中考数学几何模型2：共顶点模型

1、中考数学几何模型 2：共顶点模型名师点睛拨开云雾 开门见山共顶点模型，亦称“手拉手模型”，是指两个顶角相等的等腰或者等边三角形的顶点重合，两个三角形 的两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。寻找共顶点旋转模型的步骤如下：（1） 寻找公共的顶点（2） 列出两组相等的边或者对应成比例的边（3） 将两组相等的边分别分散到两个三角形中去，证明全等或相似即可。两等边三角形两等腰直角三角形两任意等腰三角形*常见结论：连接 bd、ae 交于点 f，连接 cf，则有以下结论：（1）（2）（3）（4）bcd ace ae =bdafb =dfefc 平分bfe典题探究启迪思维 探究重点例题 1. 以点 a 为

2、顶点作等腰 abc，等腰 ade，其中bac=dae=90，如图 1 所示放置，使 得一直角边重合，连接 bd、ce（1） 试判断 bd、ce 的数量关系，并说明理由；（2） 延长 bd 交 ce 于点 f 试求bfc 的度数；（3） 把两个等腰直角三角形按如图 2 放置，（1）、（2）中的结论是否仍成立？请说明理由梦想不会辜负每一个努力的人变式练习1. 已知：如图 abc dce 都是等腰直角三角形，acb=dce=90 （1）求证：bd=ae（2）若abd=dae，ab=8，ad=6，求四边形 abed 的面积例题 2. 如图，等 abc，等 ade，等 dbf 分别有公共顶点 a，d，

3、ade，dbf 都在 adb 内，求证：cd 与 ef 互相平分.变式练习2. 已如图，已知等边三角形 abc，在 ab 上取点 d，在 ac 上取点 e，使得 ad=ae，作等边三角形 pcd， qae 和 rab，求证：p、q、r 是等边三角形的三个顶点梦想不会辜负每一个努力的人例题 3. 在等 abc 与等 dce 中，b，c，e 三点共线，连接 bd，ae 交于点 f，连接 cf.(1) 如图 1，求证：bf=af+fc，ef=df+fc；(2) 如图 2， abc dce 为等腰直角三角形，acb=dce=90，则(1)的结论是否成立？若不成立， 写出正确结论并证明.例题 4. 【问

4、题探究】（1）如图已知锐 abc，分别以 ab、ac 为腰， abc 的外部作等腰 abd 和 ace，连接 cd、be，试猜想 cd、be 的大小关系 ；（不必证明）【深入探究】（2）如图 abc ade 都是等腰直角三角形，点 d 在边 bc 上（不与 b、c 重合），连接 ec，则线段 bc，dc，ec 之间满足的等量关系式为 ；（不必证明）线段 ad2，bd2，cd2之间满足的等量关系，并证明你的结论；【拓展应用】（3）如图，在四边形 abcd 中，abc=acb=adc=45若 bd=9，cd=3，求 ad 的 长例题 5. 如图 1， abc 中，bc=4，以线段 ab 为边 ab

5、d，使得 ad=bd，连接 dc，再以 dc 为边作 cde，使得 dc=de，cde=adb=（1） 如图 2，当abc=45且 =90时，用等式表示线段 ad，de 之间的数量关系；（2） 将线段 cb 沿着射线 ce 的方向平移，得到线段 ef，连接 bf，af1 若 =90，依题意补全图 3，求线段 af 的长；2 请直接写出线段 af 的长（用含 的式子表梦想不会辜负每一个努力的人示）达标检测领悟提升 强化落实1. 如图，在等 abc 与等 dce 中，b，c，e 三点共线，bd 交 ac 于点 g，ae 交 dc 于点 h，连 接 gh. 求证：ghbe.2. 如图，在正方形 ab

6、cd 内取一点 e，连接 ae，be， abe 外分别以 ae，be 为边作正方形 aemn 和 ebfg，连接 nc，af，求证：ncaf.3. 如图，在等腰 abc 与等腰 dce 中，abc=dce=90，连接 ad，be，求证：ab 2+de2=ad2+be2.梦想不会辜负每一个努力的人4. 如图， abc 中，ab=ac=10，bac=45，以 bc 为腰 abc 外部作等腰 bcd，bcd=90， 连接 ad，求 ad 的长.5. 【发现问题】如图 1，已 abc，以点 a 为直角顶点、ab 为腰 abc 外作等腰直 abe请你以 a 为直角顶点、ac 为腰， abc 外作等腰直

7、acd（不写作法，保留作图痕迹）连接 bd、ce那 bd 与 ce 的数量关系是 【拓展探究】如图 2，已 abc，以 ab、ac 为边向外作正方形 aefb 和正方形 acgd，连接 bd、ce， 试判断 bd 与 ce 之间的数量关系，并说明理由【解决问题】如图 3，有一个四边形场地 abcd，adc=60，bc=15，ab=8，ad=cd，求 bd 的最大值6. 已知线段 ab直线 l 于点 b，点 d 在直线 l 上，分别以 ab、ad 为边作等边三角形 abc 和等边三角形 ade，直线 ce 交直线 l 于点 f（1） 当点 f 在线段 bd 上时，如图，求证：df=cecf；（2） 当点 f 在线段 bd 的延长线上时，如图；当点 f 在线段 d