行测数量盈亏和牛吃草问题-非常好的思路和解析-附练习题

1、盈亏问题公式】（ 1）一次有余（盈），一次不够（亏），可用公式：（盈+亏）（两次每人分配数的差） =人数。（2）两次都有余（盈），可用公式：（大盈 - 小盈）（两次每人 分配数的差） =人数。（3）两次都不够（亏），可用公式：（大亏 - 小亏）（两次每人分配数的差） =人数。（4）一次不够（亏），另一次刚好分完，可用公式：亏（两次 每人分配数的差） =人数。（5）一次有余（盈），另一次刚好分完，可用公式：盈（两次 每人分配数的差） =人数。例 1 ：一个植树小组去栽树，如果每人栽 3 棵，还剩下 15 棵树苗； 如果每人栽 5棵，就缺少 9 棵树苗。求这个小组有多少人？一共有 多少棵树苗？分析

2、：已知如果每人栽 3 棵，还剩下 15棵树苗，也就是说还 有 15 棵树苗没有栽上，树苗余下了；又知如果每人栽 5 棵，就缺 少 9 棵树苗，这就是说，树苗不够了。按照第一种方案去栽，树苗 余下了，若按照第二种方案去栽，树苗不足了。一个是余下一个是 不足，这两个方案之间相差多少棵呢？相差（159=）24 棵，也就是说，如果按照第二种方案去栽的话，可以比第一种方案多栽 24棵树。为什么能多栽 24 棵树呢？因为每个人多栽 （ 5-3= ）2棵。由于每一个人多栽 2 棵树，一共多栽 24 棵树，即“ 2 棵树” 对应于“ 1 个人”。这样，小组的人数可以求得。随之，树苗的棵 数也可以求得。计算：（

3、 1）小组的人数：（159）（ 5-3 ）=242=12（人）（ 2）树苗的棵数：3 12+15=51（棵）答：这个小组有 12人，一共有 51 棵树苗。 在解题时，常常要找两个“差”。一个是总棵数之差，即第一 种方案同第二种方案所栽树苗的总差数； 另一个是单量之差， 即每 个人所栽树苗的差。有了这两个差即可求出结果。 因此，这种解题 的思路也可以称作“根据两个差求未知数”。例 2 ：悦悦每天早晨 7 点 30 分从家出发上学去，如果每分钟 走 45 米，则迟到 4 分钟到校；如果每分钟走 75 米，则可以提前 4 分钟到校。求从家出发需要走多少分钟才能准时到校？悦悦的家离 学校有多少米？分析

4、：已知如果悦悦每分钟走 45 米，则迟到 4 分钟，这就是 说，按照规定到校的时刻来说，还距离学校有（45 4=） 180 米的路；又知如果每分钟走 75 米，则可以提前 4 分钟到校， 这就是说， 到校之后还可以多走出（ 75 4=） 300 米的路。这样，一个慢一个快，在同样时间之内，速度快要比速度慢多走出（180+300=）480米的路。又知每分钟多走（ 75-45= ） 30 米。总之，由于每分钟多 走 30 米，一共多走出 480 米；因此，从家到学校所需要的时间就 可以求出来了，随之，悦悦的家距离学校的米数也可以求出来了。计算：（ 1）准时到校需要多少分钟？（ 454+754）（

5、75-45 ）=48030=16（分钟）（ 2）悦悦家与学校距离多少米？45 16+45 4=720+180=900（米）答：准时到校需要 16 分钟，悦悦家离学校 900 米。例 3 ：晶晶读一本故事书， 原计划若干天读完。如果每天读 11 页，可以比原计划提前 2天读完；如果每天读 13 页，可以比原计 划提前 4 天读完。求原计划多少天读完？这本书共有多少页？分析：已知如果每天读 11页，可以比原计划提前 2 天读完， 这就是说，如果继续读 2天的话，还可以多读（ 112=）22 页； 又知如果每天读 13 页，可以比原计划提前 4 天读完，这就是说， 如果继续读 4天的话，还可以多读（

6、 13 4=） 52 页。两种情况， 虽然都可以多读， 但是它们之间有差别。就是说，在一定的日期之 内，第二种方法比第一种方法多读（ 52-22= ） 30 页。为什么能多 读 30 页呢？就是因为每天多读（ 13-11= ） 2 页。由于每天多读 2 页，结果一共可以多读 30 页。这是多少天读的呢，问题不就解决 了吗！计算：（ 1）原计划多少天读完这本书？（ 134-11 2）（ 13-11 ）=（ 52-22 ） 2 =302=15（天）（ 2）这本书共有多少页？ 11（ 15-2 ）=1113=143（页）练习题1、幼儿园把一箱苹果分给一批小朋友，如果每人2 个，则多 18个，如果每人

7、 3 个，则少 12 个。问幼儿园有多少个小朋友？一 共有多少个苹果？2、一堆桃子分给一群猴子，如果每只猴子分 10 个桃子，则有两 只猴子没有分到；如果每只猴子分 8 个桃子，则刚好分完。求有 多少只猴子？多少个桃子？3、实验小学学生乘车春游，如果每车坐 60 人，则有 15 人上不 了车；如果每车坐 65 人，恰好多出一辆车。问一共有几辆车？ 有多少个学生？4、学生分练习本，如果每人分 4 本，则多 8 本；如果有 1 人分10 本，其余每人分 6 本，则缺 18 本。学生有多少人？练习本有 多少本？5、小强从家到学校，如果每分走 50 米，上课就要迟到 3 分；如 果每分走 60米，就可

8、以比上课时间提前 2 分到校。小强家到学 校的路程是多少千米？6、张华离家到县城去上学，他以每分 50米的速度走了 2 分后， 发现按这个速度走下去就要迟到 8 分。于是他加快了速度， 每分 多走 10 米，结果到校时，离上课还有 5分。张华家到学校的路 程是多少？7、一组学生植树，每人栽 6 棵还剩 4 棵；如果其中 3人各栽 5 棵，其余每人各栽 7 棵，正好栽完。这一组学生有多少人？一共 栽多少棵？8、小红的爷爷买回一筐梨，分给全家人。如果小红和小妹两人 每人分 4 个，其余每人分两个，还多出 4 个；如果小红一人分 6 个，其余每人分 4 个，又差 12个。小红家有多少人？这筐梨有 多

9、少个？9、学校有一批树苗，交给若干少先队员去栽，一次一次往下分， 每次分一棵，最后剩下 12 棵不够分了；如果再拿来 8棵树苗， 那么每个少先队员正好栽 10 棵。参加栽树的少先队员有多少 人？原有树苗多少棵？10、有一批正方形的砖，排成一个大正方形，余下32 块；如果将它们改排成每边比原来多一块砖的正方形，就要差49 块。这批砖原有多少块？11、某年级同学春游时租船游湖，若每只船乘 10人，还多 2 个 座位；若每只船多坐 2 人，可少租一条船，这时每人可节省 5 角 钱。租一只船需要多少钱？12、小李到市场去买肉，如果买牛肉 18 千克，则差 4元；如果 买猪肉 20千克，则多 2 元。已

10、知牛肉比猪肉每千克贵 8角。牛 肉、猪肉各多少钱一千克？13、学校买来一批篮球与排球分给各班，排球是篮球的2 倍，若篮球每班分 2个，多 4 个；若排球每班分 5个，少 2 个。学校有 几个班？篮球与排球各买了几个？牛吃草牛吃草问题是经典的奥数题型之一，这里我只介绍一些 比较浅显的牛吃草问题，给大家开拓一下思维，首先，先介 绍一下这类问题的背景，大家看知识要点知识要点一、定义 伟大的科学家牛顿著的普通算术一书中有这样一道题： “12 头牛 4周吃牧草 10/3 格尔，同样的牧草， 21 头牛 9周吃 10 格尔。问 24 格尔牧草多少牛吃 18 周吃完。”（格尔牧 场面积单位），以后人们称这类

11、问题为“牛顿问题”的牛吃草 问题。这类问题难在哪呢？大家看看它的特点二、特点 在“牛吃草”问题中，因为草每天都在生长，草的数量在 不断变化，也就是说这类问题的工作总量是不固定的，一直在 均匀变化。难吗？难什么啊，一点都不难，只要掌握了方法，以后这 样的题就都会了，来，看看这例题典例评析例 1 牧场上长满牧草，每天都匀速生长。这片牧场可供 27 头牛吃 6天或 23头牛吃 9天。问可供 21 头牛吃几天？【分析】这片牧场上的牧草的数量每天在变化。解题的关 键应找到不变量即原来的牧草数量。因为总草量可以分成 两部分：原有的草与新长出的草。新长出的草虽然在变，但应 注意到它是匀速生长的，因而这片牧场

12、每天新长出飞草的数量 也是不变的。从这道题我们看到，草每天在长，牛每天在吃，都是在变化的，但 是也有不变的， 都是什么不变啊？草是以匀速生长的， 也就是说每 天长的草是不变的 ; ，同样，每天牛吃草的量也是不变的，对吧？ 这就是我们解题的关键。 这里因为未知数很多， 我教大家一种巧妙 的设未知数的方法，叫做设“ 1”法。我们设牛每天吃草的数量为 1 份，具体 1 份是多少我们不知道，也不用管它，设草每天增长的 数量是 a 份，设原来的草的数量为 b 份，那么我们可以列方程了： 27*6=b+6a ； 23*9=b+9a【思考 1】一片草地，每天都匀速长出青草，如果可供24头牛吃 6天，或 20

13、 头牛吃 10天，那么可供 18头牛吃几天？15天设 1头牛 1天吃的草为 1 份。则每天新生的草量是(2010-24 6) (10-6)=14 份，原来的草量是( 24-14 )6=60份。可供 18 头牛吃 60( 18-14 )=15天例2 因天气寒冷，牧场上的草不仅不生长，反而每天以均 匀的速度在减少。已知牧场上的草可供 33 头牛吃 5 天，可供 24 头牛吃 6天，照此计算，这个牧场可供多少头牛吃10 天?【分析】与例 1 不同的是，不但没有新长出的草，而且原 有的草还在匀速减少，但是，我们同样可以用类似的方法求出 每天减少的草量和原来的草的总量【思考 2】由于天气逐渐变冷， 牧场

14、上的草每天以固定的速 度在减少，经计算，牧场上的草可供20头牛吃 5 天，或可供16 头牛吃 6天。那么，可供 11 头牛吃几天？8 天，设一头牛一天吃的草量为一份。 牧场每天减少的草量： (205-166)(6-5)=4份，原来的草量：(20+4) 5=120 份，可供 11 头牛吃 120 (11+4)=8 天。总结：想办法从变化中找到不变的量。牧场上原有的草是不变的， 新长出的草虽然在变化， 但是因为是匀速生长， 所以每天新长出的 草量也是不变的。 正确计算草地上原有的草及每天新长出的草， 问 题就会迎刃而解。知识衍变牛吃草基本问题就先介绍到这，希望大家掌握这种方法， 以后出现样吃草问题

15、，驴吃草问题也知道怎么做，甚至，以下 这些问题都可以应用牛吃草问题解决方法例3 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶，小明和小丽从扶 梯上楼，已知小明每分钟走 25 级台阶，小丽每分钟走 20 级台 阶，结果小明用了 5分钟，小丽用了 6 分钟分别到达楼上。该 扶梯共有多少级台阶？【分析 】在这道题中，“总的草量”变成了“扶梯的台阶 总级数”，“草”变成了“台阶”，“牛”变成了“速度” , 所以也可以看成是“牛吃草”问题来解答。【思考 3】两只蜗牛同时从一口井的井顶爬向井底。 白天往 下爬，两只蜗牛的爬行速度是不同的，一只每天爬行 20 分米， 另一只每天爬行 15 分米。黑夜往下滑， 两只蜗牛滑行

16、的速度却 是相同的，结果一只蜗牛恰好用了 5 个昼夜到达井底，另一只 恰好用了 6 个昼夜到达井底。那么，井深多少米？大家说这里什么是牛？什么是草？都什么是不变的？15 米。蜗牛每夜下降：（ 205-15 6）（ 6-5 ） =10 分米 所以井深：（ 20+10） 5=150 分米=15米例 4 一条船有一个漏洞，水以均匀的速度漏进船内，待发 现时船舱内已进了一些水。如果用 12 人舀水， 3 小时舀完。如 果只有 5个人舀水， 要 10小时才能舀完。 现在要想在 2小时舀 完，需要多少人？【分析】典型的“牛吃草”问题，找出“牛”和“草”是 解题的关键【思考 4】一个水池，池底有泉水不断涌出

17、，用10 部抽水机 20 小时可以把水抽干， 用 15 部相同的抽水机 10 小时可把水 抽干。那么用 25 部这样的抽水机多少小时可以把水抽干？5 小时。设一台抽水机一小时抽水一份。 则每小时涌出的水 量是：( 2010-15 10) (20-10)=5 份，池内原有的水是： (10-5)20=100份. 所以, 用 25部抽水机需要 :100 (25-5)=5 小时思维拓展例 5 有一牧场长满牧草，牧草每天匀速生长，这个牧场可 供 17 头牛吃 30 天，可供 19 头牛吃 24 天，现在有若干头牛在 吃草， 6天后， 4头牛死亡，余下的牛吃了 2天将草吃完，问原 来有牛多少头？【分析】“

18、牛吃草”问题的特点是随时间的增长，所研究 的量也等量地增加。解答时，要抓住这个关键问题，也就是要 求出原来的量和每天增加的量各是多少。【思考 5】一个牧场上的青草每天都匀速生长。 这片青草可 供 27 头牛吃 6 天，或供 23 头牛吃 9 天，现有一群牛吃了 4 天 后卖掉 2头，余下的牛又吃了 4 天将草吃完。这群牛原来有多 少头？25头。设每头牛每天的吃草量为 1 份。每天新生的草量为： （239-27 6）（ 20-10 ）=15 份，原有的草量为（ 27-15 ） 6=72份。如两头牛不卖掉， 这群牛在 4+4=8天内吃草量 72+15 8+24=200 份。所以这群牛原来有 200

19、 8=25头例 6 有三块草地，面积分别为 5 公顷， 6公顷和 8 公顷。 每块地每公顷的草量相同而且长的一样快，第一块草地可供 11 头牛吃 10天，第二块草地可供 12头牛吃 14 天。第三块草地可 供 19 头牛吃多少天？【分析 】由题目可知，这是三块面积不同的草地，为了解 决这个问题，首先要将这三块草地的面积统一起来。巩固练习1. 一块牧场长满了草，每天均匀生长。这块牧场的草可供10 头牛吃 40 天，供 15 头牛吃 20 天。可供 25 头牛吃 天。（）A.10 B. 5 C. 20A 假设 1 头牛 1 天吃草的量为 1 份。每天新生的草量为： （10 40-15 20） （

20、40-20 ）=5（份）。那么愿草量为： 10 40-40 5=200（份），安排 5头牛专门吃每天新长出来的草， 这块牧场可供 25头牛吃： 200（ 25-5 ）=10（天）。2.一块草地上的草以均匀的速度生长， 如果 20 只羊 5天可以将草地上的草和新长出的草全部吃光，而 14只羊则要 10 天 吃光。那么想用 4 天的时间，把这块草地的草吃光，需要 只羊。（）A.22 B. 23 C. 24B假设 1 只羊 1天吃草的量为 1 份。每天新生草量是： （14 10-20 5）（ 10-5 ）=8（份）原草量是： 20 5-8 5 60 （份）安排 8只羊专门吃每天新长出来的草， 4 天

21、时间吃光这 块草地共需羊： 60 4+823（只）3画展 9 时开门，但早有人来排队等候入场。从第一个观 众来到时起， 每分钟来的观众人数一样多。 如果开 3 个入场口， 9点 9分就不再有人排队了，那么第一个观众到达的时间是8点分。（）A.10 B. 12 C. 15C假设每个人口每分钟进入的观众量是 1 份。 每分钟来的观众人数为（ 39-5 5）（9-5）=0.5（份） 到 9时止，已来的观众人数为： 39-0.5 922.5 （份） 第一个观众来到时比 9 时提前了： 22.5 0.5 45（分）所以第一个观众到达的时间是 9时-45 分=8时 15 分4. 经测算，地球上的资源可供

22、100亿人生活 100 年，或可 供 80 亿人生活 300 年。假设地球新生成的资源增长速度是一样 的。那么，为了满足人类不断发展的要求，地球最多只能养活 （ ）亿人。70 设 1亿人 1 年所消耗的资源为 1份 那么地球上每年新生成的资源量为： （80300-100 100） （ 300-100 ）=70（份）只有当地球每年新生资源不少于消耗点的资源时，地球上 的资源才不至于逐渐减少，才能满足人类不断发展的需要。所 以地球最多只能养活： 70 1=70（亿人）5. 快、中、慢三车同时从 A地出发，追赶一辆正在行驶的 自行车。三车的速度分别是每小时 24 千米、20 千米、19 千米。 快车

23、追上自行车用了 6 小时，中车追上自行车用了 10 小时，慢 车追上自行车用（ ）小时。12 自行车的速度是： （ 20 10-24 6）（ 10-6 ）=14（千 米/ 小时）三车出发时自行车距 A地：（ 24-14 ） 6=60（千米） 慢车追上自行车所用的时间为： 60（19-14 ）=12（小时）6. 一水池中原有一些水，装有一根进水管，若干根抽水管。进水管不断进水，若用 24 根抽水管抽水， 6 小时可以把池中的水抽干，那么用 16根抽水管， （）小时可将可将水池中的水抽干18 设 1 根抽水管每小时抽水量为 1 份。（1）进水管每小时卸货量是：（ 21 8-24 6）（ 8-6）

24、=12（份）（2）水池中原有的水量为： 218-12 872（份）（3）16 根抽水管，要将水池中的水全部抽干需： 72 （16-12 ）=18（小时）7. 某码头剖不断有货轮卸下货物，又不断用汽车把货物运 走，如用 9辆汽车， 12 小时可以把它们运完， 如果用 8辆汽车， 16小时可以把它们运完。 如果开始只用 3 辆汽车， 10 小时后增 加若干辆，再过 4 小时也能运完，那么后来增加的汽车是 （ ）辆。19 设每两汽车每小时运的货物为 1 份。（1）进水管每小时的进水量为： （ 8 16-9 12）（ 16-12 ） =5（份）（2）码头原有货物量是： 912-12 548（份）（3）

25、3 辆汽车运 10 小时后还有货物量是： 48+（5-3 ） 10=68（份）（4）后来增加的汽车辆数是： （68+45） 4-3=19 （辆）8有一片草地，每天都在匀速生长，这片草可供16 头牛 吃 20 天，可供 80 只羊吃 12 天。如果一头牛的吃草量等于 4 只 羊的吃草量，那么 10 头牛与 60 只羊一起吃可以吃多少天？8天（1）按牛的吃草量来计算， 80 只羊相当于 804=20（头） 牛。（2）设 1头牛 1天的吃草量为 1份。（3）先求出这片草地每天新生长的草量：（1620-20 12）（ 20-12 ） =10（份）（4）再求出草地上原有的草量： 16 20-10 20

26、120（份）（5）最后求出 10头牛与 60 只羊一起吃的天数： 120 （10+604-10 ） =8（天）9. 某水库建有 10 个泄洪闸， 现在水库的水位已经超过安全 警戒线，上游的河水还在按一不变的速度增加。为了防洪，需 开闸泄洪。假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开一 个泄洪闸， 30 小时水位降到安全线，若打开两个泄洪闸， 10 小 时水位降到安全线。现在抗洪指挥部要求在 5.5 小时内使水位 降到安全线，问：至少要同时打开几个闸门？4 个设 1 个泄洪闸 1 小时的泄水量为 1 份。（1）水库中每小时增加的上游河水量：（ 1 30-2 10） （ 30-10 ）=0.5 （

27、份）（2）水库中原有的超过安全线的水量为： 130-0.5 30 15（份）（3）在 5.5 小时内共要泄出的水量是： 15+0.5 5.5 17.75 （份）（4）至少要开的闸门个数为： 17.75 5.5 4（个）（采 用“进 1”法取值）10. 现有速度不变的甲、乙两车，如果甲车以现在速度的2倍去追乙车， 5 小时后能追上，如果甲车以现在的速度去追乙 车， 3 小时后能追上。那么甲车以现在的速度去追，几小时后 能追上乙车？15 小时设甲车现在的速度为每小时行单位“ 1”，那么乙车的速度 为：（25-3 3）（ 5-3 ）=0.5 乙车原来与甲车的距离为：25-0.5 5 7.5 所以甲车以现在的速度去追，追及的时间为：7.5 （ 1-0.5 ） =15（小时）练习题1. 牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长，这片牧草可供 10 头牛 吃 20 天，可供 15 头牛吃 10 天，那么，供 25