含绝对值的导数题

1、含绝对值的导数题1）求函数 g x2）求函数 h x1. 已知函数 f x lnx x 0 f x x 1 的极值；1x）x11f x x a a为实常数 的单调区间； 解：（1）g （x） lnx x1，g1x当 0x 0；当 x1 时，g （x）0 恒成立，此时 h（ x）在（ 0，）上单 x调递增；当 a0 时， h（ x）lnx xa，xa， lnx xa，0 x0 恒成立，此时 h（x）在（ a，）x上单调递增； 当 0xa 时，h（x）lnx xa，h（x ）11 x 1xx当 00 恒成立，此时 h （x）在（ 0，a）上单调递增；当 a1 时，当 0x0，当 1 x1 时， h

2、（x）增区间为（ 0，1）， （ a，）；减区间为（ 1，a）设a 0，函数 f（x） x2 a|ln x 1|.（1） 当a 1时, 求曲线 y f （x）在 x 1处的切线方 程;(2) 当x 1, )时, 求函数 f(x)的最小值 .1.解( 1)当 a 1时， f(x) x2 |lnx 1| 令 x 1 得 f(1)2,f (1) 1,所以切点为( 1，2)， 切线的斜率为 1， 所 以 曲 线 y f(x) 在 x 1处 的 切 线 方程 为： x y 10。2)当x e 时，f (x)x2 alnx a ，f (x) 2x ax(x e)a 0 ，故当 x e 时， 当1 x e时

3、， f (x) x f (x) 2x ax x2(x 2a)(x a2)f(x)0恒成立。ymin f (e)f (x) 在e, ) 上增函数。aln x 1 ，1 x e)数， 时，a 1,i )当 2 1,即0 a 2时， f (x)在 x (1, e)时为正所以 f(x)在区间 1,e)上为增函数。故当 x，且此时 f(1) f (e)ymin1a(ii)当1ae2 e，即 2 a 在间 x ( a2,e)2e2时， f (x)在x (1, a2) 时为负数，1, a) 区间 1, 2)上为减函数，时为正数。所以 f (x)在( 2,e 上为增函数xa故当 x 2时，2) f (e)3a

4、 a aymin2 2ln 2，且此时 f(iii) 当 2 e；即a 2e2时， f (x)在 x (1, e)时为负数，所以 f(x)在区间 1,e 上为减函数，故 当 x e时， ymin f (e) e2 。综上所述，当 a 2e2时， f(x)在 x 的最小值都是e时和1e2。所以此时 f (x)的最小值为 f(e) e f (x) 在 x e 时的最小值为 f ( a ) 3a a ln a f ( a ) f (e)2 2 2 2 ，而 2 ，f ( a2)；当 2 a2e2时，3a a a ln2 2 2 。2e所以此时 f (x)的最小值为当 0 a 2 时，在 x e 时最

5、小值为 e ，在 1 的最小值为 f (1) 1 a，而 f (1) f (e)，所以此时 f ( x)的最小值为 f (1) 1 a 所ymin以 函 数 y f(x) 的 最 小 值 为 1 a,0 a 23a a a 2 ln ,2 a 2e2222 22 e , a 2e已知函数 f1(x) e|x 2a 1|, f2(x) e|x a| 1,x R.( I ) 若a 2, 求 f(x) f1(x)+ f2(x)在 x 2 ，3 上的 最小值；( II) 若 x a, ) 时, f2(x) f1(x) , 求 a 的取值范 围；(III) 求函数 g(x) f1(x) f2(x) |

6、f1(x) f2(x)|在 x 1 ，6 上的最小值 .解 :(1) 因 为 a 2 , 且 x 2 ， 3, 所 以3 x 3 x|x 3|x 2| 13 xx 1eeeef(x) e|x 3|e|x 2| 1e3 xex 1eexee2 eexee2e,当且仅当 x=2 时取等号 , 所以 f(x)在 x 2 ，3 上的最小值为 3e(2) 由 题 意 知 , 当 x a, ) 时 , e|x 2a 1| e|x a| 1 , 即 |x 2a 1| | x a| 1 恒 成 立 所 以 |x 2a 1| x a 1 , 即 2ax 3a2 2a对 x a, )恒成立 , 则由 2a2 2a

7、3a20 2a, 得所求 a 的取值范围是 0 a 2 (3) 记 h1(x) |x (2a 1)|,h2(x) |x a| 1, 则 h1(x),h2(x)的图 象分别是以 (2 a-1,0) 和( a,1) 为顶点开口向 上的 V型线 , 且射线的斜率均为 1.当1 2a 1 6, 即1 a 27时, 易知 g(x)在 x 1 ，6 上的最小值为 f1(2a 1) e0 1当 a1 时, 可知 2a1a, 可知 2a 1 6, ( ) 当 h1(6) 1 , 得 |2a 7| 1 , 即 27 a 4 时 , g(x) 在x 1 ，6 上的最小值为 f1(6) ( ) 当h1(6) 1且a

8、 6时, 即 4 a 上的最小值为 f2(a) e1 e2a 7 e6, g(x)在 x1 ，6( ) 当 a 6时, 因为 h1(6) 2a 7 a 5 h2(6) , 所以 g(x) 在x 1 ，6 上的最小值为 f2(6) ea 5综上所述 , 函数 g(x) 在 x 1 ，6 上的最小值2ae2 2aea00a1a2a ea南京三模)14. 若不等式 | ax3 lnx| 1对任意 x (0,1 都成立，则实数 a取值范围是 解答：显然 x 1时，有 |a | 1,a 1,or,a 1。令 g(x)ax3 ln x, g (x)3ax2 13ax3 1当 a 1时，对任意 x (0,1

9、 ，g (x)3ax3 1x0，g(x) 在(0,1上递减， g ( x) min g(1) a 1，此时 g(x) a, )，| g(x)| 的最小值为 0，不适合题意。当 a 1时，对任意 x (0,1， g(x) 3axx3 1 0 x 331a| g(x)| 的最小值为 g13 13ln(3a) 1，解得：故所求 a e36. 已知函数 f(x) |ex bx |,其中 e 为自然对数的底 .(1) 当b 1时，求曲线 y=f(x) 在 x=1 处的切 线方程；(2) 若函数 y=f(x) 有且只有一个零点，求 实数 b 的取值范围；(3) 当 b0 时，判断函数 y=f(x) 在区间

10、(0， 2)上是否存在极大值，若存在，求出极大值及相应实数 b 的取值范围 .解：(1)记 g( x) exbx当 b1 时，g(x) ex1当 x0 时，g(x)0，所以 g(x)在(0 ， ) 上为增函数又 g(0) 10，所以当 x(0 ， ) 时， g(x) 0所以当 x(0 ， ) 时，f(x) g(x) g(x) ，所以 f (1) g(1) e1所以曲线 yf (x) 在点 (1 ，e1) 处的切线 方程为：即1)xy（e 1）（e 1）（ x1），y （e 4 分(没有说明“在 x1 附近， f(x) exbx” 的扣 1 分)(2)解法一 f (x) 0 同解于 g(x) 0

11、，因此， 只需 g(x) 0 有且只有一个解即方程 exbx0 有且只有一个解因为 x0 不满足方程，所以方程同解于 bx6分e xx2x令 h（x） ex，由 h（x） （x1）e0得x1当 x(1 ， ) 时，h(x) 0，h(x) 单调递增， h(x)(e ，)；当 x(0 ，1)时，h ( x) 0，h( x)单调递减，h( x) (e ， )；x所以当 x (0 ， ) 时，方程 b ex有且 只有一解等价于 be 8 分当 x( ， 0) 时， h(x) 单调递减，且 h(x)(， 0)，x从而方程 bex 有且只有一解等价于 b( ， 0) 综上所述， b 的取值范围为 ( ，

12、0) e 10 分解法二 f (x)0 同解于 g( x) 0，因此，只 需 g(x)0 有且只有一个解即方程 exbx0 有且只有一个解，即 e bx 有且只有一解也即曲线 ye 与直线 y bx 有且只有一 个公共点 6 分图 1)图 2 )8分如图 2，当 b0 时，直线 ybx 与 yex 有且只有一个公共点，当且仅当直线 ybx 与曲线 yex相切设切点为 (x0， e ) ，根据曲线 y e 在 x x0处的切线方程为：x0 x 0y e e (x x0) 把原点 (0 ，0) 代入得 x0 1，所以 be e综上所述， b 的取值范围为 ( ， 0) e 10 分 (3)由 g(

13、x)e b0，得 xln b当 x( ， ln b) 时，g(x) 0，g(x) 单 调递增所以在 xln b 时，g(x) 取极小值 g(ln b) b bln b b(1 ln b) 当 0e 时， g(ln b)0，g(2ln b) b22bln b b( b2ln b)0，(令 k(x)x2ln x由 k (x)1x20 得 x x2，从而当 x(2 ， ) 时，k(x) 单调 递增，又 k(e) e20，所以当 be 时， b2ln b 0)所以存在 x1 (0 ，ln b) ，x2(ln b，2ln b) ， 使得 g(x1)g(x2) 0此 时 f(x) g(x) g(x)， x

14、x1或xx2，g(x) ，x1xx2所以 f (x)在(， x1)单调递减，在 (x1， ln b) 上单调递增，在 (ln b，x2) 单调递减，在 (x2 ， ) 上 单 调 递 14 分所以在 xln b 时，f (x) 有极大值因为 x(0，2) 所以，当 ln b2，即 e be2时， f (x)在(0 ，2)上有极大值；当 ln b2，即 be2 时，f ( x)在(0，2) 上不存在极大值综上所述，在区间 (0 ，2)上，当 0be 或 be2时，函数 yf (x) 不存 在极大值；7. 已知函数 f(x) x当 e b0) (1) 求函数 g ( x) f ( x) x1 的极

15、值；常数 )切正*(2) 求函数 h(x) f ( x) | xa|( a 为实 的单调区间；*(3) 若不等式 (x21)f ( x) k(x1) 2 对一 实数 x 恒成立，求实数 k 的取值范围11 x解：(1) g(x) ln xx1，g(x) x1 x ，当 0x0；当 x1 时，g( x) 0x11 0x(2) h(x) ln x| xa| 当 a0 时， h(x) ln xxa，h(x) 恒成立，此时 h(x) 在(0 ， ) 上单调递增；ln xxa，x a，当 a0 时， h(x) ln xxa，0 xa当 xa 时，h( x) ln xxa，h(x) 恒成立，此时 h(x)

16、 在( a， ) 上单调递增；1当 0xa 时，h( x) ln xxa，h(x) x1x1xx在(0，当 00 恒成立，此时 h(x)a) 上单调递增；当 a1 时，当 0x0，当 1x1 时，h(x) 增区间为 (0 ，1) ，(a， ) ；减区间为 (1 ，a) 恒成(3) 不等式 (x21)f ( x) k(x1) 2 对一切 正实数 x 恒成立， 即(x21)ln xk(x1) 2 对一切正实数 x 立当 0x1 时，x210；ln x0；当 x1 时，x210；ln x0，则(x21)ln x0因此当 x0 时， （ x21）ln x0 恒成立又当 k0 时，k（x1） 20，故当

17、 k0 时，（x21）ln xk（x1） 2恒成立 下面讨论 k0 的情形222（x2当 x0 且 x1 时，（ x21）ln xk（ x1） k（x1）1）ln xk（xx11） k（x1）设 h（x） ln x x1 （ x0 且 x1） ，h（x） x 112kx22（1 k）x1 2 2 x（x1） 2 x（x1） 2记 4（1 k） 244（k22k） 成立，x212当 0，即 0k2 时，h（x） 0 恒 故 h（x） 在（0，1）及（1 ， ） 上单调递增于是当 0x1 时，h（ x） h（1） 0，又 0，即（x21）ln xk（ x1） 2当 x1 时，h（ x） h（1） 0，又 x210，故 （x21） h（x） 0，即（ x21）ln xk（x1）2又当 x1 时， （ x21）ln xk（x1） 2因此当 0 0，即 k2 时，设 x22（1k）x10 的两个不等实根分别为 x1，x2（ x11，又 （1） 4 2k 0，于是 x1