数值分析作业答案

1、第2章插值法1、当x=1, -1, 2时，f(x)=O, -3, 4,求f(x)的二次插值多项式(1)用单项式基底。2) 用Lagrange插值基底。3) 用Newton基底。证明三种方法得到的多项式是相同的。解：(1)用单项式基底1X02X0所以：A =1X12X11X2X2设多项式为:P(x) = a 。 aiX ? a?x，111-1 1f (Xo) X o2X。/1af(X1) X!2Xi1 /of(X2) X2X：jr11/2 */X。2/X】9 f /f2X?/f (X2)2Xo f (Xo)2X1f (X1)X02X02011/11114X1X1_3-111-112-6X2X24

2、24/12401/11 191/1-1 16 223/X24/24XixXxoX0f (X0)a2 X1f (X1)1 X1X2f (X2) /1 X22X21 1 0/1 1 11-1-31 -1 11 2 4/1 2 4-6 6X1|2(x)(X2 -X (X2 -xj所以f(X)的二次插值多项式为：P(X)用Lagrange插值基底lo(x)(x -xj(x -X 2)(X 1)(x-2)(1 1)(1 -2)(X0 一X1)(X0 -X2)h(x)(X - X (X -X2)(X -1)(x -2)区一x(X1 X2)(-1 -1)(-1 -2)(X x(x xj(x/)(x(2-1)

3、(2 1)Lagra nge插值多项式为：L2( X)二 f(Xo)lo(X) f(x) i(x) f(X 2) |2( X)10(-3) (X _1)(x -2)14 (X -1)(X31)65 237XX6 237 35所以f(x)的二次插值多项式为：L2(X)二 ? X -X 23 26用Newton基底：Xkf(Xk)一阶均差二阶均差10-1-33/22r 47/35/6均差表如下：Newton插值多项式为：N2( x) = f (x f x xj(x - x fx 人 xK x - x (x - xj=03(x -1)25(x - 1)(x65 237=XX -?6237 35 2所

4、以f(x)的二次插值多项式为：N2( x)X x3 26由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。ex的近似6、在-4乞x岂4上给出f (x) =ex的等距节点函数表，若用二次插值求值，要使截断误差不超过IO6,问使用函数表的步长解以应取多少X?+1为插值节点多项式的截断误差，则有R2(x)二f ( )(X x*)(x Xi)(x Xi 1), (Xi，Xil) 3!式中 Xj 丄二 x r h, Xj 彳 =x h.R2(X)= 1 e4 童弈x (x x*)(x xj(x 人十)兰6e -童h36x4令 e h3 xj =192531443844 =727769925313844 =

5、53271, y 爲 yj =19.0j =04-QQx , y x j yj A19j鱼32.3 49.073.3 97.84=271 .4QQQQQ19.02532.3 3149.03873.34497.8 =369321.5求解方程组得:f 55327述271 .4(53277277699 b /A369321 .5a - 0.972579, b = 0.050352所求公式为：y = 0.972579 0.05035 x1均方误差: =任0Xj) yj】 -0.12262J第4章数值积分与数值微分1确定下列求积分公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并其代数精度尽量高，并指明所构造出的

6、求积公式所具有的代数精度：h(1). f(x)dx : A(-h) A (0) Af (h);f (x)dx ： A i f Ah) Ao f (0)Aif (h);f (x)dx : f (-1) 2 f(x i) 3 f(X2) /3 ;-i(4) o f (x)dx : h f (0) f (h) /2 ah f (0) _ f (h)hAi f (h);解：(1) f (x)dx : Aif(_h) A (0)将f (x) =1,x,x 2分别代入公式两端并令其左右相等，得hA t亠代亠A idx = 2h.hh-hA i 亠 0 A0 亠 hAt xdx =02 dx = h3,h2

7、 2h AA0 0 h A1所求公式至少具有2次代数精确度又由于-_hc4hf (0)th)具有3次代数精确度332 hf (x)dx : Af ( h)Af (0) A f (h)2hf (x) =1,x,x 2分别代入公式两端并令其左右相等，得AA0A 二 1dx =4hL_2h2 h亠 hA0 a。hA1= .jdx= 02(-h)A8h2h2=x dx-2h4h16 3 =h3a。38h34h令 f (x) = X4，得2 h41馳！3 rX564 h 8h 4 8h 4 (-h)h16h 5x dx5332h15 h令 f (x) =x3，得 x3dx = 0 =吵(_* ?竺.h3

8、 =03故求积分公式具有3次精确度。i(3) i f (x)dx : f ( 1)2 f (xi) 3f (X 2) /3当f (x) =1时，易知有if (x)dx : f (-1) 2f (xj 3f (x 2) /3 )1令求积分公式对f(x)二X, X2准确成立，即11 xdx = 0 = _1 2x 3x21纠2皿*丄33X! = 0.2898979 亠 则解得 1 洛=0.6898979或x2 =0.5265986X2 - -0.1265986i厶将f(x) =x3代入已确定的积分公式，则1f (x)dx - f (-1) 2f(x 1) 3f (X2)/3故所求积分式具有2次代数

9、精确度。f (x)dx : h f (0) f (h) / 2 ah f (0A f (h)当f (x) =1, x时，有h1dx : h11/2 ah 20 - 0hxdx : h0 h /2 ah 21 -10故令f(x) =x2时求积公式准确成立，即-2 . 2.2x dx : h0 h / 2 ah 0 -2h解得a -将f (x) =x3,x4代入上述确定的求积分公式，有1231=h0 h / 2 h 0o- 4 dxI Xh2122-3h 5-h0 ? h4 / 2 ?丄h20 _4h 412故所求积公式具有3次代数精确度2、分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分(2) i 一 X

10、dx, n=4；(3) f6 J4 sin 2 日 d8,n =61解（1 ）复化梯形公式，h二一T8 J f(0)f (xQ ? f (1)二 0.11140248复化辛普森公式,hS8& f(0)% )+4 送 f(Xk) + f(J2k =0.1115718h =2T4-f (1)f(xk) - f (9)=17.3060005k 土h3S4f (x4、f(Xk)f (9)=16.72375056k2h =T6h f(0)2 f(Xk)2=1.035684136心6hL.03576391 1S6f(0)f (x 羊)+4 送 f (xj +f匚）6 -k 2心65推导下列三种矩形求积公式

11、：、f Q)2b f (x)dx=(b -a) f (a)(b -a)2J2f (x)dxf 0)2=(b -a) f (b -a)；2f (x)dxa +bf ”(3(b - a) f (2)24 (b-a)。解：(1)左矩形公式，将f(x)在a处展开，得(a,x)f(X)二 f (a) - f ( )(Aa)两边在a,b上积分，得bbbf (x)dx = f (a)dx 亠 | f ( )(xa)dxb=(b - a) f (a)亠 | f ( )( x - a)dx由于x-a在a,b上不变号，故由积分第二中值定理，有厂e (a,b)f (x)dx = (a-a) f (a)bf ( )

12、(x a)dx从而有f (x)dx =(b _a) f (a) f ()( b _a) J 二(a, b)a(2)右矩形公式，同(1)，将f (x)在b点处展开并积分，得b 1 2 _f (x)dx =(b a) f f ( )(b _a)厂三(a, b)a(3)中矩形分式，将f(x)在一处展开，得2)-f)( xa b( h)a +b ”a +ba +b2 r(a,卩f (x) = f () f ()(x -22 2得两边积分并用积分中值定理，.a亠b ba亠 b ()(x )dx“艮ba、-baf ( )(xf (x) = f ()(b -a) -fa ba b2=f ()(b_a)dx2

13、2a b1 3=f( )(b-a)2f ( )(ba)J-(a,b)24a + b 2 )dx21冋区间i-0,116、若分别使用复合梯形公式和复合辛普森公式计算积分i edx ,-o应分多少等份才能使截断误差不超过1 10 02解：由于 f (x)二 ex = f (x)f(x), b a = 1由复合梯形公式的余项有Rn : fbah2f 牡)解得12卄n _ 212.85 可取 n =21312eJ 10n 2由辛普森公公式的余项有:h4 f(4)(兰AA(丄)4兰丄0玉2880 n 2解得n _3.707可取n =48、用龙贝格求积方法计算下列积分，使误差不超过10-(1)2A/JTX

14、 e dx ；2 二0 :xdx ；30X2x dxiTn解：（1）Tk（k）2v心f (x。 ) f (Xn) 2、f (Xi) ,k =0,k =1,2,3, 4 k-kT (k)nT (k)1 0T (k)1 1T (k)T2T (k)1 30h _门-1I一一 MX。 )+f (人)+2 瓦 f (Xj 2 170.77174331AT (0) T (0)(1)4 1 2 n I nTn -4 10.72806990.713512122(1)丁 (1)(2)4 1 2 n儿Tn24 -10.71698280.71328700.713272033(2)(2)-(3)42 n一 TnTn-

15、34 -10.71420020.71327260.71327170.7132717亠77Tnk (k)(k J)4 I2nkT (k)1 0T ( k)1 103.4513132*10 -618.6282830*10 -7-4.4469230*10 -2118、用三点公式求f(x)=在x =1.0,1.1,1.2处的导数值，并估计误差。的(1 +x)值由下表给出:X1.o1.11.2f (X)o.25ooo.2268o.2o66解：三点求导公式为f (Xo) =丄l_3f (X o) 4f(xJf(X - f ( ； o)2h31h2f( X1)f (xo) f (xjf ( ； 1)2h61

16、 rn hf( X2)f(Xo) -4f (xj 3f (X 2)f ( ； 2)2h3-i J(Xo，X2)，i =o,1j 2 取表中x =1.0,1.1,1.2，分别将有关数值代入上面三式，即可得导数近似值。4! 4! _(X) m ax55 一二 0.751 X 2从而可求得误差上限与导数值如下X1.o1.11.2三点公式-o.247-o.217-o.187误差o.oo25o.oo125o.oo25理论解-o.25-0.2159594-o.1878287数值积分法，令(x)二f (x),由Xk牛f (Xk+ ) = f (Xk) + f ?(x)dx%对积分采用梯形公式，得3f(x)

17、=f(Xk) 3 l，(Xk) ?(Xk1)l 4 xkL ; ； ( k),(Xk,Xk1)2 12令k=0,1,得2(X。)(xj f (Xj f(X。 ) 1hxj( X2)、f (X2) f(Xj同样对f (Xk 1)= f (Xk 1)亠 1X-(X) dx3f (Xk 1)=f(X r)?亠 j r(Xk j ?(Xk 1)d 八L.uk), 212-(XuXk.J从而有r（ x。）1(X2) f ( X2) f (X。)h代入数值，解方程，即得（ Xk） , k =0,1,2如下X1.01.11.2 1三点公式-0.247-0.217-0.187误差-0.25-0.2159594

18、-0.1878287理论解-0.25-0.2159594-0.1878287第5章解线性方程的直接方法7、用列主元消去法解线性方程组12Xt -3X2 3X3 =15 18x | +3x? X3 = -15Xt + x2 + X3 = 6 并求出系数矩阵A的行列式的值12-315 1-18I.A b =|国11-1-15-1-1-15-1831-1577173135*0618617311002266186-77 -3-17622=667A = 18汉汇6X3 =3, X2 = 2,召=18、用直接三角分解求线性方程组的解。111X1+X2+ _ X3=94561+1 +X2X3=83451洛+

19、X2+2X3 =8、2解军：由公式 uii = aii (i =1,2，门)，丨口 =2, 3 ,nr _LUri 二 ari- ?1來5, i = r, r ? 1,n;k 土r二lir = (a vhkUkr)/Urr , i = r, 1,，n丁 = n 知111456311460452-361315k -4 11 00 440 0A = LU =312-360116045130151 000 Y 二 899Y 二 -44 b = LY132 361訂UX =6045日54 j1315227.08, x 2=476.92, x 3-177.69/0.60.512、设A =,计算A的行范数

20、，列范数，2-范数及F-范数少 10.3 /1 A1 = max1住aj=0.8IaF =aj=丁 0.71 =0.8426150丿解：lA= max=1.11 j二,max ( ATA) =0.685340713 求证：(1) |x|詞 x|L Mn|x|仁;(2) | A|F a|L 刈A|F v n证明：(1 )由定义知f A = 60.1 0.60.50.50.3|0.10.30.330.370.340.33nixim ax xi兰xi十八兰八一 ySSi ztnm ax xi| 咗im 1|x| =小|匚ii OQ|x|/|x 沦 n|x 仁（2）由范数定1义，有n( AT A)A

21、2 =仏（AX）空昭人八）-（AX）|A|：=迟 a2 +迟 ai；i =1i +迟 a2 =迟迟 ai2=|A2 i=1 j i =1max( ATA) _丄 ATA - .2n -AtAr, N AT A故1 |Ayjr1、设线性方程组第6章解线性方程的迭代法5x i 2x 2 X3 12人 + 4 X2 + 2 X3 = 20 2Xt 3x2 +10x 3 =6(1) 考察用雅可比迭代法，高斯-塞德迭代法解此方程组的收敛性;(2) 用雅可比迭代法，高斯-塞德迭代法解此方程组，要求当X(k 1) -x(k : 10八时迭代终止。-塞德迭代法均解：(1)因系数矩阵按行严格对角占优，故雅可比迭

22、代法与高斯 收敛。(2)雅可比迭代法格式为(k书X12(k)1(k)12X2-X3555(k 4+)X2(k十)1(k)3(k)3X1+X2H-510101(k)1(k)=X1-x3+ 542取x0-(1,1,1)T，迭代到17次达到精度要求x(01 -(-4.0000186, 2.9999915,高斯-塞德迭代格式为2.0000012)(k 1)2 “、1(k)12(k)X1X2X3555(k十)1(k)1(k)丄-X2X!X3亠 542x(kD lx(k)? 2x(k) ?31251010取x(0) - (1,1,1) T,迭代到8次达到精度要求x(0) =(-4.0000186,2.99

23、99915,2.0000012)第七章0 1用二分法求方程X J- 1 = 0的正根，要求俣差小于0.05.解 设 /( J) = J- r - h/(1) = 1 0,故2为/(力的冇根区间？又#( =“一】撤当i时(x)单调增.而广丄二一A ? ”T 2 I /(0) = 1 ?由单 调性知f(x) = 0的惟一正根j*E 012h根据二分袪的谋差估计式(7.2)50,要求谋差小于0.05,只需?0.05*g 得虽+1為22卡故至少应二分6次?具aa协计算结果见表7 4?表7-4kbkfg)的符号012L51lt52L7521. 5L 751, 525T31. 51,625L 5&2 54

24、1.562 5L6251*593 755I. 593 751,62Slt60S 375即h c r = 1.609 375 2.为求方程一/ 一 1 =0在,=附近的一个根设将方程改写成下列等价形式李并建立相应的迭代公式.(1)文=1 + A纺迭代公式文一=】+ A*(2)rtT =( 1.* = 1 + X2 ?迭代公式 )7：卡=，迭代公式：Til = 1试分析每种迭代公式的收敛性？并选取一种公式求出具冇四位有效数字的近似根.分析本题考查根据迭代公式的收敛性选取求方程解的近似值 问题解 取花=1.5的邻域L1.3J.6来考察(1)当工？ 1.3,1.6时g(jr) = 1 +-7 ? 1.

25、3,1 ?匕 . I =L1故迭代式 =1 占在1? 3? 1.6上整体收敛. 当工？ 1.3,1.6:时Z= (1 + J-2)I/3 E LI.3,1. 6 ;小)产=0. 522 1 故丁 I 二 j 1 二发散.Jg 1由于（2）的L较小，故取（2）中迭代式计算？要求结果具 有四位有效数字，只需I及一疋VI几一】V vx 1亠即1 _ i 1及一 g 1 iiE明对一切k =2?刃鼻阳且序列小乜是递减的.1证明 证法一用数列的办法？因翫 由无=*弘|+旦知jf心 0 且忑=* （ J+血N石朋=1、2? 3申.又由故文出双即单调递减有下界很据单调冇界 原理知，&门冇极限.易证其极限为证

26、法二 设/ （工） =X2 a a 0）,易知/ （工）=0在0,+ X ）内有惟一实根才二掐?对/ （ JT）应用牛顿迭代法，得1岛忑=賦?上一 ? K当氐 血时*氐爲单调递减冇下界掐种且当航G （0”掐）时.+ 7A 賦此时？从小起 “ mJ单调减冇下界且扱限仍为庙？第八章 1?用幕法计算下列矩阵的主特征值及对应的特征向量? 73_23-43(a) Aj =34_ 19 (b)=_463-2_ 13_ 331当特征值冇3位小数稳定时迭代终止.分析 本题考察了幕法的 计算解套用幕法公式如H 0,叭二八-5 _max?)取血=(1,1,1) 丁 HO,将街代入上式？计算结果见下表kmax(u?

27、)1(1.0.75 ? 0)82(1,0. 648 648 649. -0.297 297 297)9.254(10 608 798 347. - 0. 388 839 681)9.594 900 8506(1 .0, 605 776 832. 一 0. 394 120 752)9. 605 429 002(1 .0. 605 609 752 ? 一 0. 394 368 921)9. 605 572 002即比 的主特征值儿 9.605 572特征向量占 (1,0.605610, -0. 394 369)、将小代入幕法公式？取“。=(1? 1? 1)丁?计算结果见下表kmax( vk)1(0

28、. 285 714 286,0.714 285 714,1)72(0. 162 790 698*1 .0. 651 162 791)6. 142 857 1435(-0. 476 667 405,1.0. 275 116 331)8. 400 967 98210(0. 598 164 195.0.155 993 744)8.855 264 59716(-0. 604 221 865.10 150 937 317)8.869 534 94717(-0. 604 288 082 ? 1? 0. 150 881 294)8.869 699 412故血的主特征值石& 869 699?主特征向量为（一

29、0? 604 288.1,0.150 881几 2.利用反幕法求矩阵的最接近于6的特征值及对应的特征向量.分析本题考察了反幕法的计算解 本题应按带原点平移的反幕法计算？平移量p = 6 ?因此先将0 2K = A pl =2-3进行三角分解：卩=?其中010_1001,丄11002023100_ 112_ 202705然后利用也=(八1厂解得“=册门？得计算得以下结果：vi = (1.618 518 519,0.807 407 407,0. 185 185 185)=(1 ,0.498 855 835 ,0. 114 416 475丁6? 617 848 97 y = (0.498855 83

30、5, - 0. 135 011 442,1. 108 009 154)V2 = (0. 742 944 316,0. 397 406 5590 205 186 88卩U2 = ( 1 ,0. 534 907 5970 276 180 698丁以 7? 345 995 896y = (0. 534 907 597,0. 008 726 899 0 993 018 48)V3 =( 0. 787 588 409,0.408 053 8440 183 892 31 1 )U3 = (1.0. 518 1 05 446,0. 233 487833) M 7. 269 698 727 旨=(0. 518

31、 105446, - 0.025 564 89 J. 020 451 912)5 = (0. 772 837 002,0.405 513 711,0. 188 972 576)心=(1,0.524 707 939,0244 518 023)A7. 293 933 905y5 = (0. 524 707 939, - 0.017 835 946.1.014 268 757)=(0. 777 569 5350 406 086 226.0. 187 827 547)=(1 ,0. 522 250 689,0. 241 557 235丁以 7? 286 058 616 力=(0. 522250 689

32、 ?- 0.019 568 109-1.015 654 488U6 =(0. 776 020 139,0. 405957 918,0. 188 084 164)ue = (1,0.523 128 07.0.242 370 2O9.A 7. 288626 351y7 = (0. 523 128 07, -0.019 193 826,1.015 355 061 T V7 = (0. 776 528141,0. 405 985 642,0. 188 028 715)it: = (1.0. 522 821 544.0. 242 140移因子來计算A的全部特245)t.Aa 7. 287 783 336

33、可以看出？ A的与6最接近的特征值约为7. 288?对应特征向量为(1,0. 522 8,0. 242 1几2.828 427 124-4. 242 604 5860. 707 106 7811. 732 050 806-0. 577 350 2682o31o(a) A =2 11.(b)B =1210 13011? 7.用带位移的QR方法计算QR方法即可得出正确结果取5 ,解 （a ） 记旳=A ?征值.5j = 3畑戸2 （儿-51/）= R的全部持征值.分析熟练掌握带原点位移的0. 408 248 245V = RPhPh +-2.01.666 666 6673.333 333 3331

34、.224 744 870.235 702 2652 = 3.333 333 3330. 235 7021.224 744 8726卩23卩2 （玉52Z ） = R5.472 151 717- 1.566 698 901.370 688 8340.052 753 495一 0.226 3010.039 502 921儿=RP : Pl +3-2.350 649 3450. 306 779 5260. 306 779 5261. 978 401 8220.006 792 83100. 006 792 8313.372 247 82253 = 3.372 247 822%几 2 （人 3 -S3n = n5. 731 1 13 823-0. 380 950 5720. 000 363 61101.375 442 8920.000 330 107000. 000 033 499