量子力学期末考试试卷及答案

1、量子力学期末试题及答案红色为我认为可能考的题目一、填空题：1、 波函数的标准条件：单值、连续性、有限性。2、 |（r,t）|2 的物理意义： t 时刻粒子出现在 r 处的概率密度。3、 一个量的本征值对应多个本征态，这样的态称为 简并。4、 两个力学量对应的算符 对易，它们具有共同的确定值。二、简答题：1、 简述力学量对应的算符必须是线性厄米的。答：力学量的观测值应为实数，力学量在任何状态下的观测值就是在该状态下的平均 值，量子力学中，可观测的力学量所对应的算符必须为厄米算符；量子力学中还必须 满足态叠加原理，而要满足态叠加原理，算符必须是线性算符。综上所述，在量子力 学中，能和可观测的力学量

2、相对应的算符必然是线性厄米算符。2、 一个量子态分为本征态和非本征态，这种说法确切吗？答：不确切。针对某个特定的力学量，对应算符为 a，它的本征态对另一个力学量（对 应算符为 b）就不是它的本征态，它们有各自的本征值，只有两个算符彼此对易，它 们才有共同的本征态。3、 辐射谱线的位置和谱线的强度各决定于什么因素？答：某一单色光辐射的话可能吸收，也可能受激跃迁。谱线的位置决定于跃迁的频率 和跃迁的速度；谱线强度取决于始末态的能量差。三、证明题。1 / 52、证明概率流密度 j 不显含时间。 四、计算题。1、第二题：如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为 r 、电荷均匀分布的小球，02 / 500

3、rr0000 2计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。解：这种分布只对 r r 的区域有影响，对 r r 的区域无影响。据题意0 0知h =u (r) -u ( r )0其中 u ( r ) 是不考虑这种效应的势能分布，即 0u（r）=- 0ze4pe20ru ( r ) 为考虑这种效应后的势能分布，在 r r 区域，0u ( r ) =-ze4pe20r在 r r 区域， u ( r ) 可由下式得出， 0u ( r ) =-e edrre =14pe0ze 4 ze pr3 = r, ( r r ) r 2 4 pr3 3 4per33 0 0 0ze( r r )4per20u (

4、r) =-e0edr -eedrr r0=-ze 2 4per30 00rrdr -ze 24pe0r01r 2drze 2=- ( r 2 8per30 0ze 2 ze 2-r 2 ) - =- (3r 2 4per 8per30 0 0 0-r2)( r r ) 0h =u ( r ) -u ( r ) =0 ze 2 ze 2- (3r 2 -r 2 ) + ( r r ) 8per3 4per0 0 00 ( r r )0由于 r 很小，所以 h h 0(0)=-h2 m2 +u (r) ，可视为一种微扰，由它引起 03 / 5a* 0ar0r050 n222一级修正为（基态y(0)

5、100=(z 3pa30)1/2 e-zr0）e (1)1=y(0)1h y(0)1dt=z 3pa 30r00-ze 2 8per30 0ze 2(3r 2 -r 2 ) + e4per02 z- ra04pr2 dr r a0，故 e-2 z0r1 。e (1)1=-z 4 e 2 2pea3 r 30 0 00(3r 2 r02-r4) dr +z 4 e 2pea30 00rdr=-z 4 e 2 2pea3r 30 0 0( r 50-r z 4 e 20 ) + r 2 5 2pea30 0第三题6.2z 4 e 2r 2=0310pea0022 z 4 esr 2=05a 30求

6、自旋角动量在任意方向n (cos a, cos b, cos g) 的投影sn的本征值和本征函数。解：在 s 表象， s 的矩阵元为 z ns =nh0 12 1 0 h0 -i cos a+ 2 i 0 h1 0 cos b+ 2 0 -1cosghs = 2 cos其相应的久期方程：cos ga+i cosbcosa-i cos-cos gbh hcos g - l (cos a - i cos 2 2h h(cos a + i cos b) - cos g - l 2 2b)= 0即：l2h- cos42g-h4(cos2a+cos2b) =0 l2h- =04(利用 cos42 a/5

7、+cos2b+cos 2g=1) h b 2 b2 2 b22221 n2 n11n)l=h2h所以 s 的本征值为 。n 2h设对应于 s = 的本征函数的矩阵表示为 c n 2a ( s ) = ，1 n b1则 2 coscos ga+i cosbcosa-i cos-cos gbaha = a(cos a+i cos b) -b cbcos a+i cosb =1 +cos ga1 =c+c=(a *, b* ) =a +b由归一化条件得： 1 12 2 cos a+i cos ba + a =11 +cos g21 +cosga =1取 a =1 +cos1g，得 b =cos a+i cos b 2(1 +cos g) 1 +cos g 2c ( s ) =cos a+i cos b 2(1+cos g)1 +cos g1 cos a+i cos b0c ( s ) = + 2 2 0 2(1 +cos g) 11 +co