集合中参数问题的解答方法(部分答案)

1、22009 2010集合中参数问题的解答方法（部分答案）集合中参数问题的解答方法集合中的参数问题主要包括：集合与集合关系中的参数问题；集合运算过程中的参数问题；每类问题又涉及到求参数的值和求参数的取值范围两种情况。那么在实际解答这 类问题时，到底应该怎样展开思路，寻求解答方法呢？下面通过对典型例题的解析来回答这 个问题。【典例 1】解答下列问题：1、含有三个元素的集合可以表示为a,ba,1,也可以表示为 a2,a+b,0.求： a2009+b2010的值。2、设 a=x|x 2-3x+2=0，b=x|x+2a,如果 ab,求实数 a 的取值范围；3、已知集合 a=x|0ax+15,b=x|-1

2、2x2.1 若 a2 若 bb, 求实数 a 的取值范围； a, 求实数 a 的取值范围；a、b 能否相等？若能求出实数 a 的值；若不能说明理由。4、已知集合 a=x|ax2-3x+2=0,ar.1 若 a 是空集，求实数 a 的取值范围；2 若 a 中只有一个元素，求 a 的值，并把这个元素求出来；3 若 a 中至多有一个元素，求实数 a 的取值【解析】1、【知识点】集合相等的定义与性质；集合元素的定义与特性；参数值的求法；代 数式的值的意义与求法；【解答思路】根据集合相等的定义与性质，结合结合元素的特性求出参数 a，b 的值，再把 求得的值代入代数式通过计算得出结果；【详细解答】q a,

3、b b b,1= a ,a+b,0，0a, ,1，a 0， =0， a a a b=0， a 2=1， a= 1，q a 1， a=-1， a +b=( -1)2009+ 02010=-1+0=-1。2、【知识点】集合的表示方法；一元二次方程的定义与解法；一元一次不等式的定义 与解法；数轴的定义与运用；子集的定义与性质；【解答思路】根据一元二次方程的定义与解法把集合 a 用列举法表示出来，由一元一次不等式的定义与解法把集合 b 用描述法表示出来，运用 ab 结合数轴得到关于 a 的不等式，求解不等式就可得出结果；【详细解答】如图，q a b，a-2 1， a 3 0 1 2当 a b，实数 a

4、 的取值范围是（- ，3。3、【知识点】集合的表示法；一元一次不等式的定义与解法；参数分类讨论的原则与 方法；子集的定义与性质；【解答思路】根据一元一次不等式的定义与解法把集合 a 用描述法表示出来，由 a1 / 6b 得2集合中参数问题的解答方法（部分答案）到关于参数 a 的不等式组，求解不等式组得出结果；【详细解答】（1）q x|-1 4 1 4 x ，a0,当 a0 时, q a=x|- x a a a a，ab，1 1a= r， a=0， - - ， a 2；当 a=0 时，q a=r，a 24 1 4x| x- ， a0， 2，显然 a b 不成立；当 a0 时， a a aq a=

5、x|4 1 4 1 x- , a b, - ，a a a 2a-8；综上所述，当 ab 时,实数-1a2，a 的取值范围是（- ，-8）u2，+ ）。1 4 1 1（2）当 a0 时, q a=x|- x ，b a， - - ，0 a 2；当 a=0 时，a a a 2-1 42，a a2，q a=r，显然 ba 成立；当 a0 时，q a=x|4 1 4 1 1 x- , b a， - ， -a a a 2 2a0，综上所述，1 1 1当 b a 时，实数 a 的取值范围是- ，2。 - =- ，2 a 21 4 4（3）设 a=b 能成立，当 a0 时, q a=x|- x ，a=b， =

6、2， a=2；a a a当 a=0 时，q a=r，显然 a=b 不成立；当 a0 时，q a=x| 4 1=- ， ，综上所述，存在实数 a=2，使 a=b 成立。 a 24 1x- , a=b， a a-1a=2，4、【知识点】集合的表示方法；一元二次方程根的判别式的定义与性质；空集的定义 与性质；【解答思路】根据空集的定义与性质，结合一元二次方程根的判别式，得到关于参数 a 的不 等式，再求解不等式就可得出结果；【详细解答】（1）q 集合 a 是空集， 方程 ax2-3x+2=0,ar 没有实数根，当 a=0 时，ax2-3x+2=0,-3x+2=0，x=23与题意不符合；当 a0 时，

7、 d=9-8a0，a9 9 ，综上所述，当集合 a 是空集时，实数 a 的取值范围是（ ，+8 8 ）。2（2）若集合 a 中只有一个元素，当 a=0 时，a x -3x+2=0, -3x+2=0， x= 与题意3符合；当 a 0 时， d=9-8a=0， a=98，综上所述，当集合 a 中只有一个元素时，实数 a=0 或 a=98。2 / 6集合中参数问题的解答方法（部分答案）9（3）当集合 a 中至多有一个元素时，由（1），（2）可知，实数 a 的取值范围是 ，+8 ）或0。思考问题 1（1） 【典例 1】是集合与集合关系问题中的参数问题，解答这类问题需要理解子集，真子集， 集合相等的定义

8、，掌握子集，真子集和集合相等的性质；（2） 注意空集的特殊性，在具体问题中，如果没有说明集合非空，则应该考虑空集的可能 性，尤其是问题中涉及到 a b 时，一定要注意分 a= 和 a 两种情况来考虑； （3）对含有参数的集合问题，应该对参数的可能取值进行分类讨论，同时还应注意分类标 准的确定，作到分类合理，不重复不遗漏。类型 1解答下列问题：1、设 a，bbr，集合1，a+b，a，集合 0， ，b表示同一集合，则 b-a=a。2、有三个元素的集合可以表示为 求实数 a 的值；4a,2, a 2 ,也可以表示为a,2,4。3、设 a=7，0， a2-2a+2，b=a-3， a2-2a+4，5,如

9、果 a=b,求实数 a 的值；4、设 a=x|x2-4x+3=0，b=x|x+2a,如果 ab,求实数 a 的取值范围；5、设 a=x|-1x3，b=x|x|a,如果 a 【典例 2】解答下列问题：b,求实数 a 的取值范围.1、设 a 是自然数集的一个非空子集，如果 k a，k 2 a，且 k a，那么 k 是 a 的一个“酷元”。给定 s=xn|y=lg(36-x2),设 ms，且集合 m 中的两个元素都是“酷元”，那么这样的集合 m 有（ ）（2013 湖北重点中学联考）a 3 个 b 4 个 c 5 个 d 6 个2、已知集合 a=x|x2+(a+2)x+1=0,b=r+为正实数的集合

10、，如果 ab=，求实数 a的取值范围；3、已知集合 a=（x，y）|x2+mx-y+2=0, b=（x，y）|x-y+1=0,0x2,如果 ab，求实数 m 的取值范围.4、设集合 a=x|x2-3x+2=0,b=x|x2+2(a+1)x+(a2-5)=0.（1） 若 ab=2，求实数 a 的值；（2） 若 ab=a，求实数 a 的取值范围；（3） 若 u=r，a（ c b）=a，求实数 a 的取值范围。u【解析】1、【知识点】子集的定义与性质；新定义的理解与应用；【解答思路】根据“酷元”的定义与性质，确定集合 s 中的“酷元”，再由集合 m 的结构特3 / 6集合中参数问题的解答方法（部分答

11、案）征求出满足条件的集合 m 的个数；【详细解答】q s=xn|y=lg(36-x2)=0，1，2，3，4，5，显然 0，1 不是“酷元”，3，5 是“酷元”，2，4 不能同时属于集合 m，满足条件的集合 m 可能有2，3，2，5，4，3，4，5，3，5共 5 个，c 正确，选 c。2、【知识点】集合的表示方法；空集的定义与性质；交集的定义与性质；一元二次 方程根的判别式的定义与性质；【解答思路】根据 ab= ，可分 a= 和 a 两种情况来考虑，当 a= 时， x 2+(a+2)x+1=0，得到关于参数 a 的不等式，求解不等式可得出 a 的取值范围；当 a 时， x 2 +(a+2)x+1

12、=0 没有正实数根，得到关于参数 a 的不等式组，求解不等式组可 得出 a 的取值范围，两种情况的并集就是所求的结果；【详细解答】q 当 a=时，显然 ab=成立，方程 x 2+(a+2)x+1=0 没有实数根， d=( a +2)2-4=a(a+4) 0 ，-4 a 0 ；当 a时， q a b=， 方程x2+(a+2)x+1=0 没有正实数根， d=( a +2)2-4=a(a+4)0，a0，综上实数，当a+20，ab= 时，实数 a 的取值范围是（-4，+）。3、【知识点】集合的表示方法；交集的定义与性质；补集的定义与性质；参数分类 讨论的基本原则与基本方法；【解答思路】根据 ab= ，

13、可知曲线 x 2 +mx-y+2=0 与直线 x-y+1=0 没有公共点,结合图形得到 x2+mx-y+2=0，没有实数解， 方程 x 2+（m-1）x+1=0 没有实数根， d=( m -1)2-4x-y+1=0，=（m+1）(m-3)0，求解这个不等式就可得出结果【详细解答】q ab= ，曲线 x 2+mx-y+2=0 与直线 x-y+1=0 没有公共点,x2+mx-y+2=0，没有实数解，方程 x2+（m-1）x+1=0 没有实数根，d=( m -1)2-4x-y+1=0，=（m+1）(m-3)0，-1m3，当 ab=时，实数 m 的取值范围是（-1,3）.4、【知识点】集合的表示方法；

14、空集的定义与性质；交集的定义与性质；数形结合 法的基本方法；【解答思路】；（1）根据 ab=2，可知 2b， 4+4(a+1)+( a 2-5)=0，解这个方程就可求出 a 的值；（2）根据 ab=a，可知 ba，当 b=时，显然 ba 成立，得到关于参数 a的不等式，求解这个不等式，可得出实数 a 的取值范围；当 b时，由 ba 可知，b=1或 b=2或 b=1，2，若 b=1，1+2(a+1)+(a2-5)=0，解这个方程可得出 a 的值；若 b=2由（1）可得出 a 的值；若 b=1，2，2(a+1)=-3 且a2-5=2， ，求出，的并集，就可得到实数 a 的取值范围；（3）根据 a（

15、cub）=a，得到cuba，4 / 622集合中参数问题的解答方法（部分答案）【详细解答】（1）q ab=2，2b，4+4（a+1）+(a2-5)=0,a=-1 或 a=-3，（2）q ab=a，b a，当 b= ， d =4（a+1)2-4( a -5)=8a+240，即 a-3， ，综上所述，当 ab=a 时，实数 a-2（a+1）=1+2=3，的取值范围是 a -3 或 a=-1 或a2-5=1 2=2，a=-13； （3）q u=r，a（ c b）u=a， a （ c b）， 1 b，2 b，当 b= 即 a-3 时，显然成立，当 b 时，u由 b=2或 b=1时， a=-3 或 a=

16、-1 或 a=-13，综上所述，当 u=r，a（cub）=a 时，实数 a 的取值范围是（-，-3）（-3，-1-3）（-1-3,-1）（-1，-1+3）（-1+ 3 ，+ ）。思考问题 2（1） 【典例 2】是集合运算中的参数问题，解决这类问题需要理解并集，交集，全集，补集 的定义，掌握集合的三种基本运算： 集， 集， 集的基本方法；（2） 解决集合运算中参数问题的基本方法是：确定集合元素的属性，它表示的是一个怎 样的集合（定性），结合问题的条件进行分析，实施解答（定量）；（3） 在处理集合的问题中，如果集合是用描述法表示的，应该按如下步骤进行：弄清集 合元素的真正含义；化简集合，化简后能够

17、用列举法表示的集合应尽量用列举法表示； 如果集合与不等式的解集相关，则应借助于数轴来解答；如果集合是直线或曲线上的点集， 则应利用直线或曲线的图像来解答；若集合是列举法表示的，则应注意韦恩氏图的运用； （4）注意空集的特殊性，在具体问题中，如果没有说明集合非空，则应该考虑空集的可能 性，尤其问题中涉及到 ab= 时，一定要分 a 或 b= 和 a 或 b 两种情况来考虑； （5）对含有参变量的集合问题，应该对参变量的可能取值进行分类讨论，同时还应注意分 类标准的确定，作到分类合理，不重复不遗漏。练习 2解答下列问题：1、设集合 a=x|-1x2，b=x|xa，若 ab=，则实数 a 的取值范围是（ ）a -1a2 b a2 c a -1 d a-12、集合