切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理

1、切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段学习目标1. 切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，切线长”是切线 上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。（PA长）2. 切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切 线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得 到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角 互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角

2、。3弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。直线AB切00于P, PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。5弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆角，圆外角。6遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。7 与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定O0 中，AB. CD 为弦，交 PA PB=PC PD.连结AC . BD ,证：理于P.AAPCADPB.相交弦定0 中.AB 为直径,CD丄AB PC2=PA PB.用相交弦定理.理的推论于P（特殊情况）切割线定0 中，PT 切00 于 T,叶

3、 一PA PB连结TA、TB ,证：理割线PB交00于AAPTBAPAT切割线定PB.PD 为00 的两条割线，PA PB=PC PD过P作PT切00于T,用理推论交00于A、C两次切割线定理（记忆的方法方法）1圆幕定理00 中，割线 PB 交 00 于 POOPD = r2 -延长P*0交O0于M,延A, CD 为弦OP长0P交00于N,用相交PA PB=0P2-r2弦定理证；过P作切线用r为O0的半径切割线定理勾股定理证&圆赛定理：过一定点P向O0作任一直线，交。0于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积 为常数 （R为圆半径），因为叫做点对于00的幕，所以将上述定理统称为圆無定理。【典型

4、例题】例1.如图1,正方形ABCD的边长为1,以BC为直径。在正方形作半圆0,过A作半圆切线，切点 为F,交CD于E,求DE： AE的值。解：由切线长定理知：AF=AB=h EF=CE 设CE为x,在RtAADE中，由勾股定理例2. 00中的两条弦AB与CD相交于E,若AE=6cm, BE=2cm, CD=7cm,那么CE=cm。图2 解：由相交弦定理，得AE BE=CE DEVAE=6cm, BE=2cm, CD=7cm,即/. CE = 3cm 或 CE=4cm。故应填3或4。点拨：相交弦定理是较重要定理，结果要注意两种情况的取舍。例3.已知PA是圆的切线，PCB是圆的割线，则。解：VZP

5、=ZPZPAC = ZB,Z.APACAPBA,又TPA是圆的切线，PCB是圆的割线，由切割线定理，得即，故应填PC。点拨：利用相似得出比例关系式后要注意变形，推出所需结论。例4如图3, P是00外一点，PC切00于点C, PAB是00的割线，交00于A. B两点，如果PA：图3解:VPC是00的切线，PAB是00的割线，且PM PB=1： 4PB=4PA又 V PC=12cm由切割线定理，得APB=4X6=24 (cm)AAB=24-6=18 (cm) 设圆心0到AB距离为d cm, 由勾股定理，得故应填。例5如图4, AB为00的直径，过B点作00的切线BC, 0C交00于点E, AE的延

6、长线交BC于点 D, (1)求证：；(2)若AB=BC=2厘米，求CE. CD的长。点悟：要证，即要证 CEDACBEo证明：(1)连结BEEC是00的切线4乙4二ACBE公曲角0/ 二 OE n 乙4 二 ZOSAA0EA = ADSCCEQS借E =nd =CB CD CD CE眈是0讯线、AS为直径(2)BC = 2OS = 又J.厘米。点拨：有切线，并需寻找角的关系时常添辅助线，为利用弦切角定理创造条件。例6如图5, AB为Q0的直径，弦CDAB, AE切00于A,交CD的延长线于E。求证：证明：连结BD,VAE 切)0 于 A,AZEAD=ZABDE丄AB,又 AB/ZCD,AE 丄

7、 CDVAB为O0的直径 ZADB=90.ZE = ZADB=90Z.AADEABADVCD/7 AB/ AD=BC ：例7如图6, PA. PC 切O0 于 A、C, PDB 为割线。求证:AD BC=CD AB图6点悟：由结论AD - BC=CD - AB得，显然要证PADsPBA和厶PCDAPBC证明:VPA切00于儿 ZPAD= ZPBA又 ZAPD=ZBPA,AAPADAPBA 同理可证厶PCDAPBC VPA. PC分别切（DO于A、CA PA=PC A AD BC=DC AB例8.如图7,在直角三角形ABC中，ZA=90 ,以AB边为直径作O0,交斜边BC于点D,过D点 作00的

8、切线交AC于E。图7求证:BC=20Eo点悟：由要证结论易想到应证0E是AABC的中位线。而OA=OB,只须证AE=CE。证明：连结0D。TAC丄AB, AB为直径AC为00的切线，又DE切00于DAEA=ED, 0D丄DEV0B=0D, .ZB=Z0DB在 RtAABC 中，ZC=90 -ZBJ Z0DE=90o ZC = ZEDCA ED=ECAAE=EC/.OE是ZXABC的中位线ABC=20E例9如图8,在正方形ABCD中，AB=1,是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧。点E是边 AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作所在圆的切线，交边DC于点F, G为切点。当ZDEF=

9、45时，求证点G为线段EF的中点；图8解：由 ZDEF=45 ,得9?.ZDFE=ZDEFDE=DF又 VAD=DCAAE=FC因为AB是圆B的半径，AD丄AB,所以AD切圆B于点A；同理，CD切圆B于点C。 又因为EF切圆B于点G,所以AE=EG, FC=FG。因此EG=FG,即点G为线段EF的中点。【模拟试题】（答题时间：40分钟）一、选择题1已知：PA. PB切G0于点A、B,连结AB,若AB=8,弦AB的弦心距3,则PA=（）A.B.2. 下列图形一定有切圆的是（）A.平行四边形C.菱形3. 已知：如图1直线与00相切于C,C. 5D. 8B.矩形D.梯形AB为直径，ZCAB=40 ,

10、则ZMCA的度数（C. 60A. 50B. 404圆两弦相交，一弦长8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1： 4,则另一弦长为（D.55。)A. 8cmB. 10cmC 12cmD. 16cm5在2ABC中，D是BC边上的点，AD, BD=3cm, DC=4cm,如果E是AD的延长线与/XABC的外 接圆的交点，那么DE长等于（）A.B.C.D.6. PT切OO于T, CT为直径，D为0C上一点，直线PD交。0于B和儿B在线段PD上，若CD=2, AD=3, BD=4,则 PB 等于（）A. 20B 10C 5D二、填空题7. AB. CD是00切线，八BCD, EF是O0的切线，它和AB.

11、CD分别交于E. F,则ZE0F = 度。8. 已知：O0和不在00上的一点P,过P的直线交G0于A、B两点，若PA - PB=24, 0P=5,则00的半径长为。9若PA为00的切线，八为切点,PBC割线交于B、C,若BC=20-则PC的长为_。10. IE A ABC接于00, M、N分别为AB. AC中点，延长MN交O0于点D,连结BD交AC于P,则三、解答题11 如图2, AABC dp, AC=2cm,周长为8cm, F、K、N是ZkABC与切圆的切点,DE切G0于点M, 且DEAC,求DE的长。图212如图3,已知P为。0的直径AB延长线上一点，PC切00于C, CD丄AB于D,求证：CB平分ZDCPo13如图4,已知AD为00的直径，AB是00的切线，过B的割线BM7交AD的延长线于C,且BM=MN=NC,若 AB,求O0的半径。【试题答案】一、选择题1. A 2. C3. A 4. B5. B 6. A二.填空题7. 909. 3010.三、解答题：11 由切线长定理得A