概率论与数理统计期末考试复习资料剖析

1、第1章随机事件及其概率(1)排 列组合 公式P* 从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 (m _n)!cm - !( m! )!从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 n !(m n)!(2)加 法和乘 法原理加法原理(两种方法均能完成此事)：m+n某件事由两种方法来完成，第 种方法可由m种方法完成，第一种方 法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n种方法来完成。乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事)：mx n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步 骤可由n种方法来完成，则这件事可由mx n种方法来完成。一 些常见 排列重复排列和非重复排列(有序) 对立事件(至少有一

2、个)顺序问题随 机试验 和随机 事件如果一个试验在相冋条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不 止 个，但在进行 次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这 种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。基本事 件、样 本空间 和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件, 它具有如下性质： 每进行 次试验，必须发生且只能发生这 组中的 个事件； 任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。一个事件就是由0中的部分点(基本事件组成的集合。通常用大 写字母A, B, C,表示事

3、件，它们是。的子集。为必然事件，？为不可能事件。不可能事件(?)的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件; 同理，必然事件(Q)的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然 事件。事 件的关 系与运 算 关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，(A发生必有事件B 发生)：AUB如果同时有AUB , BnA，则称事件A与事件B等价，或称A等于B: A=BA B中至少有一个发生的事件：AUB,或者A+B属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B, 也可表示为A-AB或者AB，它表示A发生而B不发生的事件。A B同时发生：A1B,或者AB AB=?，则表示A与B不可能

4、同时发 生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 Q-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为八 它表示A不 发生的事件。互斥未必对立。 运算：结合率：A(BC)=(AB)C AJ(BUC)=(AU B)UC分配率：(AB)UC=(AJ C)Q(BUC) (A U B) Q C=(AC)J (BC) 德摩根率：冷Ai =U Ai 律TB-ADb，RB = AUBi ai 4(7)概 率的公 理化定 义设(若满足下12300 、P U Ai2丿则称】为样本空间，a为事件，对每一个事件a都有一个实数P(A), 列三个条件：0 P(A) 0,则称P(A、)为事件A发生条件P(

5、A丿下，事件B发生的条件概率，记为P(B/A)-P(A)条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如 P(Q/B)=1 二 P(B/A)=1-P(B/A)(13)乘法公 式乘法公式：P(AB) =P(A)P(B/A)更一般地，对事件A, A,A，若P(AAA1)0,则有P(A1A2 An) P(A1)P(A2| A1)P(A3| A1A2)P(An | A1A2 An 1)。(14)独立性两个事件的独立性设事件A、B满足P(AB) =P(A)P(B)，则称事件A、B是相互独立 的。若事件A、B相互独立，且P(A)a0，则有P(B册鸞册P(B)P(AP4A若事件A、B相互独立，则可

6、得到A与B、A与B、A与B也都相 互独立。必然事件。和不可能事件？与任何事件都相互独立。?与任何事件都互斥。多个事件的独立性设AB(是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)二P(A)P(B) P(BC)二P(B)P(C) P(CA)二P(C)P(A) 并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互独立。对于n个事件类似。(15)全概公 式设事件Bl, B2,Bn满足1 Bl, B2,，Bn 两两互不相容,P(Bi) 0(i =1,2，,n)，nc 2 Au U Bi，i4则有P(A) =P(B1)P(A| B1)+ P(B2)P(A| B2) + +P(Bn)P(

7、A| Bn)。(16)贝叶斯 公式设事件B1 , B2，Bn及A满足1 B1, B2，,Bn两两互不相容，P(Bi)0, i = 1, 2,n ,nc 2 Au U Bi , P(A) 0 ,i 土则P(B/A)_卩旧)咻/即P(Bi/A) n, i=1 , 2,n。迟 P(Bj)P(A/Bj)j壬此公式即为贝叶斯公式。P(B), (i =1 ,2 ,，n),通常叫先验概率。P(BA) , (i =1 , 2 ,， n),通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了 “因果”的概率规律，并 作出了“由果朔因”的推断。(17)伯努利概型我们作了 n次试验，且满足每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；

8、 n次试验是重复进行的，即a发生的概率每次均一样； 每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验a发 生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。用P表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为1- p=q ,用Pn(k) 表示n重伯努利试验中A出现k(0兰k兰n)次的概率， Pn(k)=c：pkqn，k =0,1,2，n。第二章随机变量及其分布(1)离 散型随 机变量 的分布 律设离散型随机变量x的可能取值为X(k=1,2,)且取各个值 的概率，即事件(X=X)的概率为P(X=xk)=pk, k=1,2,，则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也 用分布

9、列的形式给出：X, XX2，xk,|。P(X =xk) p1, p2,pk, 显然分布律应满足下列条件：0(1) pk 启0 , k =1,2,(2)送 pk =1。(2)连 续型随 机变量 的分布 密度设F(x)是随机变量X的分布函数，若存在非负函数f(x),对任意 实数X，有XF (x) = Jf (x)dx ,则称X为连续型随机变量。f(x)称为X的概率密度函数或密度函 数，简称概率密度。密度函数具有下面4个性质：x O1 f(x)启0。c -be2 f(x)dx = 1。(3)离 散与连 续型随 机变量 的关系P(X =x)吧 P(xvX Ex + dx) f (x)dx积分兀f(x)

10、dx在连续型随机变量理论中所起的作用与P(X =xk) = pk在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。(4)分 布函数设X为随机变量，x是任意实数，则函数F(x) =P(X 0 , k = 0,1,2八,则称随机变量X服从参数为&的泊松分布，记为X 兀(丸)或者P(X)。泊松分布为二项分布的极限分布(np二入，n宀乂)。超几何分P(X k) CM 心3 k = 0,1,2，1布CNl = min(M , n)随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n ,N,M)。几何分布P(X = k) = qkp,k =1,2,3，其中 p0, q=1-p。 随机变量X服从参数为p的几何分布，

11、记为G(p)。均匀分布设随机变量x的值只落在a , b内，其密度函数f (x)在a , b上为常数b 1 a，即1a x bf(x)b-a10,其他，则称随机变量x在a , b上服从均匀分布，记为xU(a b)。分布函数为0,xa,x a*b - aa x b。当 ax1x20，则称随机变量X服从参数为化的指数 分布。X的分布函数为1-e朋，XZO,F(x)J 01 O,x0为常数，则称随机变量X服从参数为卩、坊的正态分布或咼斯(GausS分布，记为2X N(吓)。f(x)具有如下性质：1f(x)的图形是关于X =卩对称的；12当x - 4时，f；为最大值；寸2兀若XN(P2)，则X的分布函数

12、为1X(t-2F(x)= J e 亦 dtoo参数卩- 0、貯=1时的正态分布称为标准正态分布，记为X N(0,1)，其密度函数记为彳x2半(x)_e7，亠 5+辺，分布函数为1 X上.(x) = fe 2 dt o*2 _co(x)是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。(-X)=1-(x)且(0) =1 ox -卜2 如果X N(吓2)，则N(0,1) oP(X1 0 (i,j=1,2,);, p二二 Pij = 1 .,pn,，Y=g(x)的分布列(yi=g(x丿)互不相等)如下：Yg(X1), g(x2),g(Xn),P(Y = yi) p1, p2,pn,，若有某些g(Xi)相

13、等，则应将对应的Pi相加作为g(Xi) 的概率。连续型先利用X的概率密度fX(X)写出丫的分布函数F(y) = P(g(X)y)，再利用变上下限积分的求导公式求出 f 乂y)。第三章二维随机变量及其分布(1)联合离散型 分布如果二维随机向量(X, Y)的所有可能取值为 至多可列个有序对(x,y )，则称匕为离散型随机量。设.=(X, Y)的所有可能取值为(Xi,yj)(i,j =1,2,)，且事件=(为$)的概率为 p,称P(X,Y)=(Xi,yj) = Pj(i,j =1,2,)为.=(X, Y)的分布律或称为X和Y的联合分布律。 联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：y1y2yjX1pn

14、P12P1jX2P21P22pj3aaaXiP1Pij99a9这里pij具有下面两个性质:连续型1)对于二维随机向量匕=(X,Y)，如果存在非负函数f (x, y)(皿x 母,亠 y 垃),使对任意一个其邻 边分别平行于坐标轴的矩形区域D,即D=(X, Y)|a0; 心匚 f(x,y)dxdy = 1.(2)二维 随机变量 的本质(X =x,Y =y) = C(X =x“Y = y)(3)联合 分布函数设(X, Y)为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数F(x,y)=PX 兰x,YEy称为二维随机向量(X, Y)的分布函数，或称为随机变量X和丫 的联合分布函数。分布函数是一个以全平面为其

15、定义域，以事件1,国2)1虫vX(d)兰X,皿vY佝2)兰y的概率为函数值的一个 实值函数。分布函数F(x,y)具有以下的基本性质：(1) o 兰 F(x, y)兰 1;(2) F(x,y )分别对x和y是非减的，即当 X2X1 时，有 F (x2,y) F(x1,y);当讨沙时，有 F(x,y 2) F(x,y 1)；(3) F (x,y )分别对x和y是右连续的，即F(x,y)=F(x+O, y),F(x, y)=F(x,y+0);(4) F ( -,-o) = F (-00, y) = F (x,-) = 0, F (性址)=1.(5) 对于X1 ex?, y1 y2,F(X2, y2)

16、-F(X2, yj-F(X1, y2)+F(X1, yJO.(4)离散 型与连续 型的关系P(X=x, Y = y)叱 P(x X 兰x + dx, y cY 兰 y + dy)畑 f (x, y)dxdy(5)边缘 分布离散型X的边缘分布为Pi. = P(X =人)=迟 Pj(i, j =1,2,).j，Y的边缘分布为P=P(Y=yj)=2： Pj(i,j=1,2，)。i连续型X的边缘分布密度为 fx(x) = Lof(x, y)dy； 丫的边缘分布密度为 fY (y)=匚 f (x, y)dx.(6)条件 分布离散型在已知X=x的条件下，Y取值的条件分布为PjP(Y=yj|X=xJ= J

17、；叽在已知Y=y的条件下，X取值的条件分布为PjP(X Xi |Y-yj)-已,Pj连续型在已知丫二y的条件下，X的条件分布密度为 f(x|y)(X，y) fY(y)；在已知X=x的条件下，丫的条件分布密度为1、 f(x,y)f(y|x)占，、fx(X)(7)独立 性一般型F(X, Y)二 F(x)F 乂y)离散型Pj =P4有零不独立连续型f(x,y)=f X(x)f 乂y) 直接判断，充要条件： 可分离变量 正概率密度区间为矩形二维正态 分布12Rx44)(y 卫)石_叮11花1/”! 厂K52丿f(x,y): e，_、2 兀 6 CT 2 十1 一 P 卩=0随机变量 的函数若X,X2,

18、 XXm+,X相互独立，h,g为连续函数， 则：h (X, X X)和g (Xm+,X)相互独立。 特例：若X与丫独立，贝卩：h (X)和g (Y)独立。 例如：若X与丫独立，则:3X+1和 5Y-2独立。(8)二维 均匀分布设随机向量(X, Y)的分布密度函数为1(x, y)DSdf (x,y) i0, 其他其中SD为区域D的面积，则称(X, Y)服从D上的均匀分布, 记为(X Y)U (D)。例如图3.1、图3.2和图3.3。yO 1x*图3.1x图3.2D3图3.3(9)二维 正态分布设随机向量(X, Y)的分布密度函数为f(x,y)_ 1 x_4 2q：(x_1)(y_2). y-2

19、22d；2)一q2G其中1匕二1 d 0,1讣：1是5个参数，则称(X, Y)服从二 维正态分布，记为(X Y)N( d2,打C由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布 仍为正态分布，即 XN ( J1/-i),YNel2；-f).但是若XN( %二12),丫 N(b,打)，(X, Y)未必是二维正态分布。Z=X+Y根据定义计算：Fz(z) = P(Zz) = P(X+Y“)bo对于连续型，fz(z) = Jf(x,z x)dx两个独立的正态分布的禾和仍为正态分布(出 +卩2,02)。n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态 分布。2 2 2卩=送 CH12丿(-：:t ：

20、 ：).我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为Tt(n)。F分布tn) 1：.( n)设X 2( nJ,Y 2叽)，且X与Y独立，可以证明X / nf =芮十的概率密度函数为f (y)二:nin2.2nin2n222ni2niy2iiyni n2V2-,y250, y 0第四章 随机变量的数字特征我们称随机变量F服从第一个自由度为ni,第二个自由度为n2的F分布，记为Ff(ni, n 2).(i) 一维 随机 变量 的数 字特 征离散型连续型期望期望就是平均值设X是离散型随机变量， 其分布律为P(X =Xk)=Pk, k=1,2,n ,nE(X)=送 Xk Pkk=1(要求绝对收敛)设X

21、是连续型随机变量，其 概率密度为f(x),-boE(X)= Jxf(x)dxa(要求绝对收敛)函数的期望丫=g(x)nE(Y)=E g(Xk)Pkkm丫=g(x)-boE(Y)= Jg(x)f(x)dx-0方差D(X)=EX-E(X)2,标准差2)n 2(5) 二维 随机 变量 的数 字特 征期望nE(X)=2： Xi Pi.i 二nE(YM yjP掃boE(X)= JxfX(x)dxa-boE(Y)= JyfY(y)dya函数的期望EG(X,Y)= 送送 G(Xi,yj)Pij i jEG(X,Y)=be -beJ JG(x,y) f(x,y)dxdy-oO-oO方差D(X)=2；以E(X)

22、2p,iD(Y)=E Xj -E(Y)2p.j-boD(X)= JxE(X)2fx(x)dx_nO-boD(Y)= Jy-E(Y)2fY(y)dy-0协方差对于随机变量X与Y,称它们的二阶混合中心矩卩11为X 与丫的协方差或相关矩，记为xy或cov(X,Y)，即卩XY =*1 =E(XE(X)(Y E(Y).与记号廿xy相对应，X与丫的方差D(X)与D(Y)也可 分别记为口 XX与bYY。相关系数对于随机变XYJd(x)JD 为X与丫 的| Pl 0, D(Y)0,则称Y)J相关系数，记作PXY (有时可简记为P)。 1,当| P|=1时，称X与丫完全相关：b) =1正相关，当P = 1时(a

23、 a0), 负相关，当P = 1时(a0), 寸，称X与丫不相关。 亍题是等价的：)=0； XX)E(Y);：D(X)+D(Y); D(X)+D( Y).协方差矩阵务 XX XYgyx gyy丿混合矩对于随机变量X与Y,如果有E(XkY)存在，则称之为 X与丫的k+l阶混合原点矩，记为ki ； k+l阶混合中心 矩记为：Uki =E(X E(X)k(Y E(Y)1.(6)cov (X, Y)=cov (Y, X);协方cov(aX,b Y)二ab cov(X, Y);差的)cov(X1+X, Y)二cov(X 1,Y )+cov(X2, Y);性质)cov(X, Y)二E(X Y)-E(X)E

24、( Y).(7)若随机变量X与丫相互独立，贝S Pxy=0 ；反之不真。独立若(X, Y)沖(41,巴站厲2, P),和不则X与丫相互独立的充要条件是X和丫不相关。相关第五章 大数定律和中心极限定理(1)大数定律X L切比 雪夫 大数 定律设随机变量X, X2,相互独立，均具有有限方差, 且被同一常数C所界：D(X) C(i=1,2,)，则对 于任意的正数有1 n1 nlim P-Z Xi-S E(Xi) znY Jn i二n i 4丿特殊情形：若Xi, X2, (X)二卩，则上式成为具有相同的数学期望E(1 *lim P一送 Xin- In i壬伯努 利大 数定 律辛钦 大数 定律lim P

25、 -Z Xi 8=1n Qn y)设口是n次独立试验中事件A发生的次数,p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意的正伯努利大数定律说明，当试验次数n很大时， 事件A发生的频率与概率有较大判别的可能性很 小，即lim p上-=0.Qn丨这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。 设X, X ，X,是相互独立同分布的随机变量 序列，且E (Xn)二卩，则对于任意的正数有(2)中心极限定理2Nt N(A, )n列维 林 德伯 格定 理设随机变量x,x,相互独 且具有相冋的数学期望和方差 E(Xk)=巴 D(Xk)=厉 2 式0(k =1,2nZ Xk - nAYk n 皿的分布函数Fn( X)对任

26、意的实数 k nrZ Xk -nA lim Fn (x) = lim P? x“护nY gI此定理也称为独立同分布的中心虫立，服从同一分布，)，则随机变量X,有1x J_厉翳2 dt. J、极限定理。棣莫 弗 拉普 拉斯 定理设随机变量Xn为具有参数n, p( 布，则对于任意实数X,有Xn - np1/=lim PJ . = fnY Jnp(1 P) ,U2n(0p0，贝卩kC：pk(1-p)ZT ；(nT .k!其中k=0, 1, 2,，n,。二项分布的极限分布为泊松分布。第六章样本及抽样分布(1)数理 统计的基 本概念总体在数理统计中，常把被考察对象的某一个(或多个) 指标的全体称为总体(

27、或母体)。我们总是把总体看 成一个具有分布的随机变量(或随机向量)个体:总体中的每一个单兀称为样品(或个体)t样本我们把从总体中抽取的部分样品石见，,xn称为样 本。样本中所含的样品数称为样本容量，一般用n 表示。在 般情况下，总疋把样本看成疋n个相互 独立的且与总体有相同分布的随机变量，这样的样 本称为简单随机样本。在泛指任次抽取的结果时， X1,X2，Xn表示n个随机变量(样本)；在具体的一 次抽取之后，X1,X2, ,Xn表示n个具体的数值(样 本值)。我们称之为样本的两重性。样本函数 和统计量设XX2,，Xn为总体的一个样本，称9 =P(XX2,Xn)为样本函数，其中为一个连续函数。如

28、果中不 包含任何未知参数，则称(XX2,，Xn )为一个 统计量。常见统计 量及其性 质1 n样本均值X= Xi.n i_j样本方差1 nS2 -送(Xi X)2.n-1i=i样本标准差sj亠无(Xi X)2.和-1y样本k阶原点矩1)kM k = 送 Xi , k =1,2，.n i 二样本k阶中心矩1 n - kM；E ( -x) ,k=2,3，.n i吕2E(X) = ，D(X) = ，nE(S2)2，E(S* )-a ,n1 n 其中s*2=送(Xi-X)2，为二阶中心矩。n y(2)正态 总体下的 四大分布正态分布设X1，X2,Xn为来自正态总体N (巴仃彳)的个样本， 则样本函数d

29、ef X 卩u 一一 N(0,1). / Jnt分布设X1,X2 Xn为来自正态总体N (巴0 2 )的一个样本， 则样本函数def X 4t厂 t(n 1),s/它n其中t(n-1)表示自由度为n-1的t分布。沪分布设人,X2，&为来自正态总体N (听2)的一个样本， 则样本函数2def (n 1)S讥w=2 上2(n _ 1),CT 2其中,(门-1)表示自由度为n-1的,分布。F分布设X1,X2，,Xn为来自正态总体N （出巧）的一个样 本，而yr,yn为来自正态总体n（aq；）的一个 样本，则样本函数def Sf/W2F/ 2 F（m 1,n2 1）,S2 / 2其中2 1 n1- 2

30、 2 1n2- 2S1 -瓦（xi - x） ,S2 -（yi - y）,n1 - 1 i n2 - 1 i二F（q 1, n2 -1）表示第一自由度为n1 -1 ,第二自由度 为压-1的F分布。（3）正态 总体下分 布的性质X与S2独立。第七章参数估计矩估计（1）点估计设总体X的分布中包含有未知数1门2厂Cm，则其分布函 数可以表成F（x;九如,如.它的k阶原点矩Vk二E（Xk）（k=1,2,m）中也包含了未知参数二1门2,，珀， 即Vk VkU门2,Jm）。又设Xi,X2, ,Xn为总体X的n个样 本值，其样本的k阶原点矩为1 kXi （k =1,2,m）.n i生这样，我们按照“当参数等

31、于其估计量时，总体矩等于相 应的样本矩”的原则建立方程，即有A AA 1 nV1 （日1 ,日2 ,，日m）Xi ,n 7A AA 1 n 2V2（d,02，,%）=Xi ,n i =1小八1nmVmf 2,，X；. n i m由上面的m个方程中,解出的m个未知参数虜,4,日爲即 为参数L1宀,，入）的矩估计量。若二为，的矩估计，g（X）为连续函数，则g（询为gL）的矩 估计。极大似 然估计当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为 f(X；0冃2,，亦)，其中日1,日2,，为未知参数。又设 Xi,X2,，Xn为总体的一个样本，称nL(01 月 2,8m) = f (Xi 1 月 2,0m)i

32、4为样本的似然函数，简记为Ln.当总体X为离型随机变量时，设其分布律为PX = = p(X；d，日2，,8m)，则称nL(Xi,X2，Xn,日 2,8m) = P(Xi；也 0，)i=1为样本的似然函数。若似然函数L(Xi,X2，,Xn；日1,日2,，日m)在&,&2，,fm处 取到最大值，则称日1,日2,0m分别为6,02, ,8m的最大似 然估计值，相应的统计量称为最大似然估计量。剖n Lnc 2y=0,i =1,2,，m若&为日的极大似然估计,g(x)为单调函数，则为g(T) 的极大似然估计。(2) 估计 量的 评选 标准无偏性设8 = 0(x1,x2 - ,xn)为未知参数日的估计量。

33、若E (日)-日， 则称0为日的无偏估计量。E( X)二E(X), E (引=D(X)有效性设日1 =01(X1,X,2，,Xn)和日2 =02(X1,X,2，,Xn )是未知参数 日的两个无偏估计量。若D但1) D(日2),则称。1比日2有效。致性设fn是日的一串估计量，如果对于任意的正数，都有A铲-日|以)=0, 则称金为日的 致估计量(或相合估计量)。若&为日的无偏估计，且D(闵T 0(nT,则苗为B的 致 估计。只要总体的E(X)和 D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续 函数都是相应总体的一致估计量。(3) 区间 估计置信区 间和置 信度设总体X含有个待估的未知参数。如果我们从样本

34、X1, X,2，,xn出发，找出两个统计1 =日1 (X1, X,2，,xn )与 ，2(X1,X,2，,Xn)(d0，使得区间4,日 2以1 -。(0 V1)的概率包含这个待估参数，即P何兰日弐2 =1 -3那么称区间日1,巧为日的置信区间，1 为该区间的置信 度(或置信水平)。单正态 总体的 期望和 方差的 区间估 计设Xi,X,2,Xn为总体XN(U2)的一个样本，在置信度 为1 下，我们来确定和匚2的置信区间如如。具体步 骤如下：(i )选择样本函数；(ii )由置信度1-，查表找分位数；(iii )导出置信区间九如。已知方差，估计均值(i)选择样本函数X - 1 u= N(0,1).- / n(ii)查表找分位数X- / n未知方差，估计均值(iii )导出置信区间 I-汀 o二 Xn