ANSYS-5-非线性有限元

1、第五章钢筋混凝土结构非线性有限元分析5-1钢筋混凝土结构非线性分析的基本步骤一、非线性分析步骤：与结构有限元分析方法类似，分为三步：（1）结构离散化；（2） 单元分析；（3）结构总体分析（3）荷载移置:1）结构离散化：（1）划分网格：选择合适的单元划分网格；（2）引入位移边界条件; 将作用在结构上的荷载按静力等效原则移置到单元节点上。2）单元分析：单元刚度矩阵（1）单元结点位移与单元内任意点位移的关系:（2）单元结点位移与单元应变的关系：B（3）单元应力与应变的关系：（4）单元应力与结点力的关系：（5）单元结点位移与结点力的关系:3）结构总体分析：（1） 形成总体切线刚度矩阵K，等效节点力增量

2、F ;（2） 求解非线性方程组，计算节点位移增量K 1 F ；;计算单元应力增量（3） 计算单元应变增量B（4）计算总内力R K ；（5）计算不平衡力g R F ；（6）迭代计算直到满足收敛条件。二、非线性问题分类：材料非线性、几何非线性、边界非线性1）材料非线性：塑性、非线性弹性、粘弹性、粘塑性、断裂、损伤、徐变2） 几何非线性：（1）大应变；（2）大位移3）边界非线性：接触非线性、单元非线性非线性分析的两个层次：结构整体分析一一结构刚度矩阵、单元模型建立一一单元刚度矩阵单元平衡方程：t tFe tFe Ke单元刚度矩阵：Ke f (tFe,t e, e)对材料非线性问题:对几何非线性问题:

3、BTDBdVBTD(tFe,t e, e)BdV材料非线性和几何非线性耦合问题：Ke(2)结构分析：结构平衡方程的增量表达式：F KBTDBdVB(F, )TD(tFe,t e, e)B(F, )dVBTDBdVB(F, )TDB(F, )dV结构总体刚度矩阵：KKe5-2钢筋混凝土单元模型相同点：钢筋混凝土结构有限元分析基本原理二固体力学中的有限元分析。不同点：钢筋混凝土结构 二混凝土 +钢筋钢筋混凝土结构有限元模式主要分 3类：1、分离式：钢筋、混凝土各自采用不同的单元2、整体式：计算钢筋、混凝土综合本构关系，按整体计算单元刚度。3、组合式：分别计算钢筋、混凝土对单元刚度的贡献，建立复合单

4、元。5.2.1分离式根据钢筋、混凝土材料的性能，各自选择不同的单元、采用不同的本构关系。同 时，考虑钢筋、混凝土之间的相对滑移可以采用联结单元。分离式可用于钢筋混凝土构件的破坏机理分析：研究钢筋与混凝土之间的相互作 用、粘结滑移，裂缝的扩展过程及钢筋的作用，裂缝出现后结构内力充分布等情况。 缺点：划分单元数量大。IZIZLZIZV图4-10分离式单元522整体式整体式假定钢筋与混凝土之间粘结很好，无相对滑移，将钢筋、混凝土折算成一7EC(1)(1 Ee2)(1Ec)(1；(12 )7722X)EC种材料，或综合计算钢筋混凝土结构的本构关系，再计算单兀刚度本构矩阵：DDeDs单元平衡方程：F e

5、BT D Bdv e Ke单元刚度：K eB T De Ds B dv混凝土本构矩阵：2(1 )Es X00000Es y0000钢筋的本构矩阵：rEs z0Ds00000000式中，x，y，z分别为沿x,y,z方向的配率特点：单元划分少，计算量小，适用于复杂配筋情况，实际工程多采用该模型。 缺点是无法分析研究钢筋与混凝土间的相互作用机理。523组合式组合式不考虑钢筋混凝土之间的相对滑移。分别计算钢筋、混凝土对单元刚度的 贡献，建立复合单元。1.分层组合式单元构件纵向划分单元、再将单元沿横截面高度划分成混凝土条带和钢筋条带，假定 条带上应力均匀分布。分别计算单元混凝土和钢筋的刚度，然后求和。献

6、面廿层假设应娈分布应力分布图4-11分层组合式单元2.带钢筋的四边形组合单元设任意四边形单元中包含1根钢筋，混凝土采用四边形单元，钢筋用杆单元，分 别求出钢筋、混凝土对单元刚度的贡献。四边形单元刚度： K e KcKs(1)混凝土e混凝土的单元结点位移：T u1 v1 u2 v2 u3 v3 u4 v4混凝土的单元结点力：F eXiX2丫2X3丫3X4丫4 T单元结点力与结点位移关系：F e Kc e四边形混凝土单元刚度矩阵：心1i 1itBTDBJd d(2)钢筋钢筋杆的刚度:厂C2cskcsK 乡r&cs-s2-c2 csc2cs-cs-scs钢筋两端A,B的结点力和结点位移，FsXa Y

7、a Xb YbT sUa Va Ub Vb结点力和结点位移的关系，FsK s s钢筋杆局部与四边形节点的关系:钢筋两端点a,b的位移与单元结点位移的关系,=迟心00007?0Vt口00u00心Vi)000f 2厶(Ih001”钢筋两端点a,b的位移与两端点力的关系:F eKs _F e RT Fs钢筋两端点a,b的力与单元结点力的关系,图4-12带钢筋的任意四边形单元特点：单元数量少，单元刚度计算麻烦，无法揭示钢筋与混凝土间相互作用的细观机 理。5-3梁柱单元材料非线性刚度矩阵根据虚位移原理：结构外力在虚位移上所作的功等于内力在虚应变上所作的功。(Real external loac) (Vi

8、rtual displacements) = v(Real stresses) . (virtual strains)dvorwT pdv(5-1)v式中，d v 内力在虚应变上所作的功；w p外力在虚位移上所作的功。v设梁单元节点位移如图5-1所示，单元内任意点的位移等于一组形函数与相应节点位移的乘积之 和表示。u( )i( )WiiTWi(5-2a)i 1,7,13,14,15v( )j ( )Wj；Wj(5-2b)j 2,6,8,12,18,19(5-2c)w( )k ( ) Wk：Wkk 3,5,9,11,16,17式中,u( ),v( ), w()梁柱单元在x,y,z轴方向上的位移;

9、i( ), j( ), k()梁单元位移形函数;wi, Wj,Wk 与u( ), V( ), w()位移相关的梁柱单元节点位移;x / L,局部无量纲坐标。0设弹性本构关系为,(y,z) E (y,z)(5-5)0截面内任意点的位移:yz zy 1(5-3a)梁柱单元截面应变平面与单元节点位移的关系:0Tk0wiwk(5-4a)为截面上应变平面。w单元节点位移0B梁单元几何矩阵:BT k0故,TTy % y B w(5-3b)、单元材料线性刚度矩阵式中,E是弹性模量。将式（5-5），（ 5-3a）代入式（5-1）,得，wTPv% yTe y%dvL%yA)Te ydA%dxLTTwT B DB

10、 wdxw b dLB dxw得单元平衡方程：BtLDBdxwp梁柱单元刚度矩阵：KBTDBdLxEAESyESZ单元截面刚度矩阵：DESyEJyyEJyzESzEJyyEJzz将（5-4）, （5-9）带入式（5-8）,单元刚度矩阵表达为,i00EAESyESzTi00K0k0ESyEJ yyEJyz0T k0 dxL 00jESzEJ yyEJzz00T j或，iEATiiESyT kiESzT jKkESyTik EJ yyT kk EJ yz jdxLjESzT :ijEJ yyT kjEJzzT j取，kiiiEA iTdxkjjjEJzz jTdx(L)(L) jkijiESzjT

11、dxk jkj EJyzkTdx(L)(L)kikiESykTdxkkkkEJ yy kTkdx(L)(L)则上式可表示为,(5-6)(5-7)(5-8)(5-9)(5-10a)(5-10b)Kkii k ki kjikik k kk k jkkijkkj 心(5-10c)材料线性梁单元刚度矩阵的具体表达式:A L000SyLSzLA L000SyLSzL012Jzz12Jyz06Jyz6Jzz012Jzz12Jyz06Jyz6JzzL3L3L2L2L3L3L2L2012Jyz12Jyy06 Jyy6 Jyz012Jyz12Jyy06J yy6JyzL3L3L2L2L3L3PL20001000

12、00100Sy6Jyz6J yy04J yy4JyzSy6Jyz6Jyy02 Jyy2JyzLL2L2LLLL2L2LLSz6Jzz6 Jyz004Jyz4JzzSz6Jzz6J yz002Jyz2Jzz旳E LaLL20L20LSyLLSzLLA LL20L20LSyLLSzL012Jzz12Jyz06Jyz6Jzz012Jzz12Jyz06Jyz6JzzL3L3L2L2L3L3L2L2012Jyz12Jyy06J yy6 Jyz012Jyz12Jyy06 Jyy6JyzL3L3L2L2L3L3L2L2000100000100Sy6Jyz6Jyy02J yy2JyzSy6Jyz6Jyy04

13、Jyy4JyzLL2L2LLLL2L2LLSzL6JzzL26JyzL202JyzL2JzzLSzL6JzzL26JyzL204JyzL4JzzL(5-11)二、单元材料非线性刚度矩阵设非线性本构关系为(y,z)E()(y,z)(5-12a)式中,E是弹性模量.将应变表达式代入上式,得，(y,z)E()(y,z)E( ) T (5-12b)1 单元割线刚度将式（5-12b）, （5-2）代入式（5-1），得，Tw p%yE()y 丁 %dvvT(5-13)%La y e()y dA%dx引入几何关系,得单元平衡方程:pBTE( ) TdABdxw +BT0dx(5-14)LALE()E( )z

14、E( )yDsE( )TdAE( )zE( )z2E( )yz d A(5-15a)AAE( )yE( )yzE( )y2设截面刚度表示为,ds1ds2ds3Dsds2d s4ds5(5-15b)ds3d s4ds6单元全量平衡方程式，PKswPo(5-16)单元割线刚度可表达为，KsBTDs()Bdx(5-17a)iTds1T ii ds2T kT ids3 j或Ksk ds2T ik ds4T kT kds5 jT dxLj T ds3T ids5T kT jds6 j2 单元切线刚度(5-17b)式（5-2）的增量形式，d yTd(5-18)plpl式(5-i2b)的增量形式，d (y,

15、z)dd d e()yT d(5-19)对单元平衡方程式（5-14）取增量式，并代入式（5-18）、（5-19）得, P BT dxLBTDt( )BdX wL(5-20)梁柱单元切线刚度矩阵, p Kt W(5-21)KtBTDt( )BdxLi d1i d2k d2k d4jTd3j d5T kT kT kiTd3d5j d6T jT jT jdx(5-22)L式中,DJd1E()TdA 或Dt d2 Add3d2d4d5d3d5d6(5-23)图5-16梁柱单元点x的位移及单元段dx的变形由截面几何关系和材料力学，截面坐标原点处的轴向应变0和绕y轴和z轴的曲率y , z可以表达如下,0

16、dS dx 12 u u2 v2 w21dxwy2r，(1 w2)2vz(1 v2)2(5-24)用Taylor级数展开式(5-24),略去高于二阶的微量,1 22(vw 2)T i000Tk0B1B2 w式中,BiB2B1Ti000Tk0B2再将式(5-2)代入，得B1是单元应变与结点位移线性关系项,由(5-1)式,将式(5-3b)代入上式等号右边，得00Tj1T2w k00wiwkwj(5-25a)(5-25b)(5-26)(5-27)B2则为单元应变与结点位移几何非线性关系项。dv(5-1)dvwT Bt y% dAd xL A(5-28)公式中， Y dA q是截面力列阵，则梁柱单元平

17、衡方程为,ApBt qdxL(5-29)公式中,p节点外力;q 梁柱单元内截面力矢量；式(5-29)中，B、q都是单元位移的函数，对式(2-29)求变分，得 pBt qdx BTqdxLL(BTDt( )BLd xB：qdx) wL(5-30a)Kt w(5-30b)B；qdx K1式(5-30)中，KtBTDt( )B dxL是单元切线刚度矩阵，由材料非线性刚度矩阵Ki, 阵的简单叠加构成。k2 k(5-30)几何非线性刚度矩阵K2和几何刚度矩阵K2三个矩5-3梁柱单元材料非线性刚度的积分1、单元积分梁柱单元割线刚度矩阵，KsBTDs( )BdxL梁柱单元切线刚度矩阵，KJBTDt( )Bd

18、xL由于计算式复杂，无法得到刚度矩阵的显示表达式，采用高斯积分法。沿梁柱单元取3-9个积分点计算单元刚度。2、高斯积分法选高斯积分点，计算被积函数在积分点处的函数值，用相应的加权系数乘以函数值然后求和。通过优化选择积分点(xi )和权函数Hi.图5-2高斯积分bf (x)dxaf(xJWii 1图5-3梁柱单元的积分(1) 一维高斯积分公式：求区间-1,1的积分值，1 nI 1f( )d Hjf( i)i 1加权系数H i按Hi，i分别是根据计算精度最高选定的。 积分点i是勒让德多相式的根, 下式计算：Hi2(1 i2)Ln( i)2(2)二维高斯积分公式先令为常数，沿方向积分，得：f( ,

19、)d d再沿方向积分，得,1f(，n)dHjf( j,)()j 1()dHi (i 1i)nnHi Hjf( j, i)i 1 j 1图5-7等参单元表5-1高斯积分公式中的积分点坐标和加权系数 w - - w _ w v ta a -pv f 加桩系數Ht2 yi73 上 O. 57715031.0* 0,774-5967O.5555560.0O.K8SKS94， O. 861 U63A 3478548O.6521452 0.90617980.21WQ26Q5* 0,5384603O.47862870,0O.568SS695-5非线性平面单元 5.5.1三结点三角形单元二结点二角形单兀关系:

20、(1)单元结点位移与单元内任意点位移的关系:(2)单元结点位移与单元应变的关系:(5)单元应力与应变的关系:(4)单元应力与结点力的关系:(5)单元结点位移与结点力的关系:N形函数；B单元几何矩阵；S单元应力矩阵；K单元刚度矩阵。图4-2三角形单元结点力与结点位移1.位移模式取单元位移模式为线性函数:2X5X6y2.单元结点位移与单元应变的关系根据弹性力学中平面应力问题的几何关系1几何矩阵：B 2Abi0Cicibbj0CjCjbjbm0CmCmbmBi BjBmB矩阵为常数，三角形单元内各点应变为常量。3.单元应力与结点力的关系:弹性力学中平面应力问题的物理关系DDB e S4.单元结点位移

21、与结点力的关系:eeF e K图4-5三角形单元应力与虚位移0 ,0单元结点位移与结点力的关系：F e tBTDBdxdy e Ke e式中，KetBTD Bdxdy三角形单元的特点：容易进行网格划分和逼近边界形状；但单元内的应力、应变为常 量，精度较低。5.5.2平面问题矩形单元1.位移模式取单元位移模式为：i2x3y4Xy 8个结点位移解得8个待定常数v56X7y8xy1 8。y43*1XkIt02LJaa3图5-4矩形单元其中M弓(吩)(于) =4(1+t)Z：)(咗)称为形函数，写成矩阵形式有2.几何矩阵:-/viuryuvy x-b - y)0b - y0by0* (fe + y)X

22、0-(a - x)0(J 4 %)0a + x0-(rt - x)-(A -)（口 i）b - ya + x6 + va - x0 Ia x-(b + y )(3,26)5.应力位移关系：DD Be S e4.单元结点位移与结点力的关系：F etBTDBdxdy e Ke e式中，单元刚度矩阵：KetBTDBdxdy矩形单元的特点：单元内的应力、应变为线性变化，较三角形单元精度高。但不能适应斜边界和曲线边界。1#7图5-5平面四结点等参数单元实际单元、母单元从坐标系（xOy）到坐标系（的变换，使得xOy平面上的任意四边形转化成（平面上的以原点为中心，母单元是边界为1,1的正方形，两种单元的结点

23、号一对应。1.等参元的位移模式：实际单元内任意点坐标与结点坐标关系4NiXii 14Ni%i 1(4.52)N1N2式中，N3N41141141 14114母单元中的位移插值函数Ni1141, 1134叫Vii 1等参单元：位移函数式与坐标变换式具有相同的构造1;1;2 1, 21,41；1；(4.54),用完全相同的形函数Ni2.等参元的几何矩阵 卜 I 一 1 I 1 更Xaa+U一Xf d-a 8-3 3-39x0辿2dx03xo - u 3x0a%a叽09/V3QN。0dy0 丄3y0oy9.Va他Ls78A帆 dyd/V2 dxa弘8yBN、竺 Sy也3z巧%B中有形函数对整体坐标（

24、x,y）的微分,N用（,（4.55）表示的，利用复合函数的微分，8/V;3xay-Sy_ 9xa 丁9$a他3xL i=Sva 6昇Sy6写成矩阵形式，则为rax 引：董af ae9xdxa耳也91 a可m”I St J*、3y（3.36）J(3.37)y】J(3,38)0旳(3.39)对式（3.36）求逆后，可得3.等参元的刚度矩阵设：dAa b(1-7(1-7)(1-f)(1+)?)-(1+ 7)1(1 尢)(1-f) J式中丿即为雅可比矩阵，再将公式（3二2）关系代入，则得a b sineTKe tB DBdxdyA训 * M$ 训 ) 于是有8x 3va? 获J 3x dy5511 =

25、鮎d$d?= I 丿 IdWM式中，l为雅可比矩阵的行列式1/13c3.t曲ae5等参单元刚度矩阵：Ke BDBJd di i表5-3结点局都坐标形屈数导数i7;%州 af3A?.曲1-1-1+(l - F)(l 7)- )(1 - J?)1-q-d-$)(1-7-yti- 7 *(1 - f)+(学)20-I+ ( 1 _ F)(l 宀可)|-6(1 - 7)0 - f2)5-6钢筋与混凝土之间的联结单元联结单元：考虑钢筋与混凝土单元之间的粘结、滑移及其界面性能的单元。特点：沿着与联结面垂直方向传递压应力，沿着与联结面平行方向传递剪应力，但不能传递拉应力。561双弹簧联结单元在垂直于钢筋表面

26、方向设置互相垂直的一组 弹簧，它具有弹性刚度，但无实际几何尺寸，可 放在需要设置联结的地方。无几何尺寸因而不会 影响单元的几何划分。平行于钢筋的弹簧计算相对滑移和粘结力，垂直于钢筋的弹簧计算钢筋的销栓作用。若局部坐标轴ox与整体坐标轴ox间的夹角为取C cos ,S sinUihCS CSvi联结单兀的应变：h或,vSCSCUjVjhDD BeS e单兀应力应变关系：v联结单元的应力矩阵：S心0CSC SkhCkhSkhCkhS0kvSCS CkvSkvCkvSkvC单元平衡方程：F e BT D BeK e单元刚度：kQkvS2khSCkvSCkhC2kvS2khSCkvSCKkhSCkvS

27、CkhS2kvC2khSCkvSCkhS2kvC2K 2kvS2khSCkvSCkhC2kvS2khSCkvSCkhSCkvSCkhS2kvC2khSCkvSCkhS2kvC2弹簧刚度与下列因素有关：钢筋表面性质、直径、钢筋间距、混凝土类型、强度、构建尺寸等。弹簧刚度由试验确定。562四结点线性节理单元宽度二0的四边形单元，退化了的四边形单元。与四结点平面等参元更协调。程牡十单无匍擒单朮四边形 腐移单元图4-11节理单元563六结点曲边节理单元与八结点平面等参元相协调的具有曲线边界的单元。5.7混凝土开裂及钢筋屈服的处理钢筋混凝土结构非线性全过程分析中遇到的问题： （1）混凝土开裂后如何处理？（2）单元破坏后如何处理？（ 5）钢筋屈服后如何处理？5.7.1混凝土开裂后的处理1. 裂缝处理模式（1）独立裂缝模式（离散裂缝discrete cracking mode）：把裂缝处理为单元边界，一出 现新裂缝，就要重新划分单元，使裂缝端点位于单元结点且裂缝边缘作为单元边界。 适用条件：研究裂缝发展或裂缝出现对结构局部受力的影响。图4-7单独裂缝模式弥散裂缝模式（分布裂缝smeared cracking model）：假定单元某点应力超过抗拉强 度时，混凝土开裂，在垂直于拉应力方向形成均匀分布的平行裂缝。特点：不必重新划分单元、增加单元结点，得到广泛应用E 0 2E。Ec2. 混凝土开裂