2.3.2等腰三角形的判定

1、三角形三角形 本章内容 第第2章章 等腰三角形等腰三角形 本课内容本节内容 2.3 在一般的三角形中,如果有两个角相等, 那么它们所对的边有什么关系? c b a 即：若abc中,b=c,则 ab与ac有什么关系？ 数学符号表示：数学符号表示： 探究探究 说一说说一说 我测量后发现 ab与ac相等. c b a 探究探究 事实上,如图, 在abc中,b=c.沿过点a 的直线 把bac 对折,得bac 的平分线ad 交bc 于点, 则12.又bc. 由三角形内角和的性质 得adb adc. 沿ad所在直线折叠, 由于adb adc, 12,所以射线db与射线 dc重合,射线ab与射线ac重合从而

2、 点b与点c重合, 于是ab ac 做一做做一做 已知abc中,abc=acb. 求证：ab=ac. cb a d 证明：过点a做ad bc于d. 则adb=adc. 在abd和acd中 abc=acb adb=adc ad=ad 所以abd acd（asa） 则ab=ac. 结论结论 有两个角相等的三角形是等腰三角 形（简称“等角对等边”）. 结论结论 由此并且结合三角形内角和定理, 还可 以得到等边三角形的判定定理： 三个角都是60的三角形是等边三角形. 举举 例例 例例1 已知：如图,在abc 中, ab = ac, 点d, e 分别是ab,ac上的点, 且debc. 求证：ade为等腰

3、三角形. 证明 ab = ac， b =c. 又 debc， ade =b， aed =c. ade =aed. 于是ade为等腰三角形. 练习练习 已知：如图,在等边三角形abc的ac边上的取 中点d,bc的延长线上取一点e,使得ce=cd. 求证：bd=de. 证明： abc是等边三角形,d是ac中点 acb=60,cbd=30 cd=ce e=cde bcd=e+cde=2e=60 e=30=cbd bd=de 动脑筋动脑筋 有一个角是60的等腰三角形是等边三 角形吗? 为什么? 在等腰三角形abc中， ab = ac. 由三角形内角和定理得a +b +c = 180. 如果顶角a =

4、60， 则b +c = 180 60 = 120. 又ab = ac， b =c. b =c =a = 60. abc是等边三角形. 如果底角b=60（或c=60）， 同样可以证明abc是等边三角形. 结论结论 有一个角是60的等腰三角形是等 边三角形. 例例2 已知：如图,abc 是等边三角形, 点d, e 分 别在ba,ca的延长线上,且ad = ae. 求证：ade是等边三角形. 举举 例例 证明 abc是等边三角形， bac =b =c = 60. ead =bac = 60， 又ad = ae， ade是等边三角形（有一个 角是60的等腰三角形是等边三 角形）. 如图，把一张矩形的纸

5、沿对角线折叠， 重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？ 动脑筋动脑筋 由折叠可知：ebd=cbd， 在矩形abcd中，adbc， 则cbd=fdb, 所以fdb=ebd 所以bf=df 例例3 如图，abc中,acb的平分线交ab于 点e,过点e作fe/bc,交ac于点o,交acd的平 分线于点f,求证：eo=fo. 举举 例例 举举 例例 证明： ce平分acb，cf平分acd， 1=2，3=4. ef bc, 2=5，3=6, 1=5，4=6, eo=co,fo=co, eo=fo. 小结与复习小结与复习 等腰三角形的判定方法有哪些？ 等边三角形的判定方法有哪些？ 中考中考 试题试题 例例1

6、 如图，已知点d为等腰直角abc内一点， cadcbd15，e为ad延长线上的一 点，且ceca （1）求证：de平分bdc； （2）若点m在de上，且dc=dm， 求证： me=bd 中考中考 试题试题 （1）在等腰直角abc中， cad=cbd=15o， bad=abd=45o-15o=30o， bd=ad，bdc adc， dca=dcb=45o 由bdm=abd+bad=30o+30o=60o， edc=dac+dca=15o+45o=60o， bdm=edc， de平分bdc； 中考中考 试题试题 （2）如图，连接mc， dc=dm，且mdc=60， mdc是等边三角形，即cm=cd 又emc=