《高等几何》复习大纲设计、样题及问题详解全

1、高等几何复习大纲仿射坐标与仿射变换一、要求1. 掌握透视仿射对应概念和性质，以及仿射坐标的定义和性质。熟练掌握单比的 定义和坐标表示。2. 掌握仿射变换的两种等价定义；熟练掌握仿射变换的代数表示，以及几种特殊 的仿射变换的代数表示。3. 掌握图形的仿射性质和仿射不变量。二、考试内容1. 单比的定义和求法。2. 仿射变换的代数表示式，以及图形的仿射性质和仿射不变量。3. 仿射变换的不变点和不变直线的求法。射影平面一、要求1. 掌握中心射影与无穷远元素的基本概念，理解无穷远元素的引入。2. 熟练掌握笛萨格(Desargues)定理及其逆定理的应用。3. 熟练掌握齐次点坐标的概念及其有关性质。4.

2、理解线坐标、点方程的概念和有关性质。5. 掌握对偶命题、对偶原则的理论。二、考核内容1. 中心投影与无穷远元素中心投影，无穷远元素，图形的射影性质。2. 笛萨格(Desargues)定理应用笛萨格(Desargues)定理及其逆定理证明有关结论。3. 齐次点坐标齐次点坐标的计算及其应用。4. 线坐标线坐标的计算及其应用。5. 对偶原则作对偶图形，写对偶命题，对偶原则和代数对偶的应用。射影变换与射影坐标一、要求1. 熟练掌握共线四点与共点四线的交比与调和比的基本概念、性质和应用2. 掌握完全四点形与完全四线形的调和性及其应用。3. 掌握一维射影变换的概念、性质，代数表示式和参数表示式。4. 掌握

3、二维射影变换的概念、性质以及代数表示式。5. 理解一维、二维射影坐标的概念以及它们与仿射坐标、笛氏坐标的关系二、考试内容1. 交比与调和比交比的定义、基本性质及其计算方法，调和比的概念及其性质。2. 完全四点形与完全四线形完全四点形与完全四线形的概念及其调和性。3. 一维基本形的射影对应一维射影对应的性质，与透视对应的关系，以及代数表示式。4. 二维射影变换5. 二维射影对应（变换）与非奇线性对应的关系。6. 射影坐标一维射影坐标、二维射影坐标。7. 一维、二维射影变换的不变元素求一维射影变换的不变点，二维射影变换的不变点和不变直线。变换群与几何学一、要求1. 了解变换群的概念。2. 理解几何

4、学的群论观点。3. 弄清欧氏几何、仿射几何、射影几何之间的关系及其各自的研究对象。二、考试内容1. 变换群与几何学的关系。2仿射几何、射影几何学相应的变换群、研究对象基本不变量和基本不变性。二次曲线的射影理论一、要求1. 掌握二队（级）曲线的射影定义、二阶曲线与直线的相关位置，二阶曲线的切 线，二阶曲线与二级曲线的关系。2. 掌握巴斯加定理、布利安桑定理以及巴斯加定理特殊情形。3. 掌握极点，极线的概念和计算方法，熟练掌握配极原则。4. 了解二阶曲线的射影分类。二、考试内容1. 二阶（级）曲线的概念，性质和互化，求二阶曲线的主程和切线方程。2. 应用巴劳动保护加定理和布利安桑定理及其特殊情形证

5、明有关问题，解决相在的作图问题。3. 二阶曲线的射影分类。二次曲线的仿射性质和度量性质一、要求和考试内容1. 掌握二次曲线的中心、直径、共轭直径、渐近线等概念和性质。（一）一、填空题（每题2分，共10分）1、 平行四边形的仿射对应图形为： ；2、 线坐标（1，2, 1）的直线的齐次方程为： ；3、 直线3x1 2x2=0上的无穷远点坐标为： ；4、 设（AB,CD）= 2，则点偶调和分割点偶5、 两个射影点列成透视的充要条件是；二、作图题（每题6分，共6分）1、叙述下列图形中的点线结合关系及其对偶命题，并画出对偶图形三、计算题（每题10分，共30分）1,-1 )1、求仿射变换式使直线x + 2

6、y 1 = 0上的每个点都不变，且使点 变为（-1 , 2）X； - -x12、求射影变换* Px2 =X2的固定元素。Px3 =X3-3、叙述二次曲线的中心、直径，共轭直径渐近线等概念，并举例说明 四、证明题（每题12分，共24分）1、叙述并证明布利安桑定理。2、设（AB CD =-1，0为CD的中点，贝U OC=OA OB （此题为有向线段）参考答案一、填空题1、平行四边形2、x1 2x2 x3 = 03、（2, -3，0）4、AC , BD5、保持公共元素不变二、作图题1、每三点不共线的五个点，两两连线。对偶：没三线不共点的五条线，两两相交 对偶图形就是自己三、计算题1解设所求仿射变换为

7、严必+站在已知直线x+2y-1=0上任取两y =g2x +b2y+ c2点，例如取（1，0）、（ 3，-1 ），在仿射变换下，此二点不变。而点（1，-1 ）a + c =1变为（-1，2），把它们分别代入所设仿射变换式，得1 5，呼2=0由以上方程联立解得:3旳+ G = 33。2 -匕2 + Q = -12, bi =2, Ci =-12=-b2 =-2C2故所求的仿射变换为:八-由题设的射影变换式，得X =2x 2y -13x32y22一竄 一：2 = , 一：13 = ,二21 = ,二22=髭-23 = 0, 31 = , 32 = 0, -33 = 1把它们代入射影变换的固定方程组6

8、.5公式（2）,(0(“ 一ujxi +o(12X2 +o13X3 = 即21x1 + (a22)x2 +a23x3 = :31捲：32X2(: 33 一： )X3 二 (-1 - u) X1 = 1 U.（1 -u）x2 =由此得特征方程为：.1-5.J1 -0)X3 = .1 U=,得（1+u）（1-u） 2= 解得 u=1 （二重根）,u= 1将u= 1代入固定点方程组，即得固定点为（1, ，）将u=1代入固定点方程组，得x1=这是一固定点列即直线 AA上的每点都是固定点。把j的值代入射影变换的固定直线方程组 6。5公式（5），即（11心小+（1 F 2 313 =(-1 -、) 1 =

9、0小2= 得(1 _v)9则特征方程为(1 _ V )5 = 。13耳 +口23。2 +(。33 一)3 =一1 一1 -V= 即(1+v) (1-V)2=,解得 v=-1 v=1(二重根)。1 -V将v=-1代入固定直线方程组，即得固定直线为（1, ，）。 将v=1代入固定直线方程组，得U1=,即通过点（1, ，）3、见课本四、证明题1、见课本2、 证明这里所用的都是有向线段，利用C为CD中点这一假设，便有OD=-OC来论证的，由（AB CD =-1，得AC BD =-1AD BC即 AC BD+AD BC=（1）把所有线段都以O点做原点来表达，由（1）得（OC-OA （OD-OB + （

10、OD-OA（ OC-OB =（2） 由（2）去括号，移项，分解因子，得2（ OA- OB+OCOD = （ OA+O）(OC+OD 2 ( OA-OB- 0C) =(OA+OB -0二 OA-OB-OC=0即卩 OC=OA OB一、填空题（每小题4分，共20分）1、设P,卩2（-1） , B （比）为共线三点，则（RP2P3）=2、写出德萨格定理的对偶命题：如果两个三线形对应边的交点在一条直线上， 则对应顶点的连线交于一点。3、若共点四直线a,b,c,d 的交比为（ab,cd）=-1 ，则交比（ad,bc）=_2。4、平面上4个变换群，射影群，仿射群，相似群，正交群的大小关系为: 射影群包含仿

11、射群，仿射群包含相似群，相似群包含正交群5、二次曲线的点坐标方程为4xiX3 -X； =0，则其线坐标方程为是 2u1u3 _u2 =0二、选择题（每小题2分，共10分）1. 下列哪个图形是仿射不变图形？ （ D ）A. 圆B.直角三角形C.矩形D.平行四边形2.22u1u2 -8u2 =0表示（C ）A. 以-1/4为方向的无穷远点和以1/2为方向的无穷远点B. 以-4为方向的无穷远点和以2为方向的无穷远点C. 以4为方向的无穷远点和以-2为方向的无穷远点D. 以1/4为方向的无穷远点和以-1/2为方向的无穷远点3. 两个不共底且不成透视的射影点列至少可以由几次透视对应组成？（ B ）A.

12、一次B.两次C.三次D.四次4. 下面的名称或定理分别不属于仿射几何学有（A ）:A.三角形的垂心B.梯形C.在平面内无三线共点的四条直线有六个交点D.椭圆5. 二次曲线按射影分类总共可分为（B ）A.4类B.5类C.6类D.8类三、判断题（每小题2分，共10分）1. 仿射对应不一定保持二直线的平行性。（X ）2. 两直线能把射影平面分成两个区域。（V）3. 当正负号任意选取时，齐次坐标（-1,-1,-1）表示两个相异的点。（X ）4. 在一维射影变换中，若已知一对对应元素（非自对应元素）符合对合条件，则 此射影变换一定是对合。（V）5. 配极变换是一种非奇线性对应。（V）四、作图题（8 分）

13、已知线束中三直线a,b,c，求作直线d,使（ab,cd）=-1 。（画图，写出作法过程和 根据）作法过程：1、设a,b,c交于点A,在c上任取一点C, （ 2分）2、过C点作两直线分别与a交于B E,与b交于F, D,（ 2分）3、BD与EF交于G,4、AG即为所求的d。（ 2分）根据：完全四点形的调和共轭性（2分）五、证明题（10分）如图，设FGH是完全四点形ABCD寸边三点形，过F的两直线TQ与SP分别交 AB, BC CD DA于 T, S, Q, P.试利用德萨格定理（或逆定理）证明： TS 与QP的交点M在直线GH上。对应顶点的连线BD,TQ,SP三线共点，（2分）由德萨格定理的逆定

14、理知，（2分）对应边的交点BT与DQ勺交点G, TS与 QPI勺交点M以及BS与 DP的交点HE点共线，即 TS与QPI勺交点M在直线GHt 六、计算题（42分）1.（6分）平面上经过A （-3 , 2）和B （6, 1）两点的直线被直线x+3y-6=0截于P点，求单比（ABP）解：设P点的坐标为（X0, y。）T (ABP)二空BP詈一（分割比），(2 分)帛 3 6 -2而：x0,y。1 +儿1十扎且P在直线x+3y-6=0 上,一3 62()3()-6=01 1 解得入=1,（2分）即P是AB中点，且（ABP = 12. （6分）已知仿射平面上直线I的非齐次坐标方程为x-2y+1=0，求

15、（1）I的齐次坐标方程；（2）I上无穷远点的坐标；(3) l上无穷远点的方程。(1) Xi-2x2+X3=0(2 分)(2) (1, 1/2 , 0)(2 分)(3) 山 u21/2 =03. (8分)在直线上取笛氏坐标为2 , 0, 3的三点作为射影坐标系的P*,P, E, (i) 求此直线上任一点P的笛氏坐标x与射影坐标入的关系；(ii )问有没有一点， 它的两种坐标相等？解：(i )由定义 入=(P*Po, EP) = (2 0 , 3x) =(3-2)(x-0)(x_2)(3_0) 3x_6故：丸=，且 1 =6式0(4 分)3x-63 6(ii)若有一点它的两种坐标相等，即 x= X

16、则有x=x ，即3x2 7x=0,3x-6当x=0及x=Z时两种坐标相等。34. (8分)求点列上的射影变换，它将参数为1,2,3的点分别变为参数为1,3,2的点，并求出此射影变换的自对应元素的参数。设射影变换的方程为：(2分)由题意知：a+b c d = 0,6a 2b 3c d =0 ,6a+3b+2c+d=0得到：a:b:c:d=3:-5:-5:7故射影变换方程为：3 -5 -5=0(4分)二重元素满足：32 一10,；”-7 =0 得，=7/3 或，=15. (6分)求由两个射影线束治-*3=0 , x2 - x3=0, 3，-0所构成的二阶曲线的方程。解：由题意： =3x2 - 3

17、x3 =0(2 分)由上式得:X23x3xX3（2 分）故所求方程即为3力3 -x2x3 =06. (8分)试求二次曲线r : 2 4x1x2 3x2+2x1xa-4x2xa=0的中心与渐近线。2 2二次曲线的齐次方程为：X1 +3X1X2-4X 2 +2x1X3 10x2X3=0,:D32-4-4-5 =：6丸二二次曲线为常态的,-50设中心(,),132二，A23 _21-513=2他=12-5232n254则中心为(竺，-26)(4分)2525(2 分)求渐近线方程：an乂+2a12XY+a2W=0, X=x E , Y=y n。 从 X+3XY- 4=0 (X+4Y (X Y) =0.

18、X+4Y=(x 14 )+4 (y+ 空)=0 5x+20y+18=0,252514X Y=(x )-25-(y+ 26 )=05x 5y 8=0。 25一、填空题(每空2分，共20分)1. 经过一切透视仿射不改变的性质和数量，称为仿射不变性和仿射不变量2. 共线三点的简比是仿射变量.3. 平面内三对对应点(原象不共线，映射也不共线)决定唯一仿射变换4. 点坐标为(1 , 0, 0)的方程是_U1=0.5. u? _u2 =0 代表点(1 , 1, 0)、(1 , - 1, 0)_ 的方程.6. 已知共线四点 A B C D 的交比(AB, CD)=2,则(CA, BD)=-1_.7. 对合由

19、 对不同的对应元素_唯一决定.8. 二阶曲线就是两个射影线束对应直线交点的全体.9. 证明公理体系的和谐性常用 模型法.10. 罗巴切夫斯基平面上既不相交，又不平行的两直线叫做分散直线.二、计算题(每小题6分，共30分)1.求直线x- 2y+3=0上无穷远点的坐标。1.解：化为齐次式X1- 2x2+3x3=0,以 X3=0 代入、 1得 x 1- 2x2=0, x 1=2x2 或 x 2= x12无穷远点坐标为(2 , 1, 0)2. 求仿射变换x 7x -y 1y =4x 2y 4x =7x -y -1 y =4x 2y 4的不变点6x -y 1=04x亠y亠4 =02. 解：由得 解此方程

20、，得不变点为（-丄，23. 求四点(2 , 1, - 1) , (1 , - 1, 1) , (1 , 0, 0) , (1 , 5, - 5)顺这次序的交比.3. 解：以(2 , 1, - 1)和(1 , - 1, 1)为基底，则(2 , 1, - 1)+ 卩 1(1, - 1,1)相当于(1 , 0, 0).2 i 1 _比_1 山 1 _ 0 _ 0得口 1 = 1又(2 , 1, - 1)+ 卩 2(1, - 1,1)相当于(1 , 5 , - 5).2 1 - -2- 21_ 5_-5所求交比为234. 试求二阶曲线的方程，它是由两个射影线束x1-入 x3=0 与 x2- x3=0

21、( =V)所决定的.将 X1-入 X3=0, x 2- ,3=0 中的，入，代入（1）X2X3X1 -X3X3 X1 2 X1 2X3X3得 X 2（X 1+2X3）- Xa（X 1- X3）=0 , 化简，即得所求的二阶曲线方程X1X2 2X2X3 -X1X35. 求二次曲线2x +xy- 3y +x- y=0的渐近线.112225.解：系数行列式112_211022 A 31=-,A 32=-,A33=-25444因此中心坐标E二1,耳二155由2X2+XY 3=0,即(2X+3Y)(X - Y)=0.得 2X+3Y=0 X - Y=0. (1)将 x=x+ 1 Y=y+ 1 代入(1)5

22、5得 2x+3y+ 仁0 x - y=0即为所求的渐近线方程三、作图题(每小题6分，共18分)1. 给定点A、B,作出点C,使(ABC)=4.A & -4-作法：(ABC)= AC -4 , BC 1 AC -BC _3 BC即 AB =3 .BC在AB延长线上，作点C,使BC=1 AB3R 人.丄.l62. 过定点P,作一条直线，使通过两条已知直线的不可到达的点作法：2.作法：（利用代沙格定理）:任取线束S,设束中两条直线交a于A,C,交 b 于 A, C;连直线PC, PC分别交线束S的第三条直线于B, B;直线BA和B A的交点Q与点P的连线，即为所求的直线注：1文字，2也可利用巴卜斯定

23、理；或完全四点形调和性质作图3. 如图，求作点p关于二次曲线r的极线作法：3作法：过P点任引两直线，使与r分别交于A、B及C、D,设 Q=AC BD R=AD BC,那么直线QR即为所求的极线.四、证明题（第1、2题各10分，第3小题12分，共32分）1.设P、Q R、S是完全四点形的顶点，A=PS QR,B=P QS,C=P RS,证明A=BC QR,B=CA RP, C 1=ABX PQ三点共线.证明：1.证明：在厶ABCS PQF中, AP BQ CR共点 S.对应边的交点G=ABX PQ B i=CA RP, A i=BCX RQ 三点共线2. 过二次曲线的焦点F,引两条共轭直线1,1

24、，证明I丄I .证明：2.证明：已知F为焦点，I , I为由F所引的二共轭直线，按其点定义，两迷向直线FI , FJ是二次曲线的切线.从而（FI ，FJ，I，I ）=- 1，所以I丄I 3. 将厶ABC的每边分成三等份，每个分点跟三角形的对顶相连，这六条线构成 一个六边形（图甲），求证它的三双对顶连线共点。证明（按以下程序作业）：第一步：将 ABC仿射变换为等边 A B C（图乙），为什么这样变换存在？ 第二步：在图乙中，画出图甲的对应点和线段，并叙述原来命题对应地变成怎样 的命题。第三步：证明：变换后的相应命题成立。这样原来命题也就成立，为什么？3.第一步，任意两三角形，总存在仿射变换，使其

25、中一个三角形仿射变换为 另一三角形.第二步：正三角形的每边三等份，每一分点跟三角形的对顶相连，这六条线构 成一个六边形，求证它的三双对顶的连线共点.第三步：由A作B C边上的高线A S,v A B C是正三角形，由对 称性可知K，N在A S上.同理J 、M与P L也分别在过点B、C 所作的高线上，因为 A B C的三高线共点，所以六边形J K L M N P的三对顶点的连线共点正三角形的垂心和重心是合一的，由于仿射变换构成变换群，且同素性和接合 关系以及三角形的重心是仿射不变性，所以原命题也成立(四)一、填空题(2分12=24分)二、1、平行四边形的仿射对应图形为：平行四边形 ；2、 直线X!

26、 5x2上无穷远点坐标为：(5, -1，0)3、 已知(1,2,1314)=3,贝 U (l4l32ll)= (Ill32l4)= -24、 过点A(1, -i ,2)的实直线的齐次方程为：2捲-X3 =05、方程 u2 -5u1u2 6u| =0表示的图形坐标(1,2,0 )(1,3,0 )2x_11&已知OX轴上的射影变换式为X二丝J，则原点的对应点-x+337、求点(1,-1,0)关于二阶曲线 3x； 5x； x； 7xm2 4x1X3 - 5x2X3 =0 的极线方程x13x2 6X3 = 08、ABCD为平行四边形，过 A引AE与对角线BD平行，则A(BC,DE) = -19、 一点

27、列到自身的两射影变换 a)： 1t 2，2t 3，3t 4 ; b )： 0t 1，2t 3 , 1t 0其 中为对合的是：_b10、求射影变换 加-2k+1=0的自对应元素的参数11、 两个线束点列成透视的充要条件是底的交点自对应12、直线 2x1 -X2 X3 =0上的三点 A(1,3,1)， B(2,5,1)，C(1,2,0)的单比(ABC)= _J二、求二阶曲线的方程，它是由下列两个射影线束所决定的:x| - X3 - 0 与 x _ X3 0 且 2 - 0。解：射影对应式为 2 1 =0由两线束的方程有:X3X3将它们代入射影对应式并化简得,X1X2 2x2X3 - X1X3 x3

28、 =0此即为所求二阶曲线的方程。三、证明：如果两个三点形内接于同一条二次曲线，则它们也同时外切于一条二次曲线证明：三点形ABC和三点形ABC内接于二次曲线（C）,设ABBC =DABAC =EAB BC=DA B AC=E，则 C （A,B；A；B） 一 C（A,B ；A；B）所以，(A,D,E, B) C (AB,A；B) C(ABA,B) (E：B A,D )即（A,D,E,B） 一（E；B ,A；D ）这两个点列对应点的连线 AC CBH，CA；BC连同这两个点列的底AB ABH属于同一条 二级曲线（C ），亦即三点形ABC和三点形ABC 的边外切一条二次曲线。四、已知四直线 11,12

29、,13 14的方程顺次为 2x! - x2 + x3=0, 3捲+x2 - 2x3 =0, 7x! - x2 =0,5捲73=0,求证四直线共点，并求（1112,1314 ）的值。（10 分）2-1131-2解：因为31-2=0且7-10=07-1050-1所以11, 12, 13, 14共点。四直线与x轴（X2 =0）的交点顺次为A(1,0,-2),B(2,0,3),C(0,0,1),D(1,0,5),非齐次坐标为121A(-丄,0),B(2,0),C(0,0),D(-,0)，235所以(1112, 1314)=( AB CD =2 1 1(0 兮5 2)五、求两对对应元素，其参数为11匸，2，所确定的对合方程。(10 分)解设所求为+