等差数列的通项公式 课件

1、 等差数列及其通项公式等差数列及其通项公式 一般地，如果一个数列 a a1 1,a,a2 2,a,a3 3 ， ，a an n 从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一 个常数d， a a2 2 a a1 1 = = a a3 3 - a - a2 2 = = = a = an n - a - an-1 n-1 = = d = = d 那么这个数列就叫做等差数列。常数d叫做等差数 列的公差。 知识回顾知识回顾 an+1-an=d(nn * *) 通通 项项 公公 式式 的的 推推 导导1 1（归纳猜想）（归纳猜想） 设一个等差数列设一个等差数列 an n 的首项是的首项是a1 1, ,公差是

2、公差是d,d,则有：则有： a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d, , 所以有：所以有： 所以等差数列的通项公式是：所以等差数列的通项公式是： an=a1+(n-1)d（nn* *） 问问an=?=? 通过观察：通过观察：a2， a3，a4都可都可 以用以用a1与与d 表示出来表示出来；a1与与d的的 系数有什么特点？系数有什么特点？ a1 1 、 、an n、n、d知三知三 求一求一 a2=a1+ d, a3=a1+2d, a4=a1+3d, an=a1+(n-1)d a2=a1+d, a3=a2+d = (a1+d) + d = a1+ 2d a4=a3+d = (a1+2d)

3、+d =a1+3d 21 aad 32 aad 43 aad 12nn aad 1nn aad 叠加得叠加得 1 (1) n aand 等差数列的通项公式推导等差数列的通项公式推导2（叠加）（叠加） dnaa n )1( 1 例第一届现代奥运会于例第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每年在希腊雅典举行，此后每4年年 举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算。举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算。 （1）试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式）试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式 （2）2008年北京奥运会是第几届？年北京奥运会是第几届？2050年举行奥运会吗？年举

4、行奥运会吗？ 解解:（1）由题意知，举行奥运会的年份构成的数列是一个以）由题意知，举行奥运会的年份构成的数列是一个以 1896为首项，为首项，4为公差的等差数列。这个数列的通项公式为为公差的等差数列。这个数列的通项公式为 an=1896+4(n-1) =1892+4n(nn*) (2) 假设假设an=2008, 由由 2008=1892+4n, 得得 n=29. 假设假设an=2050,2050=1892+4n 无正整数解无正整数解 答：所求通项公式为答：所求通项公式为 an= 1892+4n(nn*) ， 2008年北京奥运会是第年北京奥运会是第29届，届，2050年不举行奥运会年不举行奥运

5、会 例例.在等差数列在等差数列an中中,已知已知a3=10, a9=28,求求a12 。 。 推广：推广：等差数列等差数列an中中，am,an(nm) 等差数列的通项公式一般形式等差数列的通项公式一般形式: an = am + (nm)d. 解：由题意得解：由题意得 a1+2d=10 a1+8d=28 所以所以a12=4+(12-1) 3=37 注注:a12=a1+11d=+(12-3)d=+(12-3)d =+(12-9)d=+(12-9)d 解得：解得： a1=4 d=3 练一练练一练：已知：已知a5=11, a8=5, 求等差数列求等差数列an的通项公的通项公 式式. 练练 习习 1 1

6、、填空题：、填空题： (1)(1)已知等差数列已知等差数列3 3，7 7，1111，则，则a11= (2)(2)已知等差数列已知等差数列1111，6 6，1 1，则，则an = (3)(3)已知等差数列已知等差数列1010，8 8，6 6， ，中，中，-10是第（是第（ ） 项项 43 -5n+16 11 练习练习 2.已知等差数列已知等差数列an的通项公式为的通项公式为an=2n 1. 求首项求首项a1和公差和公差d. 变式引申变式引申: 如果一个数列如果一个数列an的通项公式的通项公式an=kn+d, 其中其中k,b都是常数都是常数,那么这个数列一定是等差数列吗那么这个数列一定是等差数列吗

7、? 语言描述这种现象语言描述这种现象 想一想！想一想！ 1 a 11 1 (1)(1) 2(2) mn aaamdand amnd mnpq mnpq aaaa d n a nqpnm, qpnm qpnm aaaa 在等差数列在等差数列中，中，为公差，若为公差，若 且且 求证：求证： 证明：证明： 设首项为设首项为，则，则 例例2. 11 1 (1)(1) 2(2) pq aaapdaqd apqd 等差数列的性质等差数列的性质 若p=q呢? 2 ,2 mnp mnpaaa若则有 练习练习 .在在等差数列等差数列an中中 (1) 已知已知 a6+a9+a12+a15=20，求，求a1+a20

8、 (2）已知）已知 a3+a11=10，求，求 a6+a7+a8 分析：由分析：由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12 及及 a6+a9+a12+a15=20， 可得可得a1+a20=10 分析：分析： a3+a11 =a6+a8 =2a7 ， ，又已知 又已知 a3+a11=10， a6+a7+a8= （a3+a11）=15 2 3 例题分析例题分析 1591317 315 (3)117, n aaaaaa已知数列是等差数列，且 求a +a 的值 1 1. .等差数列等差数列 an 的前三项依次为的前三项依次为 a-6-6，2 2a -5-5，-3-3a +2 2， 则则 a

9、 等于（等于（ ) ) a . -. -1 1 b . . 1 1 c . .-2 -2 d. 2 b 2. 在在数列数列an中中a1=1，an= an+1+4，则，则a10= 2(2a-5 )=(-3a+2) +(a-6-6)提示提示1: 提示：提示：d=an+1an=4 -35 3. 在在等差数列等差数列an中中 (1) 若若a59=70，a80=112，求，求a101； (2) 若若ap= q，aq= p ( pq )，求，求ap+q d=2,a101=154 d= -1, a p+q =0 课堂练习课堂练习 1 3746 2 1 1,101 25 2,12,4 . (3)94 18 n

10、 n ad aaaaa a 练习题 （）等差数列第项大于 ，求公差 的范围 （ ）已知等差数列满足 求数列的通项公式 四个数成等差数列，其中四个数的平方和为， 第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数 的积少，求这四个数。 152535 33,66,aaa在等差数列中，求的值(4) 例3 1 1 21, 2 nnnn n aaa aa 已知数列的各项均为正数，且满足a ，求 练习练习 已知已知 ，求，求 的值。的值。 )( 2 1)(2 ) 1(, 2) 1 ( * nn nf nff )2007(f 1005 2 3 2007 2 1 )2007( 2 3 2 1 )( 2 1 2)( 2

11、 1 )() 1( 1)(2) 1(2 f nnf nf nfnf nfnf 即 的等差数列，公差为是首项为 解解: 小结小结 掌握等差数列的通项公式，并能运用公掌握等差数列的通项公式，并能运用公 式解决一些简单的问题式解决一些简单的问题 an=a1+(n1)d 提高观察、归纳、猜想、推理等数学能力提高观察、归纳、猜想、推理等数学能力 a am m+ +a an n= =a ap p+ +a aq q 上面的命题中的等式两边有上面的命题中的等式两边有 相相 同同 数数 目目 的项，否则不成立。如的项，否则不成立。如a a1 1+ +a a2 2=a a3 3 成立吗？ 成立吗？ 【说明说明】

12、3.3.更一般的情形，更一般的情形，a an n= = ，d d= = 1. 1. a an n 为等差数列为等差数列 2. 2. a a、b b、c c成等差数列成等差数列 a an n+1 +1- - a an n=d =da an n+1 +1=a =an n+d+d a an n= a a1 1+ +( (n-n-1) 1) d d a an n= = kn + bkn + b（k k、b b为常数）为常数） a am m+ +( (n n - - mm) ) d d mn aa mn b b为为a a、c c 的等差中项的等差中项 2 ca b 2 2b= a+cb= a+c 4.4.在在等差数列等差数列 a an n 中，由中，由 m+n=p+q m+n=p+