高中数学新学案同步 必修4 苏教版：第二章 平面向量 章末检测试卷(二)

1、3 ，7 2，3 解析 ac (abbc)23 4 1 3 45 51 11 1章末检测试卷 (二)(时间：120 分钟 满分：160 分)一、填空题(本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分) 1 1 已知向量ab(3，7)，bc(2，3)，则 ac_.21答案 ，521 1 1 2 2 2 1 ，5 .2已知向量 a(1，1)，b(2，x)，若 ab 与 ab 平行，则实数 x_.答案 2解析 ab(3，1x)，ab(1，1x)，根据题意有 3(1x)(1x)，解得 x2.3已知点 a(1，3)，b(4，1)，则与向量ab同方向的单位向量为_答案 ，5 5 解析 由已知，得ab(

2、3，4)，所以|ab|5，因此与ab同方向的单位向量是 ab ， .5x y4已知平面向量 a(x ，y )，b(x ，y )，若|a|2，|b|3，a b6，则 的值为_1 1 2 2 x y2 22答案 3解析 设 a，b 的夹角为 ，则 a b|a|b |cos 6 cos 1，即 a，b 共线且反向，2a b，32 2x x ，y y ，1 3 2 1 3 2x y 2 .x y 32 25向量 a(1，1)，b(1，2)，则(2ab) a_. 答案 1解析 2ab(2，2)(1，2)(1，0)，(2ab) a(1，0)(1，1)1.2 2222 2622223222223 3 241

3、6已知向量|a |1，|b|2，a b ，则|ab|_.2答案解析6|ab| (ab) a 2a bb 114 6.7已知|a |1，|b|6，a(ba)2，则向量 a 与 b 的夹角为_答案3解析 设 a 与 b 的夹角为 。a(ba)a ba 2，|a|1，a b 3 1 a b2a 3，|b|6，cos ，0， ，向量 a 与 b|a|b | 16 2 3的夹角为 .33 18已知向量 a ，sin ，b sin ， ，若 ab，则锐角 为_答案 303 1 1解析 ab，sin ，2 6 41sin .又 为锐角，30.9若非零向量 a，b 满足|a| 答案42 23|b|，且(ab)

4、(3a2b)，则 a 与 b 的夹角为_解析 由(ab)(3a2b)，得(ab)(3a2b)0，即 3a ab2b 0.|a |2 2|b|，设a，b，即 3|a| |a |b|cos 2|b | 0，8 2 2 2 |b | |b| cos 2|b | 0，cos .又0， .10设向量 a，b 不平行，向量 ab 与 a2b 平行，则实数 _.答案12解析 ab 与 a2b 平行， abt(a2b)ta2tb，121222 2 22 22 222t， 12t，t .211如图，已知两个力的大小和方向，则合力的大小为 _n；若在图示坐标系中，用 坐标表示合力，则合力的坐标为_答案41 (5，

5、4)解析 f (2，3)，f (3，1)，1 2所以合力 ff f (2，3)(3，1)(5，4)，1 2所以合力的大小为 54 41(n)12如图所示，半圆的直径 ab2，o 为圆心，c 是半圆上不同于 a，b 的任意一点，若 p 为半径 oc 上的动点，则(papb) pc的最小值是_1答案 2 解析 因为点 o 是 a，b 的中点，所以papb2po， 设|pc|x，则|po|1x(0x1)， 所以(papb) pc2po pc2x(1x)1 12 x .1 1所以当 x 时，(papb) pc取到最小值 .2 213若 a，b，c 均为单位向量，且 ab0，(ac)(bc)0，则|ab

6、c|的最大值为_ 答案 1解析 由已知可设 a(1，0)，b(0，1)，c(x，y)由|c |1，(ac)(bc)0xy 1，得xy xy0xy1.所以|abc| (1x)(1y) 32(xy)1.22222 222 14abc 是边长为 2 的等边三角形，已知向量 a，b 满足ab2a，ac2ab，则下列结 论中正确的是_(写出所有正确结论的序号) a 为单位向量；b 为单位向量；ab；bbc；(4ab)bc.答案 解析 ab 4|a| 4，|a|1，故正确； bcacab(2ab)2ab， abc 为等边三角形，|bc|b |2，故错误； 1 1 1bacab，ab ab(acab) 22

7、cos 60 2210，故错误；2 2 2bcb，故正确； (abac)(acab)ac ab440，(4ab)bc，故正确二、解答题(本大题共 6 小题，共 90 分) 15(14 分)设 e ，e 是两个不共线的向量，已知ab2e ke ，cbe 3e ，cd2e e ，1 2 1 2 1 2 1 2若 a，b，d 三点共线，求 k 的值解 a，b，d 三点共线，abbd， 即ab(cdcb)，2e ke (2e e e 3e )(e 4e )，1 2 1 2 1 2 1 22， k4，k8.16(14 分)已知 a，b，c 是同一平面内的三个向量，其中 a(1，2) (1)若|b|2 5

8、，且 ab，求 b 的坐标；(2)若|c | 10，且 2ac 与 4a3c 垂直，求 a 与 c 的夹角 .解(1)设 b(x，y)，因为 ab，所以 y2x.又因为|b|2 5，所以 x y 20. 由联立，解得 b(2，4)或 b(2，4) (2)由已知(2ac)(4a3c)，得(2ac)(4a3c)8a 由|a| 5，|c| 10， 解得 a c5，3c 2a c0，|a|c | 24 ab ac ac ac ab ，则有ab2 31314531 2 2n n 5 55 5a c 2所以 cos ，0，所以 a 与 c 的夹角 . 1 17(14 分)如图所示， abc 中，aqqc，

9、ar ab，bq 与 cr 相交于点 i，ai 的延长3线与边 bc 交于点 p. (1)用ab和ac分别表示bq和cr； (2)如果ai abbqaccr，求实数 和 的值； (3)确定点 p 在边 bc 上的位置解 1 (1)由aq ac，2 1 可得bqbaaqab ac.2 1 ar ab，3 1 crcaarac ab.3 1 1 (2)将bqab ac，crac ab2 3 代入ai abbqaccr， 1 1 2 3 1 1 即(1)ab ac ab(1)ac， ab与ac不共线，1 ， 1， 2，解得.5 (3)设bpmbc，apnai . 1 2 由(2)知ai ab ac，

10、5 5 bpapabnai abnab ac ab ac 1 abmbcmacmab，n52352 a a 22a 2 3 32222 ab与ac不共线，m 1， 2nm ，5m ，解得n ，3 2 bpbp bc，即 2，3 pc点 p 是 bc 的三等分点且靠近点 c 处18(16 分)已知在abc 中，c 是直角，cacb，d 是 cb 的中点，e 是 ab 上一点，且 ae2eb，求证：adce.证明 建立如图所示的平面直角坐标系，设 a(a，0)，则 b(0，a)，e(x，y)ad 是 bc 的中点，d 0， . 又ae2eb，即(xa，y)2(x，ay)，xa2x， y2a2y，a

11、 2 解得 x ，y a.3 3ad 0， (a，0) a， ， oece ， a ， a 2 aad cea a3 3 21 1 a a3 30. adce，即 adce.19(16 分)在平面直角坐标系中，o 为坐标原点，已知向量 a(2，1)，a(1，0)，b(cos ，t) (1)若 aab，且|ab| 5|oa|，求向量ob的坐标；(2)若 aab，求 ycos cos t的最小值解 (1)ab(cos 1，t)，aab，2tcos 10.2222224 4 2 4 22 55 527257 5 2 2 3 3 9 9 1 1 9 9 9 2 2 22 22 229 9 2 22 2

12、1222cos 12t. |ab| 5|oa|，(cos 1) t 5.由，得 t 1，t1.当 t1 时，cos 3(舍去)，当 t1 时，cos 1，b(1，1)，ob(1，1)cos 1(2)由(1)可知 t ，2ycos(cos 1) 5 3 1cos cos cos 5 6 1 5 3 1 cos cos cos ，4 4 4 5 53 1当 cos 时，y .min20(16 分)在abc 中，已知 a(2，4)，b(1，2)，c(4，3)，adbc 于点 d. (1)求点 d 的坐标；(2)求证：ad bd dc.(1)解 设 d 点坐标为(x，y)， 则ad(x2，y4)，bc(5，5)，bd(x1，y2) 因为 adbc，所以ad bc0，即 5(x2)5(y4)0.所以 xy6. 又因