电磁场与电磁波课后习题解答第一章1

1、第一章习题解答 解】【习题1.12x2=cosar与x轴正向的夹角为a，则矢径 222z+x+y2y 2=by轴正向的夹角为b，则cos同理，矢径r与 222zx+y+2z 2=轴正向的夹角为g，则cosg矢径r与z 222zy+x+222zxy 222+可得cosa+cosb+cosg= 222222222zy+y+zx+x+y+zx+222zx+y1= 222zy+x+从而得证 解】【习题1.2e213e?3e）?3e?（e?9e?e）（2e?4e?A?B?zyxyxyzxzee?4?e?54?e）?(2e?e?3e)eAB?（?9e zxyyxzzxy35?3?e?3e)2?364e(A

2、?B?e?9e?)?(2e? zyxxzy eee zyx 1?e)9?14ee?9e?)?(2e?e?3(A?B? zxyxyz342? e?14e?5e?31zxy 1.3解】【习题A?e?be?ce,B?e?3e?8e, 已知zxyxzy0BA?B?A ，则须散度）要使1（ 1c?83b?0?1AB?3b?8c 可得：所以从 垂直。和向量 即只要满足3b+8c=1就可以使向量 BA0?A?B （2）要使 ，则须旋度 所以从 eee zyx0?e(3?b)cc?(8b?3)e?(8?c)eA?B?1?bzxy 83?1 c=-8 ，可得 b=-3 解】【习题1.40B?Aee?12e?9A

3、?be?B?aeA?B所以应有，因为已知，zxyyx ?09b?be?12a?e12e?9?e?ae 即yzyxx 221a?b?1?B ；又因为 所以 ; 43?a?,b 由，解得 55 由矢量积运算规则1.5解】【习题 eee zxye)-a)zxea+(y?B=AC-eaaaaa=(z-y)(+axaz231x21y3123 xyz =Be+Be+Bezxxyyzdl?edx?edy?edz 取一线元：zxy 则有 eee zxy=B?dlBB0Bzyx dzdxdy dxdydz? 则矢量线所满足的微分方程为 BBBxzydxdydz?k(常数)或写成 az?ayax?azay?ax2

4、33112 求解上面三个微分方程：可以直接求解方程，也可以采用下列方法 d(az)d(ax)d(ay) （1）321k? aaz?aayaax?aazaay?aax311212213323 xdxydyzdz （2）k? x(az?ay)y(ax?az)z(ay?ax)213321 由（1）（2）式可得 d(ax)?k(aax?aay)32111 （3）)a?ad(y)k(ax?aaz23122 )xaaaay?(d(az)?k31323 )xyaxz?a(xdx?k32 （4）)?xy?ydyk(aayz13 )axz(ayz?zdz?k21 对（3）（4）分别求和 0?aya?zad)y(

5、?xad()da?()0xad(?)z321321 2220)?zd(x?y0?zdzydyxdx?所以矢量线方程为 k?az?ax?ay1321222?ky?xz? 2【习题1.6解】 222已知矢量场?cxz?2?zxyz)ee?(by?xy()e?A?(axzxz)yxz 若 是一个无源场 ，则应有 div=0 AAA?A?A? =即： divyxz0?AA z?x?y?因为 222 xy?A?byxyzaxz?x2cxzz?z?A?A zxy 所以有 div=az+2x+b+2xy+1-2z+cx-2xy =x(2+c)+z(a-2)+b+1=0A 得 a=2, b= -1, c= -

6、 2 1.7解】【习题?设矢径 的方向与柱面垂直，并且矢径 到柱面的距离相rr等（ra） ?ah2?a?rdsrdsads 所以， sss 2?h?2a 解】1.8【习题2?22yx?3exyyze?A?x3 ,已知zy?A?()A?Arot(?A)? 而 eeezxy ?22xyze3y2e?(6xy?A?x?y)e? zxyz?x?y? 22xyyzx03 222?xyzey2e?x?y)e?3?A?3x(6yxyzyx ?2ee?3e?6xye?x?e?又 xyyxzz?x?y? eee zxy2223332?zeye?0?9x6y18e?A?6xy?3xxxyzxy 22xyxyz03

7、 所以 222?e?23yxyzexy(6?xy)rot(A)?e?A?A?3x?yzxy ? 323232exyz18xye?6?9xye +zxy?222?4xze?9x?x)e9yey3x( = zyx 【习题1.9解】 222yA?(y?2xz)e?z2?2ez)?(xzy)e(2x? 已知 xyz 所以eeezxyAA?AA?AA?yy eeexxzz?Arot?A? yxzy?x?x?z?y?x?y?z?z?AAA zyx?eee0)?(2y?1?12y?xz4xz?4zyxA 的旋度处处等于0，所以矢量场由于场为无旋场。 A 【习题1.10解】令ln()=C,=，=1+4+9=1

8、4 222222cczyxx?y?z?ee ln14 因此C14为等值面方程 222z?yx?【习题1.11解】 3223x?yx?1?朝x增大一方的方向导数在点求函数M(2,3)=处沿曲线y= ?|?6xy|?36 解: (2,3)Mx?22|?15?3y|?3x (2,3)My?2xx?2)-1(y= 在L取一点(x,y) 2x? 的方向的方向余弦为: 沿L12?xx?os? c l?2225?4xx?3)?(x2)?(y2?x?yy?3?cos? l?2225x?x?43)?(x(?2)?y?0?l?(2,3) (x,y) 因为则14?coscos 所以 1717?24?coscos?

9、又因为= y?xl?17 2】【习题1.11解222yx?31?x? 增大一方的方向导数在点M(2,3)=处沿曲线y=朝x求函数 My在点沿所取方向的切线斜率为：曲线 42xy? MM?4?tg 所以因此，方向余弦为 11?cos 172?tg?14?cos 17?236xy? x?26y?3x?2 y?所以所求的方向导数为 ?14?60?cos?6?cos?36 yx?l?171717M 【习题1.12解】 1 标量场? r?该标量为一个以直角坐标系的O点为球心的球面 求切平面的方程?111e?e?en? 该平面的法线向量为? zxy333 根据平面的点法式方程，得平面方程为111111(x

10、?)?(y?)?(z?)?0 333333 y?zx?3 整理，得：【习题1.13解】 ?coscos?cos? ?x?y?z2?cosxy)(2zxy?xz)cos?(y?yz)cos?(2 1212?1)?1?2)?(2?2(21?2)?1?1?1?(1? 222311?0? 22 【习题1.14解】 A的方向余旋为矢量 2 222?xy?(/（yz)?(xzcos)?yz 31 222?xy)(xz)(cos)?xz/（yz? 32 222?)（cos?xy/yz)?(xz)?(xy? 3满足题意方向导数： ?u?cos?cos?cos ?l?A?x?y?z2223?)cos2?yz(3

11、(3xy?6cos?x?yz)cos? M17? 3 【习题1.15解】?cos?cos?cos z?ly?x? l4?59?x?又cos? l?314 2222)1)?(5?1)(19?(4?l3?14y?cos? l?314 2222)(4?1)?(51)(19? l17219?z?cos? l?314 2222)?(19?(4?1)?(9?5) ?317?4xy?xz?yz l?314314314?4?317123?51?22?5?1 l?314314314314M123?xyz。在点（5,1,2）处沿着点（5,1,即函数2）到点（9，4,19）的方向导数为 314【习题1.16解】 ?

12、e?egrad?e zxy?x?y?z e6)(6z?e(4y?x?2)?y?(2x?3)ezyx 所以?3e?2e?grad6e zxy(0,0,0) ? ?grad6e?3e yx(1,1,1) 解】1.17【习题uu?u?egradu(1)证：e?e? zxyz?x?y?v?v?v? ee?gradve? zxyzy?x?)?v)?(u?(u?v)?(u?v ee?e?gradu?gradv? zxyzx?y?)(u?v?grad ?)?(v)?vv)?(?ee(2)证:grad(?v)?e? zyxzy?x?v?v?v ?e)(vv?)e?(v?)e?( zyxz?y?zx?x?y?g

13、radvvgrad? u?u?u2eu?2ue(3)证：grad(u2)?2ue zxyz?y?xgraduu?2. 解】【习题1.18?=（证明 +）（1） AB?+（eeeeeeeeeBBABAA)(?)? yzyyxzxzXXzxyzyy?zx? ? =BAABAB)?()?)?(?( Zzxyxyz?x?y?BA?BBAA?yy（+ =（xzzX)?)? z?zy?x?xy? =B?A? 得证? (2)eee?)(?A?()A?()? zyXzy?x?= eee?A?)(A()A?( zXyz?y?x? ?A?A?A?eee?)(?A)A(?A)? =+ yzxyy?z?x?xzA?A

14、?A?yeee?xz)?e?e)A(e = zxyzyz?y?z?x?x?yX? ?A?A = 得证 【习题1.19解】 ?r?x?y?z证明：（1）?（）? 3333r?yrrr?xz?312222222 )y?z(?xx?y?z)?3x(x?x22? 332322)?yr?x(?xxz222 )zy(x?2132222222 )x?y?yzy(y?x?y?z)?3(?22?同理可得：? 332232)(x?y?yr?yz222 )?z?y(x2132222222 ?zy(xy)?z)?3?z?z(x?z22? 322233)?yz(z?rz?x?222 )z?(xy?231?x?y?z?x

15、1 222222222?3(x?y?z)?3(x?y?z)(x?y?z)22? 33332223)?(xz?yr?zrr?xy?xr?0?nnn? 222222n222)?z(xy?zy)?(xy?yz?z)(?(2)?(rr)?xx222 z?y?xnn 222)?yx(z2 2222n22r)3?(zx?3(?y?)?nx?yz)(n?2? 222)?y?zx( 【习题1.20解】 1222r?xe?yezyx?r(?)?ze 2已知zxy 所以 ?)?(xeye?zer?(e?e?e)?(1)zxy zxyz?x?y? eeezxy? ? zx?y?zxyxz?y?z?y?x?)?e)?

16、(e?()?e(?zyx z?z?x?xy?z 0?0?00? ze?xe?ye?rzxy?(e?e(2)?e)? zyx1z?r?xy? 222)?z?y(x2 eeezxy? ? z?x?y?zyx 111222222222 )?yx(x)?yz?()(xy?z?z?222-xzxzzy-zy)e)e?(?(? yx3333 222222222222)yx?y?z()x?yz?()xy?(?z)?z(x2222 -xyxy)e?(? z33 222222)?y?y?(z)xx(?z22 0?0?0?0?zeye?xe?rzyxf(r)?e?e)?(3)?f(r)?(ezxy 1zy?r?x

17、?222 )?yz(x?2 eeezyx? ?xz?yzf(r)xf(r)yf(r) 111222222222 )?z)y?(xx?y?z)(?yxz?(222?(r-zy)(r)zyf(r)zyfyzf?(?)e x33222222x?zy?zx?y?222222 )?y(xy?z)z(x22 ?(r)xzfxz-xzxzf(r)?)e?(? y33222222zy?xy?z?x?222222 )(x?y)yx(?zz?22 ?xyxyf(r)xyf-xy(r)e?(?)?z 33222222z?yzyx?x?222222 )?yz?x(zx(?y?22 0?0-0+0? 【习题1.21解】

18、 【习题1.22解】 证明：令 ?A 左边= 则B = ? 又由题得 = ?B = 同理有 = 等式右边 = 故 = = 右边，得证故左边 = 【习题1.23解】由散度定理得：2322）（2XY+YY?ZZ?（XZ）X）?（?Vd? I=? Z?y?xV222?V）?Z =（Xd?Y V2?V? d3Z Va422?dV)aZ? =3(3Z03a|352?) =(a?ZZ 5025?a = 5 解】1.24【习题2)?(?E?E?(?E)? H1? )?(? t?c 2E?1?1?1E1?)?(?H)( 22t?c?tc?tc?tc 2 )H(?H)?H?( ?E11 )(?(?E?() ttc?c? 2 H1?1?1?H? 22t?c?tctc 证毕。解】【习题1.25 由题意可知：2?)?(?v)?(=左 ?eee)?( = zxy?x?x?z? = + ?(?(ee?)?)(e? yzx?y?y?z?z?x?x = ?)?( =+ ? = 22?2? 即证 【习题1.26解】22?22zz?ee x sin=）解：（1sinysinx siny 22?y?x 2?2z?e sin x sin y = 2z?222? ； 222?222z?e x sin0y （； ）sin 222y?z?x 满足拉普