极坐标与参数方程综合运用题型一

1、极坐标与参数方程综合运用题型 （一 ）题型分析】例 1】已知曲线 C1 的参数方程为21t23t2 曲线 C2 的极坐标方程为=2 cos（ ），题型一圆上的点到直线距离的最值以极点为坐标原点，极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系（1）求曲线 C2 的直角坐标方程； （2）求曲线 C2上的动点 M到直线 C1的距离的最大值解：（）即 2=2（ cos+sin ） ， x2+y22x 2y=0，故 C2 的直角坐标方程为（ x 1）2+（ y1）2=2）曲线 C1 的参数方程为， C1的直角坐标方程为，由（）知曲线 C2是以（ 1，1）为圆心的圆， 且圆心到直线 C1的距离 由（）知曲线 是以

2、（ ， ）为圆心的圆，且圆心到直线 的距离动点 M到曲线 C1 的距离的最大值为变式实践 1】1已知曲线 C1：x2sin ，曲线 C2 ：y3t25（ t 为参数）4t5I ）化 C1为直角坐标方程，化 C2 为普通方程；II ）若 M为曲线 C2 与 x 轴的交点， N为曲线C1上一动点，求 |MN| 的最大值解：（I）2 2 2 2曲线 C1的极坐标化为 2=2sin ，又 x2+y2=2，x=cos，y=sin 所以曲线C1 的直角坐标方程 x2+y22y=0，因为曲线 C2 的参数方程是消去参数 t 得曲线 C2 的普通方程 4x+3y 8=0II ）因为曲线 C2为直线令 y=0，

3、得 x=2，即 M点的坐标为（ 2， 0）曲线 C1为圆，其圆心坐标为 C1（0，1），半径 r=1 ，则，|MN|的最大值为2已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线 l 的极坐标方1程为： sin（ ） ，曲线 C 的参数方程为：622 2cos（ 为参数）2sinI ）写出直线 l 的直角坐标方程；）求曲线 C上的点到直线 l 的距离的最大值解：（ 1）直线 l 的极坐标方程为：sin cos) = ， x y+1=02）根据曲线 C 的参数方程为： 为参数）得（ x 2） +y =4，它表示一个以（ 2，0）为圆心，以 2 为半径的圆，圆心到直线的距离为：

4、d= ，曲线 C上的点到直线 l 的距离的最大值3已知在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程是t 是参数），以原点 O为极点， Ox为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为2cos(4)展开为 2=平方为2）由直线 l 上的点向圆 C 引切线长 =1，圆心为1）求圆心 C 的直角坐标；（2）由直线 l 上的点向圆 C 引切线，求切线长的最小值），化为解：（1）由圆 C的极坐标方程 =2cos（+，化为 x2+y2=5，由直线 l 上的点向圆 C 引切线长的最小值为 5题型二 利用三角函数求最值例 2】 在直角坐标系 xOy中，直线 l 的方程为 x y 40，x 3cos ，曲线

5、 C 的参数方程为y sin ( 为参数 ) (1) 已知在极坐标系 ( 与直角坐标系 xOy取相同的长度单位，且以原点 O为极点，以 x 轴正半轴为极轴 ) 中，点 P 的极坐标为 4， 2 ，判断点 P 与直线 l 的位置关系；(2) 设点 Q是曲线 C上的一个动点，求它到直线 l 的距离的最小值解：(1) 把极坐标系下的点 P4， 2 化为直角坐标得 P(0,4) ， P(0,4) 满足方程 xy40，点 P 在直线 l 上(2) 因为点 Q是曲线 C上的点，故可设点 Q的坐标为 ( 3cos ，sin ) ，所以点 Q 到直线 l 2cos 4 | 3cos sin 4|6的距离 d2

6、( R) 则当 cos 6 1 时，d 取得最小值 2变式实践 2】1在直角坐标系中，曲线C1 的参数方程为：x 2cosy 2sin( 为参数) ，以原点为极点， xC2的极坐标方程轴的正半轴为极轴，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系，曲线为：cos(1) 求曲线 C2的直角坐标方程； (2) 若 P，Q分别是曲线 C1和 C2上的任意一点， 求|PQ| 的最小值11 解： (1) cos ，x2y2x，即 (x2)2y24.(2) 设 P(2cos ， 2sin )，易知 C2( 12，0) ，|PC2|(2cos 12)2( 2sin )22 1 24cos 2cos 4 2s

7、in 1 当 cos 2时，29 2cos 2cos 4，| PC2| 取得最小值， | PC2| min 27， | PQ| min 72 12在直角坐标系xOy中，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知曲线C1的极坐标方程为2 = 2 2 ，直线 l 的极坐标方程为1 sin242sin cos(1) 写出曲线 C1 与直线 l 的直角坐标方程；(2) 设 Q为曲线 C1上一动点，求 Q点到直线 l 距离的最小值x 2cos ， y 3sin |2 3cos d3sin 4 3|2| 15cos 24 3|1，其中 tan 2.当 cos( ) 1 时，dmax15 4

8、 32即点 P 到直线 l 的距离的最大值为15 4 3222xy4已知曲线 C： 1，直线 l ：49x2 t ，y22t( t 为参数 ) (1) 写出曲线 C的参数方程，直线 l 的普通方程；(2) 过曲线 C上任意一点 P作与 l 夹角为 30的直线，交 l 于点 A，求| PA|的最大值与最小值解：(1) C1：x 设点 P(2cos ， 3sin ) ，则点 P到直线 l 的距离2y22，l ： 2yx4.(2) 设 Q( 2cos ，sin ) ，则点 Q到直线 l 的距离|2sin （4） 4| 2 2 33 3 3 当且仅当 42k 2 ( k Z) ，即 2k 4 ( kZ

9、)时取等号3以平面直角坐标系的原点为极点， 以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 设曲线 C 的参数方x 2cos ，程为( 是参数 ) ，直线 l 的极坐标方程为 cos 6 2 3.y 3sin 6(1) 求直线 l 的直角坐标方程和曲线 C的普通方程；(2) 设点 P为曲线 C上任意一点，求点 P 到直线 l 的距离的最大值 解：(1) 直线 l 的极坐标方程为 cos 6 2 3， cos cos 6 sin sin 6 2 3， 23x 21y 2 3，即直线 l 的直角坐标方程为3x y4 3 0.解(1) 曲线 C 的参数方程为x 2cos y 3sin，( 为参数 )直线 l

10、 的普通方程为2xy60.(2) 曲线 C上任意一点 P(2cos ， 3sin) 到 l 的距离为 d55|4cos5 3sin 6| ，2 2 2 2得x4y31，即曲线 C的普通方程为 x4y31.则 | PA|当 sin(当 sin(d sin 305|5sin( ) 6| ，其中 为锐角，且) 1时， | PA| 取得最大值，最大值为5 .25 ) 1 时， | PA| 取得最小值，最小值为.5tan43.4x15t5在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 ( t 为参数 ) ，若以 O为极点，y 135tx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 2cos 4

11、.(1) 求直线 l 被曲线 C所截得的弦长； (2) 若 M(x，y)是曲线 C上的动点，求 xy 的最大值解： (1) 直线 l 的参数方程为4x15t3y135t(t 为参数 ) ，消去 t，可得 3x4y10.由于 2cos 4 2 2 2 2 1 即有 2cos sin ，则有 x2y2xy 0，其圆心为 2，cos 22sin ，12 ，半径为 r 2，2，3 212 圆心到直线的距离 d 916110，故弦长为 2 r 2 d2 272 100 5.11(2) 可 设 圆 的 参 数 方1x2y21 22sin，即1 2 1 2 M2 2 cos ， 2 2 sin22 则 x

12、y 2 cos 2 sinsin 4 ，由于 R，则 x y 的最大值为 1.6(2015新乡许昌平顶山第二次调研1 x12t ) 已知直线 l ：x(t 为参数 ) ，曲线 C1： y 23tycossin(为参数 ) (1) 设 l 与 C1相交于 A，B两点，求 |AB| ；，得到曲线 C2，设点 P（2） 若把曲线 C1 上各点的横坐标压缩为原来的 12，纵坐标压缩为原来的 23x2y21.是曲线 C2 上的一个动点，求它到直线 l 的距离的最小值解： （1） l 的普通方程为 y 3（x1） ，C1的普通方程为联立方程 y2 23（x1）x2y21，解得l 与 C1的交点为 A（1

13、，10)，B 12，32则 |AB| 1.（2） C2 的参数方程为从而点 P 到直线 l1x 2cos 23sin2（为参数）故点 P的坐标是 12cos23sin .的距离23cos 23sin 3 3 d242sin当 sin 4 1时，d 取得最小值，且最小值为 46（ 2 1）题型三 根据最值求点坐标例 3】在直角坐标系 xOy中，曲线 C1的参数方程为x 3cos （y sin为参数），以原点 O为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为 sin（1）求曲线 C1 的普通方程与曲线 C2的直角坐标方程；2）设P为曲线 C1上的动点，求点 P到 C2 上点

14、的距离的最小值，并求此时点P坐标解：（1）曲线 C1 的参数方程为 为参数），则由sin22 +cos =1 化为 +y2=1，曲线 C2 的极坐标方程为 sin+ )=4 ，即有 sin cos+cossin=4 ，即为直线 x+y 8=0；2），则当则 d=设 P（ cos， sin ），则 P 到直线的距离为 d，sin (） =1， 此 时=2k， k 为整数， P 的坐标为（ ， ），距离的最小值为变式实践 3】1在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数 ） ，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系， C的极坐标方程为2 3sin .（1） 写出 C的直角坐标

15、方程；（2） P 为直线 l 上一动点，当 P 到圆心 C的距离最小时，求 P 的直角坐标解： （1） 由 2 3sin ，得 22 3sin ，从而 x2y22 3y，所以 x2（ y 3）23.(2) 设 P 321t ， 23t故当 t0时，|PC| 取得最小值，此时， P点的直角坐标为 （3，0）2在平面直角坐标系 xOy中，以坐标原点 O为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 C的极坐标方程为 2sin， 0,2 . (）求曲线C 的直角坐标方程；（） 在曲线 C 上求一点D ，使它到直线 l ：x 3t3,（t为参数， t R）的距离最短，y 3t2并求出点 D 的直角坐标

16、 .（）解：由 2sin ，0,2 ，可得222 2 sin ，因为 222x y ，sin y ，所以曲线 C 的普通方程为22x y 2y0（或 x2 y21 2 1 )（）解法一：因为直线l 的参数方程为x3t 3,（ t为参数，t R ），y3t 2消去 t 得 3x y 5 0因为曲线 C2 x2y 1 21 是以 G 0,1为圆心， 1为半径的圆，因为点 D 在曲线 C 上，所以可设点 Dcos,1 sin0,23cos sin 4 所以点 D 到直线 l的距离为 d2 sin 23因为 0,2 ，所以当时，dmin 1此时 D3 ，3 ，所以点 D 的坐标为3 ，36 2 2 2

17、 2解法二：因为直线的参数方程为x 3t3, ( t 为参数， t R )，y 3t 2消去 t得直线 l 的普通方程为 y 3x 5因为曲线 C：x2 y 1 2 1是以G0,1 为圆心， 1 为半径的圆，设点 D x0, y0 ，且点 D 到直线 l ： y3x 5 的距离最短，所以曲线 C在点 D处的切线与直线 l ：3x 5 平行即直线GD与l 的斜率的乘积等于 1，y0 1 3x01 因为 x022y0 1 1 ，解得x03或x0223 所以点 D的坐标为23，12 或3 ，3 22由于点D 到直线y 3x 5的距离最短，所以点 D 的坐标为3，3223已知曲线 C1：，（ 为参数）

18、， C2：，（ 为参数）化 C1， C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；）若 C1上的点 P 对应的参数为，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线 C3：t 为参数）距离的最小值及此时Q点坐标解：（）据题，由曲线C1：，（为参数），得（ x+4） 2+（ y 3）2=1，它表示一个以（ 4， 3）为圆心，以 1 为半径的圆，由 C2：，（为参数）得它表示一个中心为坐标原点，焦点在轴上，长半轴长为8，短半轴长为 3 的椭圆，）当， P（ 4，4）， Q（8cos， 3sin) ，故 M( 2+4cos， 2+ sin )，由直线 C3：，（t 为参数），得 x2y 7=0，它表示一条

19、直线， M到该直线的距离为：|5cos （ +） 13| ，（其中 sin = ，cos= ）， 当 cos（+） =1 时， d取最小值，从而，当 sin = ， cos= ，时， d 有最小值d= =，此时，点Q（强化训练】 1在极坐标系中，已知圆 C 的圆心 C（ ， ），半径 r= （）求圆 C 的极坐标方程；（）若 0， ），直线l的参数方程为（t 为参数），直线l交圆 C于A、B两点，求弦长 |AB| 的取值范围解：（） C（， ）的直角坐标为（ 1，1），圆 C的方程为（ x1）则曲线 C2的极坐标方程为 22sin =0，即 =2sin （II ）设 T（cos，sin ），

20、0 ， 切线的参数方程为：（t 为参 数），2代入 C2的方程化为： t 2+2tcos （） sin +12sin=0，+（y 1）2=3化为极坐标方程是 22（ cos+sin ） 1=0（）将 代入圆 C的直角坐标方程（ x1） 2+（ y1）2=3，2 2 2得（ 1+tcos ） 2+（1+tsin ） 2=3，即 t 2+2t （cos+sin） 1=0 t 1+t 2= 2（cos+sin ）， t 1?t 2= 1|AB|=|t 1t 2|=2 0， ），2 0 ， ），2 |AB| 2 即弦长 |AB| 的取值范围是 2 ，2 ）2在以直角坐标原点 O为极点， x 轴的非负半

21、轴为极轴的极坐标系下，曲线C1 的方程是 =1， 将 C1向上平移 1 个单位得到曲线 C2（）求曲线 C2的极坐标方程；）若曲线 C1的切线交曲线 C2 于不同两点 M，N，切点为 T，求|TM|?|TN| 的取值范围解：（I ）曲线 C1的方程是 =1，即 2=1，化为 x2+y2=1，2 2 2 2 将 C1向上平移 1 个单位得到曲线 C2：x2+（y1）2=1，展开为 x2+y22y=0t 1t 2=12sin ， |TM|?|TN|=|t 1t 2|=|1 2sin| 0 ，1 ，|TM|?|TN| 的取值范围是 0，13在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为1x32t，

22、（t 为参数 ） ，以原点为极点， x 轴y正半轴为极轴建立极坐标系， C 的极坐标方程为 （1） 写出 C 的直角坐标方程； （2） P 为直线 l 上一动点，当 P 到圆心 C的距离最小时，求 P 的直角坐标解： （1） 由 2 3sin ，得 22 3sin ，从而有 x2y22 3y，所以 x2（ y 3）2 3.（2） 设 P 312t ，又 C（0， 3），则| PC|21t 2 232t 3 t 12，故当 t0时，|PC| 取得最小值，此时， P点的直角坐标为 （3，0）4在平面直角坐标系中，曲线C1 的参数方程为：极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标

23、方程为1）求曲线 C2 的直角坐标方程；2）已知点 M是曲线 C1 上任意一点，点 N是曲线 C2 上任意一点，求2 2 2解：（ 1）由 =2cos，得 2=2cos， x2+y2=2x，（ x1）2）设点 M（4cos，3sin ），则|MC2| 1|MN|MC2|+1 ，2 2 2 2|MC2| =（4cos 1） +9sin =7cos 8cos+10，2当 cos= 1 时，得 |MC2| 2max=25， |MC2| max=5， |MC2| min=，当 cos =，得 |MC2| 2min|MC2| 1|MN|MC 2|+1 5+1， |MN| 的取值范围5已知曲线 C1：，（

24、 为参数）， C2：为参数），以坐标原点 O 为=2cos|MN| 的取值范围222+y2=1，6 ，（ 为参数）化 C1， C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；）若 C1上的点 P对应的参数为 = ，Q为 C2上的动点，求 PQ中点 M到直线 C3： （ t 为参数）距离的最小值及此时 Q点坐标解：（）据题，由曲线 C1：，（ 为参数），得（ x+4） 2+（ y 3）2=1，它表示一个以（ 4，3）为圆心，以 1 为半径的圆，由C2：，（ 为参数）得它表示一个中心为坐标原点，焦点在轴上，长半轴长为8，短半轴长为 3 的椭圆，（）当时， P（ 4， 4）， Q（8cos， 3s

25、in ） ，故 M（ 2+4cos， 2+ sin ），由直线 C3：，（t 为参数），得 x2y 7=0，它表示一条直线， M到该直线的距离为：d= =，时，d 有最小值|5cos （ +） 13| ，（其中 sin = ，cos= ）， 当 cos（ +） =1 时， d 取最小值，从而， 当 sin = ，cos=此时，点 Q（6在平面直角坐标系 xOy 中，已知三圆 C1： x2+y 2=4， C2：（ x+ ） 2+（y1）2=4，C3：（ 为参数）有一公共点 P（ 0， 2）（）分别求 C1与 C2，C1与 C3异于点 P的公共点 M、N的直角坐标；）以坐标原点为极点， x 轴正半

26、轴为极轴建立极坐标系，求经过三点O、M、N 的圆 C的极 坐标方程解：（I ）圆 C3的直角坐标方程为（ x ）2+（y 1） 2=4联立方程组 ，解得 或 M（ ， 1），N（ ， 1）（II ） M， N的中垂线方程为 x=0，故过点 M， N， O三点的圆圆心在 y 轴上，设圆的半径为 r，则（ r1）2+=r 2，解得 r=2 圆心坐标为（ 0，2）经过三点 O、M、 N的圆 C的直角坐标方程为 x2+（y+2）2=4即 x2+y2+4y=02经过三点 O、M、 N的圆 C 的极坐标方程为 2+4sin =0，即 =4sin 7在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立

27、极坐标系，已知圆C 的圆心C极坐标为（1, ） ，半径 r=1（1）求圆2C的极坐标方程；2）若（0, ），直线 l 的参数方程为2x 1 t cosxy 12 ttcsoins （t 为参数），点P的直角坐标为 （1,2） ，直线 l 交圆C于 A， B 两点，求解：（1）圆 C的圆心 C 极坐标为（ 1，），半径 r=1 ，圆心 C的直角坐标 C（0，1），圆的直角坐标方程为x 2+（ y 1） 2=1，即 x2+y2 2y=0，圆 C的极坐标方程为 22sin =0，即 =2sin 2）l 的参数方程为代入圆2 2 2C：x2+( y 1)2=1，得 t 2+2(sin +cos) t+

28、1=1 ，由直线参数方程的几何意义得 |PA|+|PB|=2|sin+cos| ，|PA|?|PB|=1， 0 ，当=时，的最小值8已知曲线 C 的极坐标方程是 =1，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为为参数）1）写出直线 l 与曲线 C 的直角坐标方程；x 2 x2）设曲线 C 经过伸缩变换得到曲线 C，设曲线 Cyy上任一点为 M（x ，y），求的最小值解：（ 1）直线 l 的参数方程为为参数）由上式化简成 t=2 （x1）代入下式得 根据 2=x2+y2，进行化简得 C：x2+y2=1（2 分）2)代入 C得（5 分）设椭圆的参数方程为参数）（

29、7 分）则 的最小值为 4（ 10 分）9在平面直角坐标系中，曲线C1 的参数方程为? 为参数），以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2 是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线与曲线 C23 交于点 D（2, ） 3（1）求曲线 C1，C2 的普通方程；2) A( 1, )， B(） 是曲线 C1 上的两点，求 1212 的值2（ ? 为参数），普通方程为解：（1）曲线 C1 的参数方程为与曲线 C2 交于点曲线 C2 是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线，曲线C2的普通方程为（ x2） 2+y2=4C12）曲线 C1 的极坐标方程为=所以10已知平面直角坐标系 xoy 中，以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线方程为 =2sin ； C2 的参数方程为t 为参数）写出曲线 C1 的直角坐标方程和 C2 的普通方程； （）设点 P 为曲线 C1上的任意一点，求点 P 到曲线 C2距离的取值范围 解：（I ）曲线 C1方程为 =2sin ，可得 2=2sin ，可得 x2+y2=2y， C1的直角坐标方程： x2+（ y1）2=1，C2的参数方程为，消去参数 t 可得： C2的普通方程：（ 4 分）II ）由（