初中数学沪科版初一下整式的乘除与因式分解 全章复习与巩固(基础)知识讲解

1、整式的乘除与因式分解 全章复习与巩固（基础） 【学习目标】1. 掌握正整数幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单 项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；2. 会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行 乘法运算；3. 掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法 公式简化运算；4. 理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算，掌握提公因式法 和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一 般步骤；能够熟练地运用这些

2、方法进行多项式的因式分解.【知识网络】【要点梳理】【高清课堂 整式的乘除与因式分解单元复习 知识要点】 要点一、幂的运算1.同底数幂的乘法：( m， n 为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.2.幂的乘方：(m， n为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘.3.积的乘方：( n 为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.4.同底数幂的除法：( a 0, m， n为正整数，并且 m n ).同底数幂相除，底数不变，指数相减.5.零指数幂：a 0 =1(a0).即任何不等于零的数的零次方等于 1.要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地 双向应用运算性质

3、，使运算更加方便、简洁.要点二、整式的乘法和除法1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有 的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加 . 即m(a +b +c ) =ma +mb +mc(m, a, b, c都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“”“”号是性质 符号，单项

4、式乘以多项式各项的结果，要用“”连结，最后写成省略加号的代数和的形式根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：(x +a)(x+b)=x2+(a+b)x +ab.4.单项式相除把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同 它的指数一起作为商的一个因式.5.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.即：( am +bm +cm) m =am m +bm m +cm m =a +b +c要点三、乘法公式1.平方差公式：( a +b )( a -b ) =a2 -b 2两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在

5、这里，a，b既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项” 的平方减去“相反项”的平方.2. 完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab +b 2；( a -b ) 2 =a 2 -2 ab +b 2两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两 数的平方和加（或减）这两数之积的 2 倍.要点四、因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分 解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解的方法主要有: 提公

6、因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法 等.要点诠释：落实好方法的综合运用：首先提取公因式，然后考虑用公式；3 2 2两项平方或立方，三项完全或十字； 四项以上想分组，分组分得要合适； 几种方法反复试，最后须是连乘式； 因式分解要彻底，一次一次又一次.【典型例题】类型一、幂的运算1、计算下列各题：（1）(3 102 ) 3 ( -10 3 ) 4 （2） 3( m +n ) 2 3 -2( m +n ) 3 2（3）( -2xy 2 ) 6 +( -3x 2 y 4 ) 3（4）( -2a ) 6 -( -3a 3 ) 2 + -(2 a ) 2 3【思路点拨】按顺序进行计

7、算，先算积的乘方，再算幂的乘方，最后算同底数的幂相乘. 【答案与解析】解：（1）(3 102 ) 3 ( -10 3 ) 4 =33 (102 ) 3 (103 ) 4=27 1018 =2.7 1019（2）3( m +n ) 2 3 -2( m +n ) 3 2 =33 (m +n ) 6 (-2)2 (m +n ) 6=27( m +n ) 6 4( m +n ) 6 =108( m +n )12（3）( -2xy2 ) 6 +( -3x 2 y 4 ) 3=( -1)626x6y12+( -1)333x6y12=64 x6y12-27 x6y12=37 x6y12（4）( -2a )

8、6 -( -3a 3 ) 2 + -(2 a ) 2 3 =( -1)6 26 a 6 -( -1)2 32 (a 3 ) 2 +( -1)3 (2 6 a 6 )=64 a 6 -9 a 6 -64 a6 =-9a6【总结升华】在进行幂的运算时，应注意符号问题，尤其要注意系数为1 时“”号、括 号里的“”号及其与括号外的“”号的区别举一反三：【变式】当a =14，b4 时，求代数式1a 3 ( -b3 ) 2 +( - ab 2 ) 32的值【答案】解：a3( -b3)2+( -1 1 7 7 1 ab 2 ) 3 =a 3b6 - a3b6 = a 3b6 = 42 8 8 8 4 6=5

9、6.类型二、整式的乘除法运算2、（2015 秋闵行区期中）解不等式：（x6）（x9）（x7）（x1）7（2x5） 【答案与解析】解：原不等可化为：x 15x+54x +8x714x35，整理得：21x82，解得：x8221则原不等式的解集是 x8221【总结升华】此题考查了多项式乘多项式，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解 本题的关键3、已知ax 3 m y12 3 x3 y 2 n =4 x 6 y 8，求(2 m +n -a )n的值【思路点拨】 利用除法与乘法的互逆关系，通过计算比较系数和相同字母的指数得到m、 n、 a的值即可代入求值【答案与解析】解：由已知ax3 my123

10、x3y2 n=4 x6y8，得ax3 my12=4 x6y83x3y2 n=12 x9y2 n +8，即 a =12 ， 3m =9 ， 2 n +8 =12，解得a =12，m =3，n =2所以(2 m +n -a ) n =(2 3 +2 -12) 2 =( -4) 2 =16【总结升华】也可以直接做除法，然后比较系数和相同字母的指数得到 举一反三：m、n、 a的值.【变式】（1）已知27m -132 m =27，求m的值（2）已知10a =20，10b =15，求9a 32b的值（3）已知2m=3，2n=4，求23m -2n的值【答案】解：（1）由题意，知(33 ) m -132 m=

11、2733( m -1) -2m=333m -3 -2 m =3，解得m =6（2）由已知 10 a =20 ，得 (10a ) 2 =20 2，即 102 a =400 由已知 10b=1 1 ，得 102 b = 5 25102 a102 b=400 125，即102 a -2b=1042a -2b =49a32b=32 a32 b=32 a -2b=34=81（3）由已知 2m =3 ，得 23m=27 由已知 2n=4 ，得 22 n=1623m -2n=23m22 n=2716类型三、乘法公式4、对任意整数 n ，整式 (3n +1)(3n -1) -(3 -n )(3 +n )是否是

12、 10 的倍数？为什么？【答案与解析】解：(3n +1)(3n -1) -(3 -n )(3 +n )=(3n ) 2 -1 -(32 -n 2 ) =9 n2 -1 -9 +n 2 =10 n 2 -10 =10( n 2 -1)，10( n 2 -1)是 10 的倍数， 原式是 10 的倍数【总结升华】要判断整式(3n +1)(3n -1) -(3 -n )(3 +n )是否是 10 的倍数，应用平方差公式化简后，看是否有因数 10 举一反三：【变式】解下列方程(组)：(x +2) 2 -( y +4) x -3 y =-2【答案】2=( x +y )( x -y )解： 原方程组化简得

13、x -2 y =3 x =13 ，解得 x -3 y =-2 y =55、已知a +b =3 ， ab =-4，求： (1) a 2 +b 2 ；(2)a3+b3【思路点拨】在公式(a+b)2=a2+2 ab +b2中能找到a +b, ab, a2 +b 2的关系.【答案与解析】解：(1)a2 +b 2 =a 2 +2 ab +b 2-2 ab=(a+b)2-2 aba +b =3 ， ab =-4，a 2 +b 2 =32 -2 (-4)=17(2)a3 +b 3 =a 3 +a 2b -a 2 b +b 3=a2(a+b)-b(a+b)(a-b)=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)

14、(a+b)2-3aba +b =3，ab =-4，a3 +b 3 =3 32-3 (-4)=63.2 2 2 2 22 22 2 2 2 22 2 2 22 22 222【总结升华】在无法直接利用公式的情况下，我们采取“配凑法”进行，通过配凑向公式过 渡，架起了已知与未知之间桥梁，顺利到达“彼岸”.在解题时，善于观察，捕捉习题特点， 联想公式特征，便易于点燃思维的火花，找到最佳思路.类型四、因式分解6、 分解因式：(1)2 a2bc 2 +8ac 2 -4 abc；(2)m( m +n )3 +m ( m +n ) 2-m ( m +n )( m -n )【答案与解析】解：(1)2 a 2 bc 2 +8 ac 2 -4 acb =2 ac ( abc +4 c -2b )(2)m( m +n )3 +m ( m +n ) 2-m ( m +n )( m -n )=m ( m +n )( m +n )2+( m +n ) -( m -n )=m ( m +n )( m 2 +2 mn +n 2 +2 n )【总结升华】在提取公因式时要注意提取后各项字