一个命题的证明及其推广汇总148

1、新版一个命题的证明及其推广摘 要 利用介值定理和拉格朗日中值定理证明命题，并对命题进行了推广. 关键词 命题；证明；推广高等数学中关于含有多个的关系式的命题的证明问题，往往利用拉格朗日中值定理证明之.本文利用介值定理和拉格朗日中值定理先证明命题，之后对命题进行了推广. 在证明过程中充分体现了点的选取之重要性.命题 设函数f(x)在0,1上连续，在 (0,1)内可导，且 f (x)0 ,f(0)0 ,f (1)1 .则存在1 , 2(0,1)，使得1_TT1)命题的证明 因f (x)0，f (0)0，f (1)1，知 f (x)10,1.因-0,1，f(x)在0,1上连续，由介值定理知，存在x1

2、(0,1)，使得 f(xj1 .而f (x)在区间0,冷和X1,1上满足拉格朗日中值定理条件，故存在 1(0,X1), 2(X1,1)，使得f(X1)f (0) f ( 1)X1， f (1)f(X1)f ( 2)(1 X1)注意到f (x)01，因此有，f ( 1)2(1x1)，两式相加得，f ( 1)f ( 2)2 .证毕.在上述命题的证明过程中，在区间(0,1)找到合适的点1X1，且满足f(X1 )是很1 i重要的一步，而 1是函数f(x)值域的中点考虑取值域的n等分点，令f(Xj)丄2 n(i 1,2, ,n 1)，在Xi 1,Xi (i1,2, ,n)(这里取x。 0,Xn1)上分别

3、运用拉格朗日中值定理，得到如下更一般的结论:结论1条件同命题，则存在i (0,1)(i 1,2,n)，使得i 1n 1n .f ( i)结论1证明因丄(0,1) (in1,2, ,n1)，由介值定理知，存在Xi (0,1)(i 1,2,n1)，使得 f(Xi)-n(i 1Z,n 1) 记 X00,Xn1 .注意到，函数f (X)在Xj 1 ,xi (i1,2,n)上满足拉格朗日中值定理条件，故存在 i(Xi 1,Xi)(0,1)mn,m.新版(i 1,2,n),使得 f(xjf(x)f ( i)(xiXiJ(i1,2,n)左右两边对i求和，得1n(Xii )x)(i1,2,n)注观察命题的结论

4、，f(X1)1 ,结论2f ( 1)1nf ( i) i1稍作变形为121，能否证明条件同命题，则f ( 2)(xixi 1)12f ( 1) f ( 2)2f ( 1) f CT)1,2(0,1)，且 121(结论2证明 因1(0,1)，故由介值定理知，存在X1意到f (x)在O,xJ和X1,1满足拉格朗日中值定理的条件,x0) n .证毕.1，据此得到启发，若取12),存在 1, 2(0,1)，使得 f(X1)故存在1(0, x1 ), 2(0,1)，1 注(X1,1)，使得1f(X1)f(0) f ( 1)X1 ,211f(1) f (X1)f ( 2)(1 X1),即 1X1和 21

5、X1，两式相加得，121 .证毕.f (1)f (2)f (1) f (2)事实上，在命题的基础上(条件同命题)，可进一步作如下推广.n结论3i(0,1)(i 1,2,n),且ii 11( ij ,i j ；i, j1,2,n),存在 i (0,1)(i1,2,n),使得ni1i 1 f (i)结论4nN ，存在1,2 (0,1),使得1n 1n .f ( 1) f ( 2)结论5nN ，存在i(0,1) (i1,2,n,n),使得Ln(n 1)i 1 f (i)2结论3证明因1 , 12 , , 12n1(0,1),由介值定理知，存在Xi(0,1) (i 1,2, ,n 1)，使得mn,m.

6、新版f(Xi)1 , f(X2)12,f(Xnl)12记 Xo0, Xn 1，则 f (Xo)0 , f(Xn)f(1) 1n 注意到函数f(X)在Xi 1,Xi (i1,2,n)上满足拉格朗日中值定理的条件知，故存在i(Xi 1, Xi ) (i 1,2,n)，使得 f(Xi)f(Xi 1) f ( i)(Xi Xi 1) (i 1,2,n)，Xi 1 (i1,2,n),两边对i求和，即得i 1 f ( i)(Xi Xi 1)i 1XnXo1 .证毕.结论4证明 当n 1时，结论显然成立.下证 n 1时结论也成立.1 、.注意到n1当n 1时，因 (0,1)，由介值定理知，存在x1(0,1)

7、，使得f (x1)n中值定理条件，故存在函数f(x)在区间0,x1】和X1,1上满足拉格朗日1(0,xj 2(X1,1)，使得11-f(X1)f(0) f ( 1)X1 , 1 f(1)f(X1)f ( 2)(1 X1),nn即-n/和nn(1x1 )，即，一1n一1n .证毕.f ( 1)f ( 2)f ( 1) f ( 2)结论5证明 因一11- 0,1 (i 0,1,2,n),由介值定理得，存在Xi (0,1)n(n 1)(i 0,1,2, ,n),使得 f(Xi) i(i 1) (i 0,1,2, ,n).显见 f(x。)f(0) 0 ,n(n 1)f(xn) f (1)1.注意到函数

8、f (X)在区间Xi,Xi 1 (i 1,2,n)上满足拉格朗日中值定理条件，故存在i(xi 1 , Xi )(0,1) (i1,2,n),使得f (Xi ) f (Xi 1)f ( i)(XiXi 1) (i 1,2,n)即一i f ( i)叮八)Xi 1(i1,2,n),上式两边对i求和，得i_n(n 1) ni1 f ( i)2(人2 i 1Xi 1)叮(Xn X0).证毕.2mn,m.新版注 注意到上述命题与结论中i和i的取值均有限制,有局限性.为此笔者推广了如下更一般的结论:结论6条件同命题，则(01) (i 1,2,n),存在(0,1) (i 1,2,n)，结论6证明记k00，k1，k21 2 nii 1，k n12n1,nii 1则ki0,1 (i 1,2,n)由介值定理知，存在Xi0,1 (i0,1,2,n),使得f(Xi) ki (i 0,1,2,n),这里 f(x。)f(0)0 , f(Xn)f (1)1.注意到函数f (x)在区间Xi 1,Xi (i 1,2, ,n)上满足拉格朗日中值定理条件，故存在 i (Xi 1,Xi)(i 1,2,n),使得f(Xi)f (Xi 1) f ( i)(XiXi 1) (i 1,2,n),nninn(XiXi 1)ii 1i 1n(Xn X。)i 11 f (i)f (i)(XiXi 1)j (i 1,2,n),上式