初中数学竞赛讲义：第01讲-走进追问求根公式

1、2222322222222第一讲走进追问求根公式形如 ax +bx +c =0（ a 0）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。求根公式 x 1,2=-b b2a-4 ac内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解 可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问 题易于解决。

2、解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。【例题求解】【例 1】满足 ( n -n -1)n +2=1 的整数 n 有个。思路点拨：从指数运算律、1 的特征人手，将问题转化为解方程。【例 2】设 x 、 x1 2是二次方程 x +x -3 =0的两个根，那么 x -4 x +19 的值等于（ ）1 2a、一 4 b、8 c、6 d、0思路点拨：求出 x1、 x2的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如 x 12=3 -x1， x22=3 -x2。【例 3】 解关于 x的方程 ( a -1) x -2 ax +a =0 。思路点拨：因不知晓原

3、方程的类型，故需分 a -1 =0 及 a -1 0 两种情况讨论。【例4】设方程 x -2 x -1 -4 =0 ，求满足该方程的所有根之和。思路点拨：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解。【例 5 】 已知实数 a 、 b 、 c 、 d 互不相等，且a +1 1 1 1 =b + =c + =d + =xb c d a， 试求 x 的值。思路点拨：运用连等式，通过迭代把 b、 c、 d用 a的代数式表示，由解方程求得 x的值。注：一元二次方程常见的变形形式有：(1)把方程 ax +bx +c =0（ a 0 ）直接作零值多项式代换；(2)把方程 ax +bx

4、 +c =0 （ a 0 ）变形为 ax =-bx -c ，代换后降次；(3)把方程 ax2+bx +c =0（ a 0 ）变形为 ax2+bx =-c或 ax2+c =-bx，代换后使之转化关系或整体地消去 x。解合字母系数方程 ax +bx +c =0时，在未指明方程类型时，应分a =0 及 a 0 两种情况讨论；解绝对值方程需脱去绝对值符号，并用到绝对值一些性质，如 x = x2=x2。3 22222122222222走进追问求根公式学历训练1 、 已 知 a、 b是 实 数 ， 且2 a +6 +b - 2 =0 ， 那 么 关 于 x的 方 程 ( a +2) x2+b2x =a -

5、1 的 根为 。2、已知 x2-3 x -2 =0，那么代数式( x -1) -x +1x -1的值是 。3、若 x +xy +y =14 ， y +xy +x =28 ，则 x +y的值为 。4、若两个方程 x +ax +b =0和 x +bx +a =0只有一个公共根，则( )a、 a =b b、 a +b =0 c、 a +b =1d、 a +b =-15、当分式 有意义时， x-x +3 x +4的取值范围是( )a、 x 4c、 -1x 4d、 x -1且 x 46、方程 ( x +1) x +1 -x x +1 =0 的实根的个数是( ) a、0 b、1 c、2 d、37、解下列关

6、于 x的方程：(1)( m -1) x 2 +(2m -1) x +m -3 =0 ；(2)x 2 - x -1 =0 ；(3)x +4 x -5 =6 -2 x。8、已知 x -2 x -2 =0 ，求代数式 ( x -1) +( x +3)( x -3) +( x -3)( x -1) 的值。9、是否存在某个实数 m，使得方程 x +mx +2 =0 和 x +2 x +m =0 有且只有一个公共的实根? 如果存在， 求出这个实数 m 及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由。注： 解公共根问题的基本策略是： 当方程的根有简单形式表示时，利用公共根相等求解，当方程的根不便于求出时，可设出

7、公共根，设而 不求，通过消去二次项寻找解题突破口。10、若 x2-5 x +1 =0 ，则 2 x2-9 x +3 +5x +1 。11、已知 m 、 n是有理数，方程 x +mx +n =0 有一个根是 5 -2 ，则 m +n 的值为 。222+47 2都是负实数，且 + -，那么 的值是( )b、32212、已知 a是方程 x -x -2000 =0的一个正根。则代数式 3 +1 +2000200020001 +a的值为 。13、对于方程 x 2 -2 x +2 =m ，如果方程实根的个数恰为 3 个，则 m 值等于( )a、1 b、2 c、 3d、2514、自然数 n满足 ( n -2

8、 n -2)n=( n -2 n -2)16 n -16，这样的 n的个数是( )a、2 b、1 c、3 d、415、已知 a、 b1 1 1 b a b a -b =0 aa、5 +1 1 - 5 2 2c、-1 + 52d、-1 - 5216、已知 x = 19 -8 3，求x4-6 x -2 x +18 x +23 x -8 x +15的值。17、已知 m、n 是一元二次方程 x2+2001x +7 =0 的两个根，求 ( m2+2000 m +6)(m2+2002n +8)的值。18、在一个面积为 l 的正方形中构造一个如下的小正方形：将正方形的各边 n等分，然后将每个顶点和它相对顶点最近的分点连结起来，如图所示，若小正方形面积为13281，求 n的值。19、已知方程 x2-3 x +1