《集合》公式汇总

1、集合公式汇总集合（简称集）是数学中一个基本概念，它是集合论的研究对象，集合论的基本理论直到19世纪才被创立。最简单的说法，即是在最原始的集合论一一朴素集合论中的定义，集合就是一堆东西”。集合里的东西”，叫作元素。由一个或多个元素所构成的叫做集合。若x是集合A的元素，则记作x A。集合中的元素有三个特征：1.确定性（集合中的元素必须是确定的）2.互异性（集合中的元素互不相同。例如：集合A=1，a，贝U a不能等于1） 3.无序性（集合中的元素没有先后之分。）并交集并集定义：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，记作A U B （或BU A），读作A并B ”（或B并A ”），即A U B

2、=x|x 代或x B。并集越并越多。交集定义：由属于 A且属于B的相同元素组成的集合，记作AAB （或BAA），读作A交B”（或B交A”），即卩A AB=x|x A,且x B。交集越交越少。若 A 包含 B，贝U A AB=B，A U B=A相对补集定义：由属于A而不属于B的元素组成的集合，称为B关于A的相对补集，记作 A-B或A B，即A-B=x|x A，且x?B绝对补集定义：A关于全集合U的相对补集称作 A的绝对补集，记作 A或?u （A）或A。U=；U（一）元素与集合1、 元素与集合的关系：、若a是集合A的元素，就说a属于A，记作：a A，读作a属于A ”若a不是集合A的元素，就说a不属

3、于A，记作：a A，读作“ a不属于A”。2、集合的表示：列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合形如：123,5彳描述法： x| x具有的性质，其中x为集合的代表元素形如：x|x 2+ 2x 30.图示法：用数轴或韦恩图来表示集合 3、常见数集的符号表示：f自然数集（非负整数集）N ；正整数集N或N ;整数集Z ;有理数集Q ;实数集R ;I正实数集R符号法N :非负整数集合或自然数集合0,1,2,3,N*或N + :正整数集合1,2,3,Z :整数集合,-1,0,1,Q :有理数集合Q + :正有理数集合Q-:负有理数集合R :实数集合（包括有理数和无理数）R+:正实数集合

4、R-:负实数集合C :复数集合?:空集合（不含有任何元素的集合称为空集合，又叫空集）（二）集合间的基本关系概念写法含义相等A BCD子集A B读作“ A包含于B ”或“ B包含A ”(1)(2) A(3) A B真子集A应B读作“ A真包含于B ”或“ B真包含A ”(1)(2) A非空真子集B且A工()空集空集是任何集合的子集注：1、任何集合都是它本身的子集、空集是任何集合的子集。2、集合个数：数轴表示11在画数轴时，要注意层次感和实心空心!只要是线下面的部分都要!集合A中有n个元素，则集合 A的子集有（2n ）个，真子集有（2n 1 ）个，非空真子集有（2n 2 ）个元素子集真子集非空子集

5、非空真子集n2n2n 12n 12n 2注：1、集合运算法则：从括号内开始，由内而外Cu （An B） =Cu An Cu BCu （AU B） =Cu AU Cu B2、常见结论：若 AU B=B,则 A B若 AI B A，则 A B.知识归纳:1 .集合的有关概念。1）集合（集）：某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）.其中每一个对象叫元素注意：集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。 集合中的元素具有确定性（a?A和a?A，二者必居其一）、互异性（若 a?A，b?A，则aMb）和无序性（a,b与b,a表示同一个集合）。 集合具

6、有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符号条件2）集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法3）集合的分类：有限集，无限集，空集。4） 常用数集：N,乙Q, R N*2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。1）子集：若对 x A都有x B,则A B （或A B）;2）真子集：A B且存在x0 B但x0 A ;记为A B （或，且）3）交集：An B=x| x A 且 x B4）并集：AU B=x| x A 或 x B5）补集：CUA=x| x A 但 x U注意：? A，若 AM ?，贝 q ? A ; 若，则； 若且，则A=B （等集）3弄清集合与

7、元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：（1）与、?的区别；（2）与 的区别；（3）与的区别。4有关子集的几个等价关系An B=A A B : AU B=B A B :A B C uA C uB ； An CuB =空集 CuA B : CuAU B=I A B。5交、并集运算的性质An A=A, An ? = ?，An B=BnA; AU A=a AU ? =A，AU B=BU A；Cu （A U B）= CuA n CuB, Cu （A n B）= CuA U CuB;6.有限子集的个数：设集合 A的元素个数是n,则A有2n个子集，2n- 1个非空子集，2n 2

8、个非空真子集。二.例题讲解：【例 1 】已知集合 M=x|x=m+ ,m Z,N=x|x= ,n Z,P=x|x= ,p Z，则 M,N,P 满足关系A） M=N P B） M N=P C） M N P D） N P M分析一：从判断元素的共性与区别入手。解答一：对于集合 M: x|x= ,m Z；对于集合 N: x|x= ,n Z对于集合P： x|x= ,p Z，由于3（n-1）+1和3p+1都表示被3除余1的数，而6m+1表示被6除余1的数，所以M N=P,故选B。分析二：简单列举集合中的元素。解答二：M=，, N=,， , P=，这时不要急于判断三个集合间的关系，应分析各集合中不同的元素

9、。= N， N，a M ”，又=M，二 M N，=P，a N P 又 N,.； P N，故 P=N 所以选 Bo点评：由于思路二只是停留在最初的归纳假设，没有从理论上解决问题，因此提倡思路一，但思路二易人手。变式：设集合，则(B )A. M=N B. M N C. N M D .解：当 时，2k+1是奇数，k+2是整数，选 B【例2】定义集合 A*B=x|x A且x B，若A=1,3,5,7,B=2,3,5 ，则A*B的子集个数为A) 1 B ) 2 C ) 3 D ) 4分析：确定集合 A*B子集的个数，首先要确定元素的个数，然后再利用公式：集合A=a1，a2,，an有子集2n个来求解。解答

10、：t A*B=x|x A且x B， a A*B=1,7，有两个元素，故 A*B的子集共有22个。选D。变式1 :已知非空集合 M 1,2,3,4,5，且若a M,则6?a M,那么集合 M的个数为A) 5个B ) 6个C ) 7个D) 8个变式 2 :已知a,b A a,b,c,d,e,求集合 A.解：由已知，集合中必须含有元素a,b.集合 A 可能是a,b,a,b,c,a,b,d,a,b,e,a,b,c,d,a,b,c,e,a,b,d,e.评析本题集合A的个数实为集合c,d,e的真子集的个数，所以共有个.【例 3】已知集合 A=x|x2+px+q=0,B=x|x2?4x+r=0, 且 AH

11、B=1,A UB=?2,1,3, 求实数 p,q,r 的值。解答：t AH B=1 a 1 B a12?4 x 1+r=0,r=3.a B=x|x2?4x+r=0=1,3, t AU B=?2,1,3,?2 B, a ?2 At AH B=1 a 1 A a方程 x2+px+q=0 的两根为-2 和 1 ,变式：已知集合 A=x|x2+bx+c=0,B=x|x2+mx+6=0, 且 AH B=2,A U B=B,求实数 b,c,m 的值.解：t AH B=2 a 1 B a 22+m?2+6=0,m=-5a B=x|x2-5x+6=0=2,3 tAU B=B a又 t AH B=2 a A=2

12、 a b=-(2+2)=4,c=2 x 2=4a b=-4,c=4,m=-5【例 4】已知集合 A=x|(x-1)(x+1)(x+2)0, 集合 B 满足：AU B=x|x-2，且 AH B=x|1分析：先化简集合 A,然后由AU B和AH B分别确定数轴上哪些元素属于B,哪些元素不属于B。解答：A=x|-21。由 AH B=x|1-2可知-1,1 B ，而(-,-2) H B=综合以上各式有 B=x|-1 x 0, B=x|x2+ax+b -4 , AH B=O ,求 a,b。(答案：a=-2 , b=0)点评：在解有关不等式解集一类集合问题，应注意用数形结合的方法，作出数轴来解之。变式2 :设M=x|x2-2x-3=0,N=x|ax-1=0 ，若 MA N=N求所有满足条件的a的集合。解答：M=-1,3 ,v MA N=N, a N M当时，ax-仁0无解，a a=0综得：所求集合为-1，0，【例5】已知集合，函数