两角差的余弦公式教案设计

1、两角差的余弦公式教学设计广东信宜中学 梁北永一、 学情分析本课时面对的学生是高一年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望。在学习本节课之前，学生已经学习了任意角三角函数的概念、平面向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示，这为他们探究两角差的余弦公式建立了良好的知识基础。二、 教学内容分析本节内容是教材必修4第三章三角恒等变换第一节，推导得到两角差的余弦公式是本章所涉及的所有公式的源头。过去教材曾用余弦定理证明两角和的余弦公式，虽能对学生进行思维训练，但过程繁琐，不易被学生接受。由于向量工具的引入，新教材选择了两角差的余弦公

2、式作为基础，这样处理使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算，大大地降低了思考的难度，也更易于学生接受。从知识产生的角度来看，在学习了三角函数及平面向量后再学习由这些知识推导出的新知识也更符合知识产生的规律，符合人们认知的规律。从知识的应用价值来看，重视数学知识的应用，是新教材的显著特点，课本中丰富的生活实例为学生用数学的眼光看待生活、体验生活即数学理念，体验用数学知识解决实际问题，有助于增强学生的数学应用意识。基于上述分析，本节课的教学重点是引导学生通过合作、交流，探索两角差的余弦公式，为后续简单的恒等变换的学习打好基础。三、 教学目标1、知识目标通过两角差的余弦公式的探究，让学生在初步理解公式

3、的结构及其功能的基础上记忆公式，并用之解决简单的数学问题，为后面推导其他和（差）角公式打好基础。2、能力目标通过利用同角三角函数变换及向量推导两角差的余弦公式，让学生体会利用联系的观点来分析问题，解决问题，提高学生逻辑推理能力和合作学习能力3、情感目标使学生经历数学知识的发现、创造的过程，体验成功探索新知的乐趣，获得对数学应用价值的认识，激发学生提出问题的意识以及努力分析问题、解决问题的激情。四、 教学重点、难点重点：通过探索得到两角差的余弦公式。难点：探索过程的组织和适当引导。五、 教学基本流程 引入问题，提出探究明确途径，组织和引导学生自主探索 例题、练习讲解，深化公式的理解与运用小 结

4、作 业 六、 教学过程(一) 问题引入我们在初中时就知道一些特殊角的三角函数值，例如，而，那么大家猜想一下，等于多少呢？是不是等于呢？根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！也就是一般不等于，下面我们就一起探究两角差的余弦公式。（设计意图：教科书以一个实际问题（求电视发射塔的高度）作为引子，目的在于提出问题，引入研究课题。同时帮助学生认识到数学与实际生活有关，体会数学的应用价值。解决这个实际应用问题需要用方程的思想分析问题，考虑到我班学生的实际情况，这样做一定程度会抢去这节课主要研究内容的风头。而且，在这个问题中要解决的与这节课要研究的的联系不够直接。用来引入，一来可以节省时间，二来

5、引出课题更加直接，更加自然。）(二) 公式探究第一步，明确探究途径与目的yOxAB提示学生联系与角的余弦相关的知识点，明确以向量运算中的数量积与三角函数线作为研究途径。如右图，在单位圆中作出角，它们的终边与单位圆分别交于A、B两点，先假设，且，提出以下问题：（1） 此时的取值范围是多少？（2） 图中哪个角可以表示？（3） 可以看作是哪两个向量的夹角？（问题设计目的：在探究公式的过程中，教材不要求学生做到一步到位。首先对角选择较为特殊的范围来进行探究，能让学生从整体上感知本节课所要探究的途径与目的，让大部分学生都参与到探究中来，避免部分学生一开始就感觉到困难，提不起向下探究的兴趣。）第二步，复习

6、相关知识（1）向量的数量积运算（强调向量夹角的范围）（2）三角函数线（结合图形，特别要强调方向问题）第三步，推导公式在证明公式之前先引导学生结合三角函数知识写出点A、点B的坐标。证明：在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以Ox为 始边作角，其中，且，它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B，则 由向量数量积的坐标表示，有： 由，且知，那么向量的夹角就是，由数量积的定义，有于是 （1） 由于我们前面的推导均是在，且的条件下进行的，因此（1）式还不具备一般性。事实上，只要，所表示的就是向量的夹角。（这一点可以结合图形作出说明。） 但是，若，（1）式是否依然成立呢？当时，设与的夹角为，则另一方面，于是

7、所以也有 综上所述，得出公式：对任意的，（说明：公式的推导遵循由浅入深，由特殊到一般，逐层深入的规律，这样安排，能让更多学生参与到探究当中。教材当中对公式给出了两种证明方法，一是几何方法，一是向量方法。几何方法的推导过程较为繁难，教材仅仅对特殊情况作了分析，而向量方法则显得更加直观和简洁。为了让学生体验向量工具的优点，可以布置学生在预习时按照教材的思路采取几何方法进行证明。）第四步，公式的记忆让学生自己总结公式的特点，便于记忆。注： 1.公式中两边的符号正好相反（一正一负）；2.式子右边同名三角函数相乘再加减，且余弦在前正弦在后；3.式子中、是任意的。(三) 例题讲解例1 利用差角余弦公式求。

8、解：方法一：方法二：（设计意图：此题是对公式的直接应用，体现了角的拆分的思想。拆分的多样性，体现了变换的多样性。求解的过程可以完全由学生独立完成。）思考：如何求？（设计意图：由的值求的值，为后面变换函数种类的思考作出铺垫。）解题思路： 解：由，得又由是第三象限角，得所以 =（设计意图：此题是应用、理解公式的基础练习，解此题需要思考使用公式前应作出的必要准备，要作出这些必要的准备，需要运用到同角三角函数的知识。解题时必须强调解决三角变换问题的基本要求：思维的有序性和表述的条理性。）思考：如果去掉条件中的，对题目和结果有没有影响？（设计意图：让学生学习分类讨论的思想，提高表达能力。）例3 化简求值（设计意图：此题是对公式的逆用，目的是加强学生对公式的理解与应用。）例4已知都是锐角，求 的值。（设计意图：此题是对公式的活用，由学生讨论解决。此题一般有两种方法可以求解。一种方法是把分解，此公式还没推导，但部分学生可能会把看作，然后用两角差的余弦公式分解，再结合同角三角函数的基本关系求解。这种方法虽然较繁，但却让学生在无意当中发现了两角和的余弦公式。另一种方法是把看做两角差，即，这种方法显然计算要简单得多。通过不同方法的讲解，鼓励学生从不同的角度思考问题，并指引学生在考试中选择较为简便的方法解题