一阶微分方程的初等解法53129资料

1、第二章一阶微分方程的初等解法例 2-1 求(3x2 6xy2)dx (6x2y 4y 4 2 2 2 2)dy = 0 的通解。解解法1不定积分法。令 M (x, y) = 3x2 6xy2, N (x, y) = 6x2y 4y3，则 型 =12xy,型 -12xy，所以该方程为恰当方程。U-=M (x, y) = 3x2 6xy2， .x关于x积分，得U =x3 3x2y2:(y)，= 6x2y 川：L(y) = N (x, y) = 6x2 y 4y3，-:y： (y)=4y3，y) = yd (x y )3( y dx x dy ) = 0积分，得原方程的通解为x3 3x2y2 y4二

2、C。评注：求解一个对称形式方程的时候，首先应当判定它是不是恰当方程，如果是，则就可以直接进行求解，否则求其积分因子将方程化为恰当方程来求解。实际应用中，往往在判断一个方程为恰当方程之后，并不需要严格按照解法1和解法2的常规方法求解，而可以采用分项组合的办法，先把那些本身已构成全微分的项分出，再把剩下的项凑成全微分，这，所以通解为U (x, y) = x3 - 3x2 y2 寸。解法2公式法利用恰当方程求解方法 3中公式得方程通积分为x 22y 34322U (x, y) = 0 (3x +6xy ) dx 十4 y dy = y + x + 3x y = C解法3分组法去括号重新分组可得232

3、23x dx 4y dy 6xy dx 6x ydy 二 0样可以简化运算量，因此需要熟悉以下二元函数的全微分公式:X2ydx xdd(xy)，百，必， yyxxydx -xdyxyX= d(ln )，y(arctg 为，x yy警辔 Jd(ln，x y 2 x yxdx ydyx2 y2=-d ln( x22-2)，汀 x yx_y)，xd： yd? * r2)。x y例2-2求方程（x3 12 2 2x y )dx x ydy = 0 的通解。解经判断卫= 2y,也 =2xy，所以该方程不是恰当方程。分组得3 2 2 2x dx x ydy (x y )dx = 01显然前两项具有积分因子

4、 -1，相应的全微分为x1 2 2xdx ydy d(x y )，要使得J (X)x y，一（x）二2即可，这样就找到了一个积分因子x1成立。只需取 (X (x2 y2) . y2)=2x + y原方程两边同乘 J，可得评注：当一个方程不是恰当方程时,寻求积分因子便成了求解此类方程的一个有效途径,2 , 2 . 2X (X y )12( 22x (x y )分组组合法降低了寻找积分因子的难度，这就要求大家熟悉常见的二元函数的全微分公式。例2-3求方程ydx (y _x)dy二0的通解。FMfN解 由于 =1,亠=_1，所以原方程不是恰当方程。jy；x解法1可将原方程改写为ydx -xdy =

5、-ydy，1 1左端有积分因子 J(x, y) 2或J(x, y) 2，但考虑到右端只与变量y有关，故取xyJ(x,y)12y为方程的积分因子，因此有ydx - xdydyy两边积分可得通解7 lny=C，易见y = 0也是原方程的解。解法2也可将原方程改写为dydx这是齐次方程。令y = ux，即可进行求解。解法3将x看作未知函数，原方程可化为线性方程dxdy从而可就x进行求解。解法.:M ；:N由于_M只与y有关，所以存在关于 y的积分因子以叫x, y)为恰当方程，即y丄乘以方程两端，得到y1 1 xdx dy )dy = 0， y y yydx -xdy dy0 ，y yx因而通解为评注

6、：解法In y二C，另外，易见y = 0也是原方程的解。1体现了选取积分因子的一般原则，如果积分因子选取恰当，则解方程的难度就会降低；解法 2运用了转化的思想，将原方程化为可分离变量的方程；解法3体现了在求解常微分方程时， 变量x和y具有同等重要的地位， 有时侯将x看成y的函数，则方 程很容易就x求解；当判定 二丫 -只与x有关或者 x只与y有关时，运用解N-M法4可以很方便地求出积分因子，但必须注意乘以积分因子 J(x, y)可能出现使此积分因子为零的多余特解，同时应该注意在对方程作同解变形时，会不会产生漏解的情况，如果漏掉则应当补上，例如上例当中的y = 0。例2-4证明方程M(x, y)

7、dx - N(x,y)dy =0有形如=J (x, y)的积分因子的充要条件是(竺)(n M )4二f (x, y)，并求出这个积分因子。cyexexcy证 由定理2.2，方程M (x, y)dx - N(x, y)dy=0有积分因子 J(x, y)的充要条件是M -N |N -M =(y。L、.Lv/-h/x :y :y :x令 (x, y)，则有Nd mA二 d；:x d鋼-M 二(一x，y)即 - (x, y)满足下列微分方程-M,上式右端应为:(x, y)的函数，这就证明了 - :(x,y)为方程的积分因子的充要条件为：MN)(n=-m 二)Oxcy二 f(x,y) o求解一阶方程-5

8、二 f (x, y)，得积分因子为 珂(x, y) =e-f ;(x,y)d ；：o评注：此例对于探索积分因子极为有用。若令厂 x_y, 厂 xy, 口二-, 厂 x2 _y2, 口二x ay卩，则可分别获得方程 yM (x, y)dx N (x, y)dy 二 0具有以下形式二 f (x - y),厂 f (xy),(1 =f(x2_y2), 口 = f(x“y)积分因子的充分必要条件分别为:M : N;：y fxN 二 M:M: NxN 二 yM:y: x-学yN - xM1：M；:N:y:x，P-N -Mxy.:M二(x-y),(xy),八(二：(x2 y2)2M ：N、y (-) cy

9、exyN xMx)o例 2-5 求方程 x(4ydx 2xdy) y3(3ydx 5xdy)二 0 的通解。1解对第一项，可以取 M二土，乘以M得 x y4dx 2dy “A 2 .+= 2d (In x y ),x y因此可取第一项的积分因子通式为斗匚宀x2y 。x y同理第二项的积分因子通式为x3y5 。xy容易看出，若取G, t二t2,G2 t =t，则两项的积分因子相等为:：Ji x2y 口1,3 522 x y x y xy这就是方程的积分因子。如果不易观察到所需的t:2 t，我们可以尝试用下面方法。现设尬1 Z = Z ,事2 Z = Z卩，我们选择a, B使得12 a a 13

10、3 5 3x y4 x yx yxy成立。比较两边x, y的次数，得2a-2=33-1a1=53_42心，y)二 X y。从而求得因此两项的公共积分因子，即原方程的积分因子是将所求积分因子乘原方程两端得j 324t/2534b4x y dx 2x ydy 3x y dx 5x y dy = 0 ,即有y2dx4 x4dy2 广y5dx3 x3dy5 =0 ,故通解是x4y2 x3y5 =C。评注：用分组法求积分因子的关键在于方程恰当分组和寻求各组的共同积分因子。例2-6求下列方程的通解。1) (5xy 3y3)dx (3x2 7xy2)dy =02) (3xy3 -2y)dx (x2y2 x)

11、dy = 0解1)解法1 设有积分因子 - y :，则(51y -1 - 3x :厂 3)dx (3x ： 2 厂 - 7x ： 1 厂 2 )dy = 0为恰当方程，于是：(5x： j 3x：y3)：(3x： 2厂一7x：2) ?訶;x5(“厂一右3)xV2=3(：2)x厂 一7(：1)x：厂2，比较系数可得3 _5P =_17 -30 =2解之得因此，积分因子为将所求积分因子乘以分组后方程5xydx 3x2dy i i3ydx 7xy2dy 二 0即有f 335117355x2y2dx +3x2y2dy3x2y2dx + 7x2y2dyJ)(3553(7337、y2dx2 +x2dy2y2

12、dx2 +x2dy2=0l丿=0，容易得出原方程的通积分是532 2 x2 y2 -37-x2y2 =C。解法2方程各项重新组合为因此可取第一个括号的积分因子通式为x3y 。x y同理第二个括号的积分因子通式为：2 2 。xy 2 lx2丿现设症1 z二z，住2 Z = Z卩，我们选择a, B使得13 a a 1_2 B-x y x y x yxy成立。比较两边x, y的次数，得*从而求得因此两项的公共积分因子，即原方程的积分因子是m(x, y)将所求积分因子乘以分组后方程3223xy dx x y dy亠2 ydx xdy = 0得即有3x2ydx x3dyydx3 x3dyx22x八门-d

13、x + p dy =0 , y-dx2 +x2d yi y力=0容易得出通积分是23 x322x yC 或 x y x Cy。y评注：待定指数法提供了当对称形式方程的系数为多项式时求积分因子的一个一般性方法，具有一定的实用价值。如果通过比较指数法解不出:-和1 ,或者和1得表达式比较复杂，这时可以考虑利用分组法来求积分因子。例 2-7 解方程(y x3y 2x2)dx (x 4xy4 8y3)dy 二 0。解方程各项重新组合为ydx xdy 亠xydx 4xy4dy L 2x2dx 8y3dy = 0 ,d xy i亠 xy x2dx 4y3dy i亠 2dd xy xyd2d 工 y43=0

14、,3此时，可令u = y4,v二xy，上方程化为3dv vdu 2du = 0 ,解之得u l n 2 v = C ,回代变量得原方程的通积分为x3 + 3y4 + 31 n 2 + xy = 3C，另外xy = -2也是方程的解。评注：通过变量变换，降低了方程的求解难度，但是究竟采用怎样的变换，一般而言, 没有规律可循。从此例中我们可以看到， 有时可将方程变形， 在这个过程中观察其特点，寻 找恰当的变换。例2-8 求解方程 y = xy In x (xy )2。解设乌汀，原方程写为2(1)y 二 xpln x (xp)两边关于x求导，得到pxlnx plnx p 2xp2 2px2， dxd

15、x化简后得到(ln x 2xp)(x p) = 0， dx由此可得P二詈或x乎二-p2x dxIn xi代入(1)，得原方程的一个特解y = (lnx)2 ；-2x4由方程x = -p，解得p=C，代入(1),得到原方程的通解 y = CI nx + c2。 dxx评注：属于第一类能解出 y(或x)的方程，引进参数些=p，则原方程变为dxy = f (x, p)，两边关于x求导，得到p的关系式。注意要全面考察这个关系式，有的已经是p的直接表示式，对应方程的奇解；而有的还须求解关于p的微分方程，对应方程的通解。例2-9 求解方程 (y )2COS2y y Sin xCOSx COS y-Siny

16、 COS2 x = 0。解 这是隐式方程的求解问题。令 sin y 二 u,sin x = v，则du 二(cos y)dy, dv = (cos x)dx, y = COSx ， cosy dv代入原方程，得/2 / du、2 丄 /.2、du.2(cos x)( ) (sin xcos x)sinycosdvdv整理得方程(巴)2 v巴，dv dv(叫2 v虫2v。2dv dv这是关于u,v的克莱洛方程，其通解为U = C2 vc，奇解为u2 QIC y 从而可得原方程的通解和奇解分别为sin y = c2 csin x,sin y =2评注：运用适当的变换将方程转化为可积类型或一些特殊方

17、程，从而即可求解原方程,这就需要熟悉常见的可积方程，例如迫努利方程，黎卡提方程，雅可比方程等。 例2-10求满足下列关系式的函数y(x)。2x1) y(x)= x22 0 y(t)dtXXo2)y(t)dt (x _t)2ty(t) ty2(t)dt 二 xoo解1 )给方程两端关于x求导得y (x)二 2x 2y(x),则求解积分方程2 xy(x) = x 2 y(t)dt就等价于求解初值问题了 = 2y+ 2x:y(0) = 0解上面微分方程得其通解为y = e2xC2 xe，xdx，即2x1y = Ce - x -211满足初始条件的解为 y = 1 e2x - X -丄。222)给方程

18、两端关于x求导得x2y(x) 02ty(t) ty2(t)dt =1，对上方程两端关于x再求导得2y (x) 2xy(x) xy (x) = 0。这样，求解原积分方程xx20 y(t)dt 0 (x -t)2ty(t) ty (t)dt = x就等价于求解初值问题y = _2xy _ xy2(0)=1方程y - -2xy - xy 2是迫努利方程，两端同除以- y2，变形为“2x 丄 x dx yy解之得方程 y = -2xy - xy2得通解为-=eCy2xe dx x2二 ex C-Cex21x2 ,- 2 de 122即 y =2。2Cex - 1故满足初始条件的解为评注：本题是一类积分方程的求解问题，通常是通过对方程关于 x求导，转化为求解常微分方程的初值问题。需要熟悉变上限函数的求导公式(x)d 0 f (t)dtdx二 f( (x)屮dx和含参变量积分的求导公式B(x)dx a(x) f(x，t)dt S(x);：xf(x)cf(x,t)dt + f (x, B(x) /(X) f (x, oc(x) a(x)。例2-11设函数f(t)在0, ：)上连续，且满足方程)dxdyf (t)二 e4. f ( , x2y2x24y2t22解显然有f (0) =1。由于Ifx2 y4t2(丄