例说数轴上的动点问题

1、智想教育例说数轴上的动点问题数轴上的动点问题，往往使学生感到棘手.实际上，如果将动点问题“代数化”，“三招” 就可轻松解决常见的问题.第一招:平移规律若数轴上点a表示的数是 a，则当点a向左平移t个单位长度时表示的数为a -t;当点a 向右平移 t 个单位长度时表示的数为 a +t .简记为:左减右加. 第二招:距离公式若数轴上 a, b两点表示的数分别是 a , b, 则 a, b两点的距离ab = a -b. 如果已知a, b两点的位置关系，比如点 a 在点 b 的左边，则 ab =b -a.第三招:中点公式若数轴上 a, b 两点表示的数分别是 a , b ,则线段 ab 的中点表示的数

2、是a +b2.解决此类问题的关键是确定动点表示的数，以及动点的运动方向 . 以下分为三类问题进 行解析:一、方向不变例 1 如图 1，数轴上点 b 表示的数是 30, p, q 两点分别从 o, b 两点同时出发，分别以3 单位 / 秒和 2 单位 / 秒的速度向右运动，运动时间为t 秒, m 为线段 bp 上一点，且1pm = pb3,n为 qm的中点.(1)若pb =12bq，求t的值;(2)当 t 的值变化时, nq的值是否发生变化?为什么?解析(1) 由第一招，点p表示的数为3t，点q表示的数是30 +2t; 由第二招，pb =3t -30 , bq =2t.pb =12bq，1 3t

3、 -30 = 2t2，3t -30 =t ，或 3t -30 =-t t =15 ，或 t =7.5 .，(2)智想教育nq的值不变，理由如下:如图 2，当点 p 在点 b 左侧时， pb =30 -3t.pm =13pb，pm =10 -t，点m 表示的数为 3t +10 -t =2t +10.如图 3，当点p在点b右侧时，pb =3t -30.pm =13pb，pm =t -10，点 m 表示的数为 3t -(t -10) =2t +10.综上所述，点 m 表示的数是 2t +10.n是qm的中点，所以由第三招点n表示的数是(30 +2t ) +(2 t +10)2=20 +2t, nq

4、=(30 +2t ) -(20 +2t ) =10.智想教育例 2 已知数轴上两点 a, b对应的数为1 ,3，点p为数轴上一动点，其对应的数为 x.(1)数轴上是否存在点 p ，使 pa +pb =5?若存在，请求出 x 的值;若不存在，请说明理由.(2)当点p以每分钟 1 个单位长度的速度从o点向右运动时，点a以每分钟 5 个单位长度的速度向左运动，点 b 以每分钟 20 个单位长度的速度向右运动.在运动的过程中， m , n分别是 ap , ob的中点,ab -opmn的值是否改变，为什么?解析 (1)存在.理由如下:如图 4，当x 3时，pa =x +1, pb =x -3.依题意，得

5、 ( x +1) +( x -3) =5,解得x =3.5.综上所述， x的值为1. 5 或 3. 5.智想教育(2) 不变 . 理由如下 : 设运动时间是 t 分钟，则点 a 对应的数是 -1-5t 3 +20t ，点 p 对应的数是 t .所以，点 b 对应的数是ab =(3 +20t ) -( -1-5t ) =25t +4,op =t.又因为 m , n 分别是 ap , ob 的中点，所以点 m 对应的数是-1-5t +t -4t -1 =2 2;点n3 +20t 对应的数是 .23 +20t -4t -1 mn = - =12t +22 2ab -op (25t +4) -t =m

6、n 12t +2,=二、方向不定24t +412t +2=2例 3如图 7 点 a, b , c在数轴上表示的数是 6， 2 和 24. 若数轴上有三个动点m , n , p，分别从点 a, b , c开始同时出发，在数轴上运动，速度分别为每秒 1 个单位长度、7 个单位长度、3 个单位长度.其中点 p 向左运动，点 n 先向左运动，遇到点 m 后回头再向右运动，遇到点p后回头向左运动这样，直到点p遇到点m时三点都停止运动，求点n所走的路程.解析 点 n 运动时间为点 p 与点 m 相遇所用的时间 .设运动时间是 t 秒，则动点 p 表示的数是24 -3t.点m的运动方向不确定，可以向右，也可

7、以向左.当m向右运动时，点m表示的数是-6+t，点p遇到点m时，它们表示的数相同，-6 +t =24 -3t，解得 t =152，点n所走的路程为15 1057 =2 2.当m向左运动时，点m表示的数是-6-t，点p遇到点m时，-6-t =24 -3t，解得t =15,点n所走的路程为7 15 =105.三、方向改变例 4 如图 8，数轴上点 a, b , c智想教育对应的数分别为4，3 和 1.(1)点 a, b沿数轴同时出发向右匀速运动，点a速度为 2 个单位长度/秒，点b速度为 1个单位长度/秒.若运动时间为 t 秒，运动过程中，当 a, b 两点到原点 o 的距离相等时，求 t 的 值

8、.(2)在(1)的条件下，若点 b 运动到点 c 处后立即以原速返回，到达自己的出发点后停止运动，点a运动至点c处后又以原速返回，到达自己的出发点后又折返向点c运动.如此反复，当点 b 停止运动时，点 a 随之停止运动，求在此运动过程中， a, b 两点同时到达的点 在数轴上表示的数.解析 (1)点a表示的数是-4+2t，点b表示的数是-3+t,当 a, b 两点到原点 o 的距离相等时，有-4+2t = -3+t，-4+2t =-3+t，或 -4+2t =3 -t,t =1或t =73.(2)动点a运动方向改变的时间临界点是 2. 5 秒，5 秒和 7. 5 秒，动点b运动方向改变的时间临界

9、点是 4 秒和 8 秒，因此可以将运动时间划分为如下 5 段(如图 9):当0 t 2.5时，点a表示的数是-4+2t，点b表示的数是-3+t，依题意得-3+t =-4+2t，解得 t =1 ，此时 a, b 两点同时到达的点在数轴上表示的数为3+1=2.当2.5 t 4时，如图 10，点a到达点c后返回运动了(2 t -5)个单位长度，点a表示 的 数 为1 -(2 t -5) =6 -2t点1 -(2 t -5) =6 -2t表 示 的 数 仍 为-3+t， 依 题 意 得6 -2t =-3+t，解得 t =3，此时 a, b 两点同时到达的点在数轴上表示的数为3 +3=0.智想教育当4

10、t 5 时，点 a 仍在从 c 返回出发点的途中，所以点 a 表示的数仍为6 -2t，如 图 11 ， 点b在 到 达 点c后 返 回 运 动 了 (t -4)个 单 位 长 度 ， 点b表 示 的 数 是1 -(t -4) =5 -t，依题意得6 -2t =5 -t，解得 t =1，不合题意，舍去.当5 t 7.5时，如图 12，点 a 到达原出发点后又向点 c 运动了 (2t -10)个单位长度， 点 a 表示的数是 -t +2t -10 =2t -14 , 点 b 仍在从 c 返回原出发点的途中，其表示的数仍为5 -t，依题意得2t -14 =5 -t，解得 t =193，此时 a, b两点同时到达的点在数轴上表示的数为5 -19 4=-3 3;当7.5 t 8时，如图 13，点a经历了从a c a c