U616-线性代数-10秋线代56(A)卷(答案)-副本

1、北京林业大学20102011学年第一学期试卷试卷名称：线性代数(56学时A卷)课程所在院系：理学院一.填空题(每小题3分，共30分)设行列式5 X “2 b22、设三阶行列式|-2A| = 2,则|A|=-i43、4、56、3、2若A满足矩阵方程A? 一34一/ = 0,则A-1 = (A-3Z).若，勺心线性无关，则0+4,血+5,4+心线性 无关(填相关或无关)。已知向量组= (1,2,3,4)丁，= (2,3,4,5)丁，a3 = (3,4,6)7 , a4 = (4,5,6,7/ , 该向量组的秩为2。J的逆矩阵宀(I J。xx+ x2 + xi=07、9、已知方程组叼+2兀2+3巾=

2、0有非零解，则常数“ 2xj +3x2 +ax3=0设解矩阵A的各行元素之和为0,且7?(A) = h-1, 则线性方程组Ax = 0的通解为匕1,1,1)。设三阶矩阵4的特征值为I, 2, 3, m|A-2Z|=0 10-二次型/(兀1，勺,兀3)=兀：+ +2xg+2x03对应的矩阵是110。二、单选题(每小题3分，共15分)1、设为/(心2)阶方阵，则必有(方)。(A)|a|b| = |b|a| ,= BAf (C)|A + B|= |A| + 岡,(D) A-B=B-AO2、设A,B,C都是阶方阵，且ABC = I则必有(A )。(A) CAB = I t(B)CBA = I , (C

3、)ACB = I f (D)BAC = 1。3、下列命题正确的是(？)。(A) 等价的向量组包含的向量个数相等;(B) 任一向量组都有极大线性无关组；(C) 向量组的任一极大线性无关组都与向量组本身等价;(D) 矩阵的行向量组与列向量组等价。4齐次线性方程组Ax =0有非零解的充分必要条件是(C )。(4)系数矩阵A的任意两个列向量线性相关；(B) 系数矩阵A的任意两个列向量线性无关；(C) 必有一列向量是其余列向量的线性组合；(D) 任意列向量都是其余列向量的线性组合。5、如果(D ),则A与B相似。(a)|a| = |b|；(C) A与B有相同的特征多项式；(O)A与B有相同的特征值，且特

4、征值互不相同。三-(8分)计算四阶行列式1一丁解:X1Xl-x0101（2分）= xy1111-x0101D =00yy00111111110(2分)四.解:=xy00（）(10分)设A00110110-X1（2分）=xy110011i-y000p00、2 0-2y,B =230I-1 31Vz323,00（B-2I）X = AT 9（4 分）= x2j2 （2 分）满足B=+2X,求X。rl 0 0、(10 0、（B-2I） =2 10,（B-2/宀-21 0、3 2 1,k 1一2 1,（3 分）1 00、Z2_1、f 2_1、-2 1003=-45 1 一2-20X （3 分）X=（B-

5、2Zf1Ar,PAP=000 （T1 0。（2 分）0 6?006x, +x2 += -2五、（12分）对线性方程组x1+Ax2 + x3 = -2,2 Xj + x2 + x3 = A - 3讨论当2取何值时，方程组无解、有唯一解和无穷多组解; 在方程组有无穷多组解时，试写出其通解。Z112-3112-2、解:（Ab-121-202-1-（几-1）0112一2丿00（/! 1）（2 + 2）3“一1）,（4 分），当A = -2时，方程组无解；（2分）当2工-2,1时，方程组有唯一解；（2分）方程组有无穷解，Ab） =当;1 = 1时,1 10 00 0通解：/ 、V1A2=kxJ1+人40

6、+03丿解：2/ 同=朮6才2 + 6，人=1,仏=1, A? = 6, （4 分） 取 X! = （3,-2,-1/ , （2 分）（如-A）x =0 一3一3 -30 1x2X3“0、0 ,取勺=（1,0,3）7,（2 分）0.xA（0、x2 = 0 ,取 X3 = （3,5,-1）? , （2 分） 勺丿W再将心心宀单位化，得正交矩阵（如-A）x =3714-2.7145-3 0一3 210153?355V353V108七.（7分）设心心是Ar = O的基础解系，0不是仏=0的解，即A0兴0, 证明0,0 + 0,戸+ 6?2，0 +勿线性无关。证明：设斤0 +处（0 + ） +他（戸+

7、么2）+他（0 +勿）=0,（2分）伙 +心 +k2+ki）J3 + kia1 + k2a2 +=0 ,伙 +*i +k2+k3）Afl + kxA at +k2Aa2+k3Aa3 =0,ai，a2,a是Ar = 0的解，（k +k2+ki）AJ3 = 09（ 2 分） 40 H 0, .k +kl+k2+ki=0 9:.kxax +k2a2 +心如=0,心心是Ax = 0的基础解系，:.kl=k2=k3=Of r.Ar=0 , 0,戸+ 他，0 + 勺，0 + 勿线性无关。（3 分）八.（6分）设4为舁阶矩阵，2和弘是A的两个不同的特征值，心和勺是 分别属于人和彳2的特征向量，证明Xx + x2不是A的特征向量。证明：反证法，设 A（Xj +X2）= 2（X! +x2）,（2