梯度散度旋度的关系

1、梯度gradie nt设体系中某处的物理参数(如温度、速度、浓度等)为w，在与其垂直距离的dy处该参数为w+dw，则称为该物理参数的梯度，也即该物理参数的变化率。如果参数为速度、浓度或温度，则分别称为速度梯度、浓度梯度或温度梯度。在向量微积分中，标量场的梯度是一个 向量场。标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。更严 格的说，从欧氏空间Rn到R的函数的梯度是在Rn某一点最佳的线性近似。在这个意义上，梯度是雅戈比矩阵的一个特殊情况。在单变量的实值函数的情况，梯度只是 导数，或者，对于一个 线性函 数，也就是线的斜率。梯度一词有时用于斜度，也就是一个曲面沿着给

2、定方向的倾斜程度。 可以通过取向量梯度和所研究的方向的点积来得到斜度。梯度的数值有时也被成为梯度。在二元函数的情形，设函数z=f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导 数，则对于每一点 P(x,y) D，都可以定出一个向量(S f/x)*i+( S f/y)*这向量称为函数 z=f(x,y)在点P(x,y)的梯度，记作 gradf(x,y)类似的对三元函数也可以定义一个：(S f/x)*i+( S f/y)*j+(S f/记为gradf(x,y,z)梯度的汉语词义，用法。现代汉语词典附：新词新义梯度1坡度。2. 单位时间或单位距离内某种现象(如温度、气压、密度、速度等) 变化的程度。3. 依

3、照一定次序分层次地：我国经济发展由东向西推进。4. 依照一定次序分出的层次：考试命题要讲究题型有变化，难易有。散度散度(diverge nee )的概念：在矢量场F中的任一点 M处作一个包围该点的任意闭合曲面S,当S所限定的体积 4V以任何方式趋近于0时，则比值为F dS/ AV的极限称为矢量场F在点M处的散度，并记作 div F由散度的定义可知，div F表示在点 M处的单位体积内散发出来的矢量 F的 通量，所以div F描述了通量源的密度。div F= F气象学：散度指流体运动时单位体积的改变率。简单地说，流体在运动中集中 的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。用以表示的量称为散度，值为

4、负时为辐合，此时有利于天气系统的的发展和增强，为正时表示辐散，有 利于天气系统的消散。表示辐合、辐散的物理量为散度。微积分学一多元微积分一多元函数积分：设某量场由 A(x,y,z) = P(x,y,z) i + Q(x.y,z) j + R(x,y,z) k 给出，其中 P、 Q、R具有一阶连续 偏导数，工是场内一有向曲面，n是工在点(x,y,z)处 的单位法 向量，贝U /ATndS叫做向量场 A通过曲面 工向着指定侧的通 量，而 S P/ S x + S Q/S y + SHR/jfc向:量场A 的散度，记作 div A，即 divA=S P/ S x + S Q/ S y + o S R

5、/ Sz上述式子中的 S为偏微分(partial derivative )符号。散度(diverge nee)的运算法则：div ( a A + B B= a div A+ p div B ( a ,为常数)div ( u A ) = u div A+ A grad u (u为数性函数)旋度设有向量场A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k在坐标轴上的投影分别为S R/ Sy S Q/S z S P/ S-zS R/ S x S Q/S x S P/ S y的向量叫做向量场A的旋度，记作 rot A或curl A ，即rot A= ( S R/ S-y S

6、Q/ S z )i+( S P / S R/ S x )j+( S QZ Sf5/ S y)k 式中的 S为偏微分(partial derivative )符号。行列式记号旋度rot A的表达式可以用行列式记号形式表示：若 A=Ax- i+Ay -j，则 rotA=(dAy/dx)i-(dAx/dy)j若 A=Ax- i+Ay -j+Az -k贝U rotA=(dAz/dy-dAy/dz)i+(dAx/dz-dAz/dx)j+(dAy/dx-dAx/dy)k 为一向量。向量场A，数量场u称为汉密尔顿算子，算法不表示了，符号打不出来。 = 2= ，称为拉普拉斯算子梯度 u散度 A旋度朋 首先梯度

7、和旋度是向量场，而散度是标量。梯度针对一个数量场（势场），衡量一个数量场的变化方向。梯度为0 说明该势场是个等势场。散度针对一个向量场， 衡量一个向量场的单位体积内的场强。 散度为0说明这个场没有源头。旋度针对一个向量场， 衡量一个向量场的自旋。 旋度为 0 说明这个场是个保守场（无旋场），保守场一定是某个数量场的梯度场。三者的关系：注意各自针对的对象不同。1梯度的旋度u=0梯度场的旋度为 0，故梯度场是保守场。例如重力场。2.梯度的散度 %= u3散度的梯度 （ A）4旋度的散度 （朋）=0旋度场的散度为 0，故旋度场是无源场。例如磁场，磁场本身是其他场的旋度场。5.旋度的旋度(A)=V( A)- 2A= ( A)- A旋度场的旋度 也要说明一下，匀强场是保守场，因此绝对的匀强磁场是不可能的， 磁场本身也是有旋场。1.已