= E列)g刖)=石而怨，2)Qq!R 忆 &乙2)= ac R 密(/2)+ 0 7 Rg(/2)a2设有平稳随机过程(/),它的均值为0,相关函数为乓(巧；若(/)=第(“)“，求(,)的方差和自协方差函数。解：g(f)的均值为0,所以(/) =匸 =匸 0 如=0设，则 (/)的自协方差函数为C(/,2)= *12)= Jo J：日欽“眉w)dud作如下积分变换V = V得%W2)= 口认少如环诃比+皓：WWW=f； (S + T)R

7、T)dT +(gRg Zt + J；, - CRJrW=f： (S + r)RT)dr + J, (“ -r)RT)dr +： fi + 叭(丁)必于是，方差为b（/）= cz/（/j）=（t i t I）伦（巧肝设有随机过程a）,它的均值为“），相关函数为尺勞（id），协方差函数为 Cgg （/,2 ）若=勺郭）+ q+勿匸厂力（）“ + c其中，“、5、勺、c均为实常数。求 （/）的均值和自协方差函数。解：首先，的均值为旳（/） = &0砧（/） + 4+勿厂窕（“）血 + 0 + 勿 J；)厂九 () + c呦=咖一C(o =勿加厶纟(“)一也(“)于是，的相关函数为5 J2) = E(

8、A(G + Eg) + C(r,)XA(r2) + BQ 2) + C(/2)=C A4(/1，r 2)+ BB (j f 2)+ Ccc (F1 f 2)+ C肋(F1 昇 2)+ C AC( S f 2)+ Cl2)+(f 12)+ C(12)+ CcB(1，f 2)=&c勞(22)+ 奸2才(f心)+ 帰J：隽(u,v)diulv+ a()tZC券(/,/2)+ a(AJ(e C隽(ti,v)dv +(Zj,2)+如1 J：厂叱典(/ *)加+ a也匸厂加C隽(“心)如+町:厂加仙(“ J? )d“其中,呦1)E 和 1)徹2) dtx dt2(r2)占 C/ R隽(2)-作(/)(Z2)0/6,2C隽2)C轮2）= E-1）（魏2）-凶2）-（耳）“凶2）=+ 恕 “I2）-巴（“）$（Z2） 膏如2）同理%心2）= %（/12