初中二次函数的解题小技巧

1、初中二次函数的解题小技巧函效在中学教学中占有重要地位 ,它与生产、商品经济、 等又有广泛联系。学生普遍认为函数难学，特别是二次函数， 但是二次函数在中考一直占据着压轴题的 “席位”，很多考 生在这方面都会失分严重，教学过程中，作为教师必须深刻 洞悉函数的内涵，把难点突破，让学生从一开始就接受到严 谨的概念和思想。下面我通过具体课例分析函数教学中常考 的题型和大家分享：一. 求二次函数解析式。(1) 当出现任意三个点坐标的时候，直接代入一般形式y=ax2+bx+c 构成方程组，可确定 a,b,c 的值例析： 已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过（-1，10），（1,4）， （2,7）三点，求这

2、条抛物线的解析式。解：设所求二次函数为 y=ax2+bx+c ，由己知图象经过（ 1， 10），（1,4），（2,7）三点，得关于 a,b,c 的三元一次方 程a-b+c=10 a 2a+b-c=4解这个方程组得 b-32a+2b+c=7 c 5所求解析式为 y=2x2-3x+5(2) 当出现顶点坐标 (h， k) 和另一个点坐标时，就用代入顶1点式： ya(x-h)2+k 可确定 a,h,k 的值 .例二次函数图象的顶点为 a（1, -4）且过点,b（3,0）, 求该二次函数的解析式 .例析：设所求二次函数为 ya(x-h)2+k顶点为 a（1, -4）, 则 h1,k-4ya(x-1)2-

3、4又抛物线过点 b（3,0）, 则 0a(3-1)2-4, 即 a1 所求二次函数为 y(x-1)2-4(3)当出现二次函数图象与 x 轴两个交点坐标 (x ，0)(x ，0)1 2和另一个点坐标的时候，用交点式（与x 轴）：y=a(x-x )(x-x )1 2式。可确定 a 的值.例已知二次函数图象与 x 轴的交点坐标为（3,0）和（-1,0），且过点 ,（1，-8，）求该二次函数的解析式。 例析：设所求二次函数为 y=a(x-x )(x-x ),1 2图象与 x 轴的交点坐标为（ 3,0）和（1,0）， y=a(x-3)(x+1),又抛物线过点（ 1，-8，）-8=a(1-3)(1+1),

4、 则 a2该二次函数的解析式为 y=2(x-3)(x+1), 即 y=2x2-4x-6 二 . 二次函数图像的性质1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a。 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点 p。2特别地，当 b=0 时，抛物线的对称轴是 y 轴（即直线 x=0） 2.抛物线有一个顶点 p，坐标为 p ( -b/2a ，(4ac-b2)/4a )当-b/2a=0 时， p 在 y 轴上；当 = b2-4ac=0 时，p 在 x 轴上。3. 抛物线与 a,b,c 的值的关系：a 值决定抛物线的开口方向和大小。当 a0 时，抛物线向上开口；当 a0 时，抛物线向下开口。 |a

5、|越大，则抛物线的开口越小。a,b 值共同决定对称轴的位置。当 a 与 b 同号时（即 ab0），对称轴在 y 轴左；当 a 与 b 异号时（即 ab0），对称轴在 y 轴右；当 b=0 时对称轴是 y 轴。c 决定抛物线与 y 轴交点。抛物线与 y 轴交于（0，c）(c0 交 y 轴正半轴，c0 交负半 轴,c=0 交于原点)4.抛物线与 x 轴交点个数= b2-4ac0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点 ,(x ，0).(x12，0) ；则对称轴为 x=x +x /21 2= b2-4ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点。(x，0) ； = b2-4ac0, 当 x=-b/2a。

6、时 , y 有最小值 4ac-b2 /4a若 a0, 当 x=h 时 , y 有最小值 k若 a0 时，当 x=h 时,y 有最大值 k例 某商品的进价为每件 40 元，当售价为每件 60 元时，每 星期可卖出 300 件，现需降价处理，且经市场调查；每降 1 元，每星期可多卖岀 20，在确保盈利的前提下，解答下列问 题：4（1）若设每件降 x 元，每星期售出商品的利润为 y 元，请 写出 y 与 x 的函数关系式，并求出自变量 x 的取值范围； （ 2 ）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多 少？例析：（1）.y（60-40-x）（300+20x ）即.y-20x2+100x+60

7、00降价要确保盈利，则 4060-x60（或 4060-x60） 解得 0x20（或 0x20）.（2）把.y-20x2+100x+6000 配成顶点式得y-20(x-2.5)2+6125即当降价 2.5 元时, 利润最大且为 6125 元.注意对称轴是否在定义域内，如果在，那顶点坐标的纵坐 标就是要求的最值，否则就不是。切记 ( 很多同学在求最值 时不看 x 的取值范围，直接用顶点坐标纵坐标当做最值，这 样是错误的)三. 二次函数与一元二次方程的结合 (大题)出现这样的题的时候注意二次函数与 x 轴的交点就是一元 二次方程的根。特别地，二次函数 y=ax2+bx+c，当 y=0 时，二次函数

8、为关于 x 的一元二次方程（以下称方程）， 即 ax2+bx+c=0此时，函数图像与 x 轴有无交点即方程有无实数根。5函数与 x 轴交点的横坐标即为方程的根。四. 变式训练：即二次函数的综合题 , 是中考的压轴题 . 中考的压轴题一般都综合性强、难度大，是在较复杂的知识背景中考查学生运用数学思想方法合解决数问题的能 力，破解中考的压轴题，审题时首先要有信心和耐心地逐字 逐句地读，并做出相应的记号、并联想相关知识，着重研究 它们之间的关系，解题实践表明：题目中的条件往往暗示解 题手段，结论往往预告解题方向。从已知中努力追忆曾出现 过类似的题目，提取出与本问题有关的知识，各知识点之间 联系和数学思想方法，抓住题意，层层深入，各个击破，从 而达到解决问题的目的。例 如图，在直角坐标： x oy 中，二次函数图象的顶点坐标为 c(4，- )，且在 轴上截得的线段 ab 的长为 6 (1)求二